3.3 轴对称与坐标变化（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第二章位置与坐标
3.3
轴对称与坐标变化
【知识清单】
一、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：
1、点P与点关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P
(x，y)关于x轴的对
称点为(x，y)；
2、点P与点关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P
(x，y)关于y轴的
对称点为(x，y)；
3、点P与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P
(x，y)关于原点的对称点
为(x，y).
二、图形的坐标变化：
图形的对称变换本质就是点的对称变换，横坐标乘1，关于y轴对称；纵坐标乘1，关于x轴对称；横、纵坐标都乘1关于原点对称.
【经典例题】
例题2、(1)已知点P坐标为(17，29)，则点P关于x轴对称点的坐标为
；
(2)M
(4，y)与N
(x，7)关于y轴对称，则1xy立方根为
；
(3)点Q
(ab，ab)关于原点对称的点的坐标为
.
【考点】关于x轴、y轴以及原点对称的点的坐标的特征.
【分析】(1)
“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”；(2)
“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”；(3)“关于原点对称的点，横坐标、纵坐标都变成相反数”解答即可．
【解答】(1)平面直角坐标系中关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得：点P(17，29)关于x轴的对称点的坐标是(17，29)；
(2)
M
(4，y)与N
(x，7)关于y轴对称，由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得：x=4，y=7，
∴1xy=27，
∴1xy立方根为3；
(3)因为“关于原点对称的点，横坐标、纵坐标都变成相反数”，可得Q
(ab，ab)关于原点对称点(ba，ab).
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【例题】2、图中的“鱼”的顶点的横坐标不变，纵坐标分别都乘以1，画出图形并说明它与原图形的关系.
【考点】作图——轴对称变换．
【分析】各顶点的横坐标不变，纵坐标分别都乘以1，就是纵坐标变成相反数，描出新得到的各个顶点连接成图形即可.
【解答】所画图形如下所示：由所画图可知，画出的图形与原图形关于x轴对称．
【点评】图形的对称变换本质就是点的对称变换，横坐标乘1，关于y轴对称；纵坐标乘1，关于x
轴对称；横、纵坐标都乘1关于原点对称.
【夯实基础】
1、在平面直角坐标系中，点P
(5，12)关于y轴的对称点的坐标为?(　　)
A．
(5，12)???
B．(5，12)
C．(5，12)???
D．(12，5)
2、在平面直角坐标系中，将点A
(3，2)的横坐标乘以1，纵坐标不变，得到点A′，则点A和点A′的关系是(　　)
A．关于原点对称
B．关于直线y=1对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
3、下列各组点关于x轴对称的是(　　)
A．(10，0)与(0，10)
B．(5，2)与(5，
2)
C．(4，3)与(4，3)
D．(6，2)与(6，2)
4、下列说法中，正确的个数有(
)
①所有x轴上的点关于y轴的对称点都在y轴上
②所有x轴上的点关于原点的对称点的纵坐标为0
③所有y轴上的点关于x轴的对称点的横坐标为0
④所有y轴上的点关于原点的对称点的横坐标为0
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5、(1)
若代数式+(b+4)
2=0，则点M
(a，b)关于原点对称点的坐标为
；
(2)已知点P关系关于y轴对称点为Q，点Q关于x轴的对称点为M，则点M与点P的关系为
.
6、(1)若点A
(3a，14)关于y轴对称点与B
(12，7b)关于x轴的对称点重合，则a
b
=
；
(2)
如果P
()关于y轴的对称点Q的坐标为
，点Q到原点的距离为
.
7、在平面直角坐标系中，已知点A
(a，20)与点B
(21，b)关于y轴对称，则(a+b)2021的
值为
.
8、如图1所示的网格(每个小正方形的边长均为1)中，△ABC
的各顶点都在格点上.
(1)将图中三角形各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变，画出所得到的图形．你所画的图形与原图形发生了什么变化？
(2)若把原图中各点横坐标保持不变，纵坐标都乘以2，画出所得到的图形，并说明该图与原图相比发生了什么变化？
9、如图1所示的网格(每个小正方形的边长均为1)中，△ABC的顶点A的坐标为(4，3)，顶点C的坐标为(3，1).
(1)在网格图中画出符合条件的坐标轴，并标出原点；
(2)作△ABC关于x轴的对称△，并说
明△与△关系；
(3)求出的长度.
【提优特训】
10、若点P关于y轴对称的点是它本身，则点P
(　　)
A．在x轴上
?
?B．在y轴上
?
?C．是原点
?
?D．是任意一点
11、若图形的纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，此时图形的位置都未发生任何变化，则该
图形不可能是(
)
A．长方形
B．正方形
C．直角三角形
D．等腰三角形
12、若点P在第二象限，则点Q
(ab，a+b)关系x轴对称的点在(
)
A．第一象限??
B．第二象限?
C．第三象限?
?D．第四象限
13、点(2，5)关于直线y=1的对称点的坐标为(
)
A．(2，4)??
B．(2，5)?
C．(2，6)?
?D．(2，7)
14、如图所示，在直角坐标系中，△ABC是等边三角形，顶点C
(2，0)，B
(8，0)，则顶点A关于x轴对称点A′的坐标是
．
15、(1)如图，一束光线从点A
(6，6)出发，经过y轴上点C反射后经过点B
(2，0)，则光线从点A到点B经过的路径长为_____；
(2)
已知点P
(2m+1，5–n)和点Q
(7–m，3–3n)关于x
轴对称，则mn的平方根的
.
16、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A2021的坐标是
.
17、如图1，在平面直角坐标系中，直线l过点M
(4，0)，且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A
(3，0)，B
(2，0)，C
(1，4)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
(2)如果点P的坐标是(a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长.
18、如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A
(2，1)，B
(3，5)，C
(5，4).
(1)作图：
①作出△ABC关于y轴的对
称图形△A1B1C1，
②作出△ABC的纵坐标乘以1，
横坐标不变的图形△A2B2C2；
(2)写出A1、B1、C1的坐标，并说
明△ABC与△A2B2C2的关系；
(3)求△ABC的面积S△ABC.
【中考链接】
19、(2019?浙江巴中)
在平面直角坐标系中，已知点A(4，3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(
)
A．(4，3)??????
?
B．(4，3)?????
?
C．(4，3)????
?
D．(4，
3)
20、(2019?浙江杭州)
在平面直角坐标系中，点A(m，2)与点B(3，n)关于y轴对称，则(
)
A．m=3，n=2??????
?
B．m=3，n=2?????
?
C．m=2，n=3????
?
D．m=2，n=3
21、(2019?贵州安顺)
在平面直角坐标系中，点P
(3，m2+1)关于原点对称点在(
)
A．第一象限??
B．第二象限??
C．第三象限??
?D．第四象限
22、(2019?广西贵港)点P
(m1，5)与点Q
(3，2n)关于原点成中心对称，则m+n的值是(
)
A．1??
B．3??
C．5??
?D．7
参考答案
1、B
2、D
3、B
4、C
5、(1)
(6，4)，
(2)关于原点对称
6、(1)，
(2)(，)
，3
7、1
10、B
11、C
12、A
13、D
14、(7，0)
15、(500，280)
19、C
20、B
21、D
22、C
8、如图1所示的网格(每个小正方形的边长均为1)中，△ABC
的各顶点都在格点上.
(1)将图中三角形各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变，画出所得到的图形．你所画的图形与原图形发生了什么变化？
(2)若把原图中各点横坐标保持不变，纵坐标都乘以2，画出所得到的图形，并说明该图与原图相比发生了什么变化？
解：(1)所得图形将原图横向拉长为
原来的2倍．
所画图形如图2所示：
(2)所得图形：先将原图纵向拉长为
原来的2倍以后的图形沿x轴对折．
所画图形如图2所示：
9、如图1所示的网格(每个小正方形的边长均为1)中，△ABC的顶点A的坐标为(4，3)，顶点C的坐标为(3，1).
(1)在网格图中画出符合条件的坐标轴，并标出原点；
(2)作△ABC关于x轴的对称△，并说
明△与△关系；
(3)求出的长度.
解：(1)建立直角坐标系如图2，
(2)作△ABC关于x轴的对称△，如图2，
△与△关系：
①大小关系是△≌△；
②位置关系是关于原点O对称.
(3)的长度=.
17、如图1，在平面直角坐标系中，直线l过点M
(4，0)，且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A
(3，0)，B
(2，0)，C
(1，4)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
(2)如果点P的坐标是(a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长.
解：(1)如图2，△A2B2C2三个顶点坐标分别是A2(5，0)，B2
(6，0)，C2
(7，4)
(2)如果0<
a≤4时，那么点P1在线段OM上.
PP2=PP1+P1P2=2OP1+2P1M＝2OM＝8，
如果a>4时，那么点P1在M的右边，
PP2=PP1P1P2=2OP12P1M＝2OM＝8，
所以PP2的长是8.
18、如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A
(2，1)，B
(3，5)，C
(5，4).
(1)作图：
①作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，②作出△ABC的纵坐标乘以1，
横坐标不变的图形△A2B2C2；
(2)写出A1、B1、C1的坐标，并说明△ABC与△A2B2C2的关系；
(3)求△ABC的面积S△ABC.
解：(1)作图：如图2；
(2)
A1(2，
1)，B1(3，
5)，C1(5，4)，
△ABC与△A2B2C2关于x轴对称；
(3)S△ABC=S梯形ADEB+
S梯形BEFC
S梯形ADFC
=(AD+BE)·DE+(CF+BE)·EF
(AD+CF)·DF
=×(1+5)×1+×(4+5)×2
×(1+4)×3
=3+97.5=4.5
第9题图2
第9题图1
第17题图2
第8题图1
第18题图2
例题2图
例题2图
第15题图(1)
第16题图
第14题图
第18题图1
第17题图1
第8题图2
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