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25章
概率初步
单元检测（2）
一、单选题
1．随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成了面积相等的四个区域，每个区域内分别填上数字“”“”“”“”．甲、乙两学生玩转盘游戏，规则如下：固定指针，同时转动两个转盘，任其自由转动，当转盘停止时，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜．那么在该游戏中乙获胜的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．在一个不透明的袋子中有个标号分别为，，，的完全相同的小球，摸出一个球后不放回，再摸出一个球，两次摸到的球标号都是偶数的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
5．抛掷三枚硬币，则出现一枚正面向上、两枚正面向下的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
6．将一颗骰子（正方体）连掷两次，得到的点数都是4的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①某次实验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
8．正方形ABCD内，有一个内切圆⊙O．电脑可设计程序：在正方形内可随机产生一系列点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数a个，⊙O内的点数b个（在正方形边上和圆上的点不在统计中），根据用频率估计概率的原理，可推得π的大小是（ ）
A．π≈
B．π≈
C．π≈
D．π≈
9．小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，7这7个数中任意选择一个数字，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；若两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，为了获胜，你会选择数（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
10．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程20次，得到红球与10的比值的平均数为0.4，根据上述数据，估计口袋中大约有（
）个黄球.
A．30
B．15
C．20
D．12
11．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为(
)
A．1
B．
C．
D．
12．在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．班里有18名男生，15名女生，从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围是_____．
14．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是_____．
15．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个对角线为AC和BD的菱形，使不规则区域落在菱形内，其中AC=8m，BD=4m，现向菱形内随机投掷小石子（假设小石子落在菱形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%，由此可估计不规则区域的面积是_____m2．
16．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n的值大约是_______.
三、解答题
17．在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字、、、的乒乓球（形状、大小一样），先从盒子里随机摸出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机摸出一个乒乓球，记下数字．
请用树形图或列表法求两次摸出乒乓球上的数字相同的概率；
若再向盒子里放入个写有数字的乒乓球，使得从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到写有数字的乒乓球的概率为，求的值．
18．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成个扇形，乙转盘被等分成个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于的概率；
小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于，为平局；指针所指区域内的数字之和大于，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
19．一透明的口袋中装有个球，这个球分别标有，，，这些球除了数字外都相同．
如果从袋子中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是的球的概率是多少？
如果一次摸两个球，用树状图或列表法求出摸到的两个球标有的数字的积为奇数的概率；
小明和小亮玩摸球游戏，游戏的规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小亮随机摸出一个球，记下数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
20．某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
546
701
落在“铅笔”的频率
（结果保留小数点后两位）
0.68
0.74
0.68
0.69
0.68
0.70
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）
（2）铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．
21．游戏者同时转动如图的两个转盘进行“配紫色游戏”，若要使游戏者获胜的概率为，转盘B不动，转盘A应该如何设计？并写出解答过程说明理由．
22．两个自由转动的转盘如图所示，一个分为等份，分别标有数字，，，另一个分为等份，分别标有数字，，，．转盘上有固定指针，同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字．甲、乙两人制定游戏规则如下：一人先猜数，然后另一人再转动转盘，若猜出的数字与转出的两个数字之和相等，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数者可从下面，两种方案中选一种：方案：猜“奇数”或猜“偶数”其中的一种；方案：猜“是的整数倍”或猜“不是的整数倍”其中的一种．
如果你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，你将选择哪种方案，猜该种方案中的哪一种情况？请说明理由；
为了保证参与游戏双方的公平性，你应选择哪种猜数的方案？为什么？
23．为了解某校中学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：根据以上提供的信息，解答下列问题：
节目
人数（名）
百分比
最强大脑
5
10%
朗读者
15
b%
中国诗词大会
a
40%
出彩中国人
10
20%
（1）x=
，a=
，b=
；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）在喜爱《最强大脑》的学生中，有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加潍坊市组织的竞赛活动，请用树状图或列表法求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
24．小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的4个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：
（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．
25．某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
（1）求a的值；
（2）若用扇形图来描述，求分数在6≤m＜7内所对应的扇形图的圆心角大小；
（3）将在第一组内的两名选手记为：A1、A2，在第四组内的两名选手记为：B1、B2，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率（用树状图或列表法列出所有可能结果）．
26．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面朝上频数
14
a
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
b
0.56
0.55
(1)请直接写出a，b的值；
(2)如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；
(3)如果做这种实验2
000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？
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精品试卷·第
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25章
概率初步
单元检测（2）
一、单选题
1．随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】分析题意，回想一下利用列表法求概率的一般步骤；首先根据题意列出表格，再由表格求得所有可能的结果与小灯泡发光的情况，即可解答.
【详解】
根据题意列出所有可能的情况，如下：
共有6种情况，必须闭合开关灯炮才发光，即能让灯泡发光的概率是
.
故选B.
【点评】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于列出所有结果的表格.
2．如图，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可.
【详解】
根据题意画出树状图如下：
共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴，故选C.
【点评】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键.
3．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成了面积相等的四个区域，每个区域内分别填上数字“”“”“”“”．甲、乙两学生玩转盘游戏，规则如下：固定指针，同时转动两个转盘，任其自由转动，当转盘停止时，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜．那么在该游戏中乙获胜的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】举出所有情况，求出两指针所指的数字的积为奇数的情况占总情况的比值即可．
【详解】
解：如表所示：
所有出现的情况如下，共有16种情况，积为奇数的有4种情况，
所以在该游戏中乙获胜的概率是：.
故选A.
【点评】考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．求概率公式为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．在一个不透明的袋子中有个标号分别为，，，的完全相同的小球，摸出一个球后不放回，再摸出一个球，两次摸到的球标号都是偶数的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球标号都是偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸到的球标号都是偶数的有2种情况，
∴两次摸到的球标号都是偶数的概率是：.
故选A.
【点评】考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．求概率公式为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．抛掷三枚硬币，则出现一枚正面向上、两枚正面向下的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】先求得将一枚硬币向上连续抛掷三次共有的情况；再根据其中出现一枚正面向上、两枚正面向下的情况数，计算即可．
【详解】
解：画树状图得：
将一枚硬币向上连续抛掷三次，共有8种情况,
其中出现一枚正面向上、两枚正面向下有3种，所以其概率=.
故选C.
【点评】考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．求概率公式为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．将一颗骰子（正方体）连掷两次，得到的点数都是4的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】连掷两次骰子出现的点数情况，共36种：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），
（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），
（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），
（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），
（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），
（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）.
而点数都是4的只有（4，4）一种，所以得到的点数都是4的概率是，故选D.
7．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①某次实验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】A
【解析】【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以这次“钉尖向上”的概率是：308÷500=0.616，故①正确.
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618.故②正确，
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，
故选A.
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答.
8．正方形ABCD内，有一个内切圆⊙O．电脑可设计程序：在正方形内可随机产生一系列点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数a个，⊙O内的点数b个（在正方形边上和圆上的点不在统计中），根据用频率估计概率的原理，可推得π的大小是（ ）
A．π≈
B．π≈
C．π≈
D．π≈
【答案】B
【解析】【分析】根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比，列式求解即可．
【详解】
设圆的半径为r，则正方形的边长为2r，
根据题意得：≈，
则π≈.
故选B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解落在圆内的概率约等于圆与正方形的面积的比，难度不大．
9．小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，7这7个数中任意选择一个数字，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；若两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，为了获胜，你会选择数（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】A
【解析】【分析】利用列表法找到点数之和为几的次数最多，选择那个数获胜的纪律就越大.
【详解】
根据题意列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
两人抛掷骰子各一次，共有36种等可能的结果，
点数之和为7的有6种，最多，
故选择7获胜的可能性大.
故选A.
【点评】本题考查用列表法或画树状图求概率，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
10．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程20次，得到红球与10的比值的平均数为0.4，根据上述数据，估计口袋中大约有（
）个黄球.
A．30
B．15
C．20
D．12
【答案】B
【解析】解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.4，设黄球有x个，∴0.4（x+10）=10，解得x=15．故选B．
11．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为(
)
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】
解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，
故选B．
【点评】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．
12．在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中只有（1，-1）在一次函数y=x-2图象上，
所以点在一次函数y=x-2图象上的概率=．
故选：D．
点睛：本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率的概念求这个事件的概率．也考查了点在一次函数图形上，则点的横纵坐标满足一次函数的解析式．
二、填空题
13．班里有18名男生，15名女生，从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围是_____．
【答案】18＜a＜33
【解析】【分析】利用随机事件的定义进而得出答案.
【详解】
∵班里有18个男生15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到的是必然事件，
∴18＜a＜33.
【点评】本题考查的知识点是随机事件的定义，解题关键是正确把握定义．
14．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是_____．
【答案】
【解析】【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】
解：大正方形的边长为：，
总面积为20，
∵阴影区域的边长为2，
∴面积为2×2=4；
故飞镖落在阴影区域的概率为,
故答案为
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．
15．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个对角线为AC和BD的菱形，使不规则区域落在菱形内，其中AC=8m，BD=4m，现向菱形内随机投掷小石子（假设小石子落在菱形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%，由此可估计不规则区域的面积是_____m2．
【答案】4．
【解析】【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
【详解】
∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为0.25，
∵AC=8m，BD=4m，
∴面积为×8×4=16m2，
设不规则部分的面积为s，
则=0.25，
解得：s=4，
故答案为：4．
【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
16．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n的值大约是_______.
【答案】10
【解析】由题意可得，可得概率为：，解得，n=10，故估计n大约有10个．
故答案为：10．
三、解答题
17．在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字、、、的乒乓球（形状、大小一样），先从盒子里随机摸出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机摸出一个乒乓球，记下数字．
请用树形图或列表法求两次摸出乒乓球上的数字相同的概率；
若再向盒子里放入个写有数字的乒乓球，使得从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到写有数字的乒乓球的概率为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据表格求得所有等可能的情况与两次摸出乒乓球上的数字相同的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先根据概率公式可得：，解此方程组即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有种等可能的结果，两次摸出乒乓球上的数字相同的有种情况，
∴两次摸出乒乓球上的数字相同的概率为：；
根据题意得：，
解得：．
经检验：是原分式方程的解．
【点评】考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成个扇形，乙转盘被等分成个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于的概率；
小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于，为平局；指针所指区域内的数字之和大于，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
【答案】（1）．（2）所以不公平．可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢．
【解析】【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．
【详解】
解：共有种等可能的结果，小于的情况有种，
所以指针所指区域内的数字和小于的概率为．
和
不公平，因为小颖获胜的概率为；
小亮获胜的概率为．小亮获胜的可能性大，
所以不公平．
可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢．
【点评】考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19．一透明的口袋中装有个球，这个球分别标有，，，这些球除了数字外都相同．
如果从袋子中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是的球的概率是多少？
如果一次摸两个球，用树状图或列表法求出摸到的两个球标有的数字的积为奇数的概率；
小明和小亮玩摸球游戏，游戏的规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小亮随机摸出一个球，记下数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
【答案】游戏规则对双方公平．
【解析】【分析】（1）利用概率公式直接求出即可；
（2）列表一次摸两个球的所有情况，计算出两个球标有的数字的积为奇数的概率即可；
（3）首先利用列表法求出两人的获胜概率，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，即可得出答案．
【详解】
解：从个球中随机摸出一个，摸到标有数字是的球的概率是；
列表如下：
（数字的积为奇数）；
列表如下：
小明
小亮
由表可知，（小明获胜），（小亮获胜），
∵（小明获胜）（小亮获胜），
∴游戏规则对双方公平．
【点评】考查了游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20．某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
546
701
落在“铅笔”的频率
（结果保留小数点后两位）
0.68
0.74
0.68
0.69
0.68
0.70
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）
（2）铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．
【答案】（1）0.7；（2）该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）36
【解析】【分析】（1）利用频率估计概率求解；
（2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算4000×0.5×0.7+4000×3×0.3即可；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1-）=3000，然后解方程即可．
【详解】
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；
故答案为
0.7
（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3＝5000，
所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，
则4000×3×+4000×0.5（1﹣）＝3000，解得n＝36，
所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．
故答案为36．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了扇形统计图．
21．游戏者同时转动如图的两个转盘进行“配紫色游戏”，若要使游戏者获胜的概率为，转盘B不动，转盘A应该如何设计？并写出解答过程说明理由．
【答案】将转盘A平均分成10分，一份是蓝色，一份是红色，其他是绿色．说明理由见解析
【解析】【分析】B转盘有2种情况，A转盘有3种情况，要想获胜的概率为，则应让转盘A分成10份，使配成紫色的情况数有2种即可．
【详解】
将转盘A平均分成10分，一份是蓝色，一份是红色，其他是绿色．
则共有20种，能配成紫色的情况有两种，
∴P（配成紫色）＝
【点评】考查方案设计与概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；判断出相应方案是解决本题的难点．
22．两个自由转动的转盘如图所示，一个分为等份，分别标有数字，，，另一个分为等份，分别标有数字，，，．转盘上有固定指针，同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字．甲、乙两人制定游戏规则如下：一人先猜数，然后另一人再转动转盘，若猜出的数字与转出的两个数字之和相等，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数者可从下面，两种方案中选一种：方案：猜“奇数”或猜“偶数”其中的一种；方案：猜“是的整数倍”或猜“不是的整数倍”其中的一种．
如果你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，你将选择哪种方案，猜该种方案中的哪一种情况？请说明理由；
为了保证参与游戏双方的公平性，你应选择哪种猜数的方案？为什么？
【答案】
我选择的猜数的方案，并且猜“和不是的整数倍”，因为此时获胜的概率为，获胜的可能性最大；??为了保证游戏的公平性，应该选择方案．
【解析】【分析】（1）列举出所有情况，分别得到相应的概率，比较即可；
（2）应选择获胜概率相同的游戏进而得出答案．
【详解】
选择的猜数的方案，并且猜“和不是的整数倍”．
列树状图如下：
共有种可能结果，且每种结果出现的可能性相同．
方案：由树状图可得，和为奇数以及和为偶数的结果分别是种，
所以（和为奇数）；??（和为偶数）；????
方案：由树状图可得，和是的整数倍有种，即为，，，
所以（和是的整数倍）；（和不是的整数倍）．
所以，我选择的猜数的方案，并且猜“和不是的整数倍”，因为此时获胜的概率为，获胜的可能性最大．????????????????????
??为了保证游戏的公平性，应该选择方案．
因为（和为奇数）（和为偶数），
所以，选择方案的猜数方法对双方是公平的．
【点评】本题考查的知识点是概率的应用，解题关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．为了解某校中学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：根据以上提供的信息，解答下列问题：
节目
人数（名）
百分比
最强大脑
5
10%
朗读者
15
b%
中国诗词大会
a
40%
出彩中国人
10
20%
（1）x=
，a=
，b=
；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）在喜爱《最强大脑》的学生中，有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加潍坊市组织的竞赛活动，请用树状图或列表法求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【答案】（1）50；20；30；（2）见解析；（3）；
【解析】【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与b的值即可；
（2）根据a的值，补全条形统计图即可；
（3）列出所有情况，即可看出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况，再用此情况数量除以所有情况数量即可.
【详解】
解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b=×100=30；
故答案为50；20；30；
（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：
（3）∵5﹣2=3（名），
∴喜爱最强大脑的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男1
男2
男3
女1
女2
男1
﹣﹣﹣
男2，男1
男3，男1
女1，男1
女2，男1
男2
男1，男2
﹣﹣﹣
男3，男2
女1，男2
女2，男2
男3
男1，男3
男2，男3
﹣﹣﹣
女1，男3
女2，男3
女1
男1，女1
男2，女1
男3，女1
﹣﹣﹣
女2，女1
女2
男1，女2
男2，女2
男3，女2
女1，女2
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则P（一男一女）==．
【点评】本题考查的知识点是统计表及条形统计图，解题的关键是熟练的掌握统计表及条形统计图以及概率的计算.
24．小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的4个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：
（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】（1）；（2）该游戏公平．
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平．
【详解】
解：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率=
；
（2）该游戏公平．理由如下：
画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次的数字都是奇数的结果数为4，所以小王胜的概率=
；
两次的数字都是偶数的结果数为4，所以小张胜的概率=
，
因为小王胜的概率与小张胜的概率相等，
所以该游戏公平．
【点评】本题考查的知识点是游戏公平性，概率公式，树状图法，解题关键是熟练运用树状图法.
25．某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
（1）求a的值；
（2）若用扇形图来描述，求分数在6≤m＜7内所对应的扇形图的圆心角大小；
（3）将在第一组内的两名选手记为：A1、A2，在第四组内的两名选手记为：B1、B2，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率（用树状图或列表法列出所有可能结果）．
【答案】（1）a=9；（2）36°；（3）
【解析】【分析】（1）用总数减去其他组的频数即可得解；
（2）用分数在6≤m＜7内的选手所占百分比乘以360°即可得解；
（3）根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果和第一组至少有1名选手被选中的情况，然后根据概率公式求解即可.
【详解】
解：（1）a=20﹣2﹣7﹣2=9，
故a的值为9；
（2）分数在6≤m＜7内所对应的扇形图的圆心角的度数=×360°=36°；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中第一组至少有1名选手被选中的结果数为10，
∴第一组至少有1名选手被选中的概率==．
【点评】本题考查了频数，扇形图，用列表法或画树状图求概率，难度不大，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
26．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面朝上频数
14
a
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
b
0.56
0.55
(1)请直接写出a，b的值；
(2)如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；
(3)如果做这种实验2
000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？
【答案】(1)a＝18，b＝0.55(2)估计概率的大小为0.55(3)“兵”字面朝上的次数大约是1100次
【解析】试题分析：（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；
（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．
（3）根据利用频率估计概率可以得出出现“兵”字概率会接近于0.55，故可以得出游戏规则．
试题解析：(1)a＝18，b＝0.55.
(2)根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55，稳定在0.55左右，
故估计概率的大小为0.55.
(3)2000×0.55＝1100(次)．
∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次．
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精品试卷·第
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