人教版八年级上册数学课件：14.3.2公式法 (共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学课件：14.3.2公式法 (共33张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 860.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-18 09:06:33 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
因式分解
整式乘法与因式分解
2.公式法
学习目标
1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）
2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点）
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2-
b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
用平方差公式进行因式分解
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:
(
)2-(
)2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
例1
分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2
-
b2
=
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
当场编题，考考你！
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20152－20142
=
（2mn）2
-
(
3xy)2
=
(x+z)2
-
(y+p)2
=
例2
已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例3
计算下列各题：
(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例4
求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
用完全平方公式分解因式
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a?
b?
ab
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
a
b
a
b
a?
ab
ab
b?
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a?+2ab+b?和a?-2ab+b?这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a
±
b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a?+4ab+4b?=(
)?+2·
(
)
·(
)+(
)?=(
)?
2.m?-6m+9=(
)?
-
2·
(
)
·(
)+(
)?
=(
)?
1.
x?+4x+4=
(
)?
+2·(
)·(
)+(
)?
=(
)?
x
2
x
+
2
a
a
2b
a
+
2b
2b
对照
a?±2ab+b?=(a±b)?，填空：
m
m
-
3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）1+4a?;
（3）4b2+4b-1;
（4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b?与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例5
如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
)
A
.
11
B.
9
C.
-11
D.
-9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
变式训练
如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，
根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例6
分解因式：
（1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中，
16x2=(4x)2,
9=3?,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x
+9是一个完全平方式，即16x2
+
24x
+9=
(4x)2+
2·4x·3
+
(3)2.
2
a
b
+b2
a2
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy
+4y2),然后再利用公式分解因式.
解：
(1)16x2+
24x
+9
=
(4x
+
3)2；
=
(4x)2
+
2·4x·3
+
(3)2
(2)-x2+
4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
例7
把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)?
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，
=1.
＝2500.
例8
已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2
B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
当堂练习
D
2.分解因式(2x+3)2
-x2的结果是（ ）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3)
D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ）
A．-21
B．21
C．-10
D．10
A
4.把下列各式分解因式：
(1)
16a2-9b2=_________________;
(2)
(a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3)
-a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.
4
6.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36;
（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3)
y2+2y+1－x2;
(2)原式=[2(2a+b)]?
－
2·2(2a+b)·1+(1)?
=(4a+2b
－
1)2;
解：(1)原式
=x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(3)原式=(y+1)?
－x?
=(y+1+x)(y+1－x).
7.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
(2)原式
8.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
课堂小结
公式法因式分解
公式
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
因式分解
整式乘法与因式分解
2.公式法
学习目标
1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）
2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点）
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2-
b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
用平方差公式进行因式分解
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:
(
)2-(
)2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
例1
分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2
-
b2
=
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
当场编题，考考你！
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20152－20142
=
（2mn）2
-
(
3xy)2
=
(x+z)2
-
(y+p)2
=
例2
已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例3
计算下列各题：
(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例4
求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
用完全平方公式分解因式
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a?
b?
ab
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
a
b
a
b
a?
ab
ab
b?
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a?+2ab+b?和a?-2ab+b?这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a
±
b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a?+4ab+4b?=(
)?+2·
(
)
·(
)+(
)?=(
)?
2.m?-6m+9=(
)?
-
2·
(
)
·(
)+(
)?
=(
)?
1.
x?+4x+4=
(
)?
+2·(
)·(
)+(
)?
=(
)?
x
2
x
+
2
a
a
2b
a
+
2b
2b
对照
a?±2ab+b?=(a±b)?，填空：
m
m
-
3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）1+4a?;
（3）4b2+4b-1;
（4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b?与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例5
如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
)
A
.
11
B.
9
C.
-11
D.
-9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
变式训练
如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，
根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例6
分解因式：
（1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中，
16x2=(4x)2,
9=3?,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x
+9是一个完全平方式，即16x2
+
24x
+9=
(4x)2+
2·4x·3
+
(3)2.
2
a
b
+b2
a2
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy
+4y2),然后再利用公式分解因式.
解：
(1)16x2+
24x
+9
=
(4x
+
3)2；
=
(4x)2
+
2·4x·3
+
(3)2
(2)-x2+
4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
例7
把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)?
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，
=1.
＝2500.
例8
已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2
B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
当堂练习
D
2.分解因式(2x+3)2
-x2的结果是（ ）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3)
D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ）
A．-21
B．21
C．-10
D．10
A
4.把下列各式分解因式：
(1)
16a2-9b2=_________________;
(2)
(a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3)
-a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.
4
6.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36;
（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3)
y2+2y+1－x2;
(2)原式=[2(2a+b)]?
－
2·2(2a+b)·1+(1)?
=(4a+2b
－
1)2;
解：(1)原式
=x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(3)原式=(y+1)?
－x?
=(y+1+x)(y+1－x).
7.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
(2)原式
8.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
课堂小结
公式法因式分解
公式
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2