人教版八年级下册数学教案：18.2.1矩形的判定

《矩形的判定》教学设计
教学目标
知识与技能
　1．理解并掌握矩形的判定方法．
　2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
过程与方法
经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法。
情感态度与价值观
培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要。
重点
矩形的判定定理1、2。
难点
定理的证明方法及运用。
教
学
过
程
第一步：课堂引入　　
1．矩形的定义是什么？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．事例引入：工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
第二步
引入新课
对角线相等的平行四边形是矩形
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1
除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
问题2
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考
你能证明这一猜想吗？
已知：如图,在
ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.求证：
ABCD是矩形.
证明：∵AB
=
DC,BC
=
CB,AC
=
DB,
∴
△ABC≌△DCB
,
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
ABCD是矩形（矩形的定义）.
归纳总结：
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
思考
数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
例1
如图，在
　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=
1/2
AC，OB=OD=1/2
BD.
又∵OA=OD
∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
练一练
1.如图，在?ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定?ABCD是矩形的是
（　　）
A．AC=BD
B．AC=BC
C．AD=BC
D．AB=AD
2.如图
ABCD中,
∠BAC=∠ABD中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
问题1
上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
问题2
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
证一已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°
.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是矩形.
归纳总结：
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
思考
一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
例2.
如图，
ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形
EFGH为矩形．
证明：在□
ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
∴
∠BAE+
∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°
∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是矩形．
练一练
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是
（　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
第三步：当堂练习
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
(1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
能力提升：
4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)
经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)
经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
课堂小结
矩形的判定：
1.
矩形的定义
2.
矩形的判定定理
3.
运用定理进行计算和证明