1亿张纸摞起来有多高
北京小学大兴分校
刘玲
教学内容：北京版《义务教育教科书·数学》四年级上册19页。
教学目标：
1、通过猜想、试验、推理等探究活动，让学生直观感受1亿的大小，并能用可想象的素材来表达对1亿大小的认识，发展学生的数感。
2、渗透数学学习的探究方法，使学生学会选择合适的标准，理解和掌握大数的推算方法。
3、在实践活动中培养学生严谨、科学的态度和主动参与、乐于合作的意识。
教学重点：帮助学生建立对1亿的直观感受，培养学生的数感。
教学难点：培养学生的数感。
教学准备：两包A4打印纸、词典、尺子、硬币。
教学过程：
一、想象：1亿张纸摞起来有多高？
同学们，我们学习了生活中的大数，这些大数到底有多大？我们可以借助身边熟悉的事物来研究，今天我们以1亿张纸摞起来有多高为例，来感受一下1亿的大小。
1亿张纸摞起来有多高？
学生猜想：课桌一样高，1人多高，一栋楼高......
【设计意图：以生活中最常见的纸为例，让学生凭借自己的想象进行猜测，在争论中激发探究的兴趣。同时形成猜想与实际的巨大反差，对大数的感受留下深刻的印象。】
二、探究：1亿张纸摞起来有多高？
光凭想象是不够的，要用事实说话！1亿张纸摞起来有多高？你想用怎么测量？
1、讨论方法
①测量1亿张纸。
②测量1张纸的高度，再计算1亿张纸的高度。
③测量100张或1000张纸的高度，再推算1亿张纸的高度。
④测量1厘米的高度，数一数有多少张，再计算出一张纸的高度。
教师实时板书学生提供的研究方法：
测量
1亿张
1张纸
1本书
100张
1000张
……
从一本书中，怎么能快速地找到100张纸呢？解决页码的问题。
小结：直接测量1亿张纸的高度，是一件很困难的事，但办法总比困难多。不方便直接测量，可以选择一部分进行测量，把这一部分作为标准，推算出整体是多少。
【设计意图：通过讨论，学生寻找到实践活动的探究方法，明确了选择一部分作标准很重要，通过部分推算出整体，培养了学生分析和解决问题的能力。】
2、小组活动
要求：
①可以借鉴同学的方法
，也可以用自己的方法。
②用自己准备的材料，老师也提供一些材料，需要的组借用。
③把推算的过程记录下来，可以用表格，也可以不用。
【设计意图：竖型表格更能形象地体现纸张堆叠，同时便于学生进行推算和汇报，能让人清晰地看到纸张的变化对应高度的变化。】
3、汇报交流
活动后，学生简要叙述研究的过程。
生：我们组选择的是新华字典，我们测量了100张纸的高度，大约是1厘米。这样的100张纸摞起来，测量高度大约是1厘米。1000张纸就是10厘米。
师：你是怎么从100张纸的高度，推算出1000张纸的高度？
生：1000是100的10倍，那么1000张纸的高度也应该是100张纸高度的10倍，也就是10厘米。1
0000张纸就是100厘米。10
0000张纸就是1000厘米，100
0000张就是1
0000厘米，1000
0000张就是10
0000厘米，1亿张纸就是100
0000厘米。
师：为了简便，在算到高度为100厘米的时候，直接换算成1米。
如果学生说不清楚是如何推算的，教师可以用课件演示，让学生亲历推算的过程，理解这样推算的方法。
师：刚才这一组用简洁的语言叙述了他们选择测量的标准，推算的方法和最后得到的结论。哪个组选择测量的标准和他们组不同？说说你们组的标准是什么，又是怎么推算的？
再请一组介绍研究的过程和推算的方法，把推算的方法说透。
师：同样是1亿张纸，为什么有的组推算的结论不同呢？
生：我们选的纸不一样，不同的纸，它的厚度不同。
小结：我们选择的标准不同，加上测量时的误差，推算的结论肯定会有差别。1张纸的厚度差别好像不太明显，但是1亿纸摞起来，高度的差距是惊人的。正所谓“失之毫厘，谬以千里”，我们不能小看生活中任何
“一毫一厘”。
【设计意图：通过实验、推理、表达、交流，使学生在具体情境中体会1亿的大小，同时掌握了此类问题的研究方法，即选择合适的标准，进行正确的推算。】
三、对比：1亿张纸摞起来有多高？
通过同学们的探究，我们发现1亿张打印纸摞起来的高度大约是10000米。
10000米到底是多高呢？让我们通过一组图片来感受一下。
出示图片：这是一个人的高度，大约1.75米，他在10层楼面前显得那么小，这栋楼其实只有40米左右。如果把它与具有405米高的中央电视塔对比来看，这栋楼好像也不那么高了。当我们把中央电视塔与世界第一高峰珠穆朗玛峰比较时，中央电视塔的高度又显得那么微不足道，大家知道珠穆朗玛峰多高吗？珠穆朗玛峰的高度还不到10000米，
1亿张纸摞起来比它还高！
现在请回忆一下课前你的猜想，有人说一人高，有人说几层楼高，1亿张纸摞起来的高度可比它们震撼多了。不通过研究，我们怎么敢想象它有这么高啊！
【设计意图：与生活中可想象的素材进行比较，动画演示人、楼房、中央电视塔、珠穆朗玛峰高度的对比，使学生内心受到震撼，帮助学生建立对1亿的直观感受，培养了数感。】
四、练习：1亿本数学书摞起来有多高？
1亿数学书摞起来大约有多高呢？
对于这个问题，你有什么方法进行研究？
生:
测量1本数学书的高度，再计算。
生：测量10本数学书的高度，再推算。
我们已经研究了1亿张纸摞起来的高度，同样是1亿，我们能不能借助刚才研究的结论，不测量，推理一下1亿枚硬币摞起来大约是多高？
【设计意图：此练习题巩固了类似问题的研究方法，即选择合适的标准进行测量，然后推算出结论。不仅如此，通过教师的有效引导，让学生借助1亿张纸的研究结论进行推理，培养学生的推理能力，进一步发展学生的数感。】
五、本课小结
对于1亿这样的大数直接研究是一件很困难的事，但是我们可以选择一个稍小的、合适的标准，同学们选择的100张、1000张就是合适的标准，它方便测量，又容易推算，进而解决了看似很复杂的问题。反过来，对于很小数的研究，不好直接入手，我们也可以选择一个大一点的、合适的标准，便于测量和推算。比如要研究1张的厚度，刚才同学们都说了，测量起来很困难，我们可以选择1000张纸做标准，使测量更加方便，再推算出1张纸的厚度。所以遇到类似的难题，选择合适的标准很重要，怎么才算合适？那就是方便测量、容易推算。
通过这节课的学习，你有什么收获？
1亿真的很大。
学会了解决问题的方法。
......
【设计意图：总结解决类似问题的研究方法，并将方法进行拓展、提升，培养学生解决问题的能力，使学生积累数学学习的活动经验。】
5实践探究活动《一亿有多大?》
北京市丰台区丰台第二中学附属实验小学
吴晓超
一、教学依据
1.1
教学内容分析
《课标》（2011年版）定义数感：“主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系”。根据《现代汉语词典》（第6版）“数”是指“数学上表示事物的量的基本概念，如自然数、整数、分数、有理数、无理数、实数、复数等。”“数量”是事物的多少。对于学生而言，前者更抽象，后者更具体；前者要想象，而后者还可以看到。
依据《课标》学生建立数感的过程就是“使学生经历用数来描述现实世界的过程。”皮亚杰说过“智慧自动做发端”，动手操作是培养学生数感的极为重要的教学方法，儿童的认知规律是“从直观的动作思维到具体的形象思维，最后达到抽象的逻辑思维”，动手操作是学生认识客观事物的基础和起点。估算也是培养学生数感的一种方法，有助于学生形成对数、问题及结果的直觉的素质。学生学着用定量的方法来解决问题，可以使事物的面貌更加明晰、准确及严密，进而增强数感。数学实践活动是培养学生运用数学知识解决实际问题能力的有效途径。学生在实践活动的过程中不断完善自己对原有知识的理解和认识，不断建构对社会生活及知识本身的新的意义，使学习与真实的实践有效地联系起来，发展学生的数感。
数学综合实践活动《一亿有多大？》以探究活动“一亿张纸摞起来有多高？”为载体，将抽象的数“一亿”转化成具体的数量“一亿张纸的高度”帮助学生建立大数的数感。在此过程中，学生经历“以小推大”的推理过程，动手的测量操作以及估算等多种途径，发展自身的数感。大数的数感，要凭借抽象的想象力去感受，这对小学生来说是有困难的，一亿张纸的高度是无法想象的。本实践活动是在学生学完大数的认识之后实践的，学生可以正确的从数字的角度认识抽象的一亿，学生可以建立一亿的具体化表象。
1.2
学生学情分析
分析学生的“数感”发展水平，采用体现学生数量表征能力的“数字线估计”任务。（数字线估计任务即给被试呈现一条数字线，线段的两端各自有一个数字，表示这条线段所代表的数字范围，让被试在线段上标出第三个数字所在的位置。该任务是将数字转化为数字线上空间位置的过程(
Siegler＆
Booth，2005)，包含给位置标数字（position
to
number,
PN）和给数字标位置（number
to
position,
NP）两种模式，采用表征模式和估计精确度（绝对误差百分比，Percent
Absolute
Error,
PAE）作为衡量指标。）数据表明100%的学生均可以采用线性模型的方式表示千以内数字，数量表征准确度达到95%以上。这说明此时学生已经建立起千以内的数字的正确表象，为进一步学习万以上的数做好的准备。依据学生估计准确度，即数感能力，将学生分为4类，并以“同质异构”的方式划分小组。
通过前测可以发现，学生能够准确的读写数字“100000000”，并能说明一亿的数的组成，但是对于作为数量的一亿并没有形成明确的表象，如部分学生认为“我可以数出一亿张纸”。这说明，部分学生对于“大数”尚未建立完善的数感认知。
对于“一亿张纸摞起来有多高”的问题，学生尚未建立完整的表象，67%的学生认为高度在1米以内，26%的学生认为高度在1米到100之间，4%的学生采用了与生活概念对比的方式描述，如：“有楼房那么高”“有一人高”等，仅3%的学生能够正确的估计高度，在之后的访谈发现，这部分学生曾阅读过相关的资料。
分析发现学生不能够正确估计“一亿张纸摞起来的高度”原因如下：1：学生没有一张纸厚度的概念，如学生认为“我用尺子就可以测出一张的高度”。2，学生没有准确的建立“大数”1亿的感觉，认为可以完成“数出一亿”的任务。3，在学生的
生活经验中，100米已经是一个非常可观的高度，学生无法直接想象“一亿张纸的高度”，如：“楼房已经很高”了。
小学四年级学生思维仍处于从具体的形象思维向抽象思维的过渡阶段。从生活经验的角度分析，学生对于本课的实验用具“纸”非常熟悉，且有着测量、数纸等相关活动经验。学生乐于从实践操作的角度，探究“一亿张纸摞起来”是学生分析问题、制定解决问题计划以及实施计划以及反思的经验积累，通过这样的活动，学生既能够培养问题解决的能力，又能够提升兴趣，快乐学习。
二、学习目标、重点难点
1、借助数学模型，帮助学生具体感知1亿的大小，培养学生数感。（教学重点）
2、通过猜想、验证等活动，感受1亿的大小，帮助学生积累活动经验。
3、渗透数学学习方法，提高解决问题的能力。（教学难点）
4、培养学生科学的学习态度，体验学习数学的乐趣。
三、教学设计
学科
数学
领域与课题
一亿有多大?
课型
综合与实践
学习过程
环节及时间分配
活动内容
活动规则
活动依据及设计意图
课前：
课前思考，激发兴趣
学生独自思考：一亿张纸摞起来有多高，关于一亿还想知道哪些内容？
学生独自思考，写在纸上。
课前准备可以让学生做好课前的心理和思想准备，上课时能够更有针对性。更能够提高学困生的学习成就感，激发学习兴趣。
为课堂上对于“一亿”的感受做对比，更好的培养数感。
一、复习导入，明确目标（2分钟）
活动一：读数（1000,10000，100000000）
我们已经认识了数字一亿，那你能举例说明一下1亿有多大吗？
学生认真倾听，明确学习目标。
学生明确本节课的学习任务和最终目标，强化学生的目标意识，自觉调控自己学习行为向预设的目标。
二、激发兴趣，渗透方法（4分钟）
活动二：看图猜豆子
展示绿豆图片，猜一猜这是多少棵绿豆，你是如何猜到的？
读资料：一亿粒绿豆6.25吨，和一只成年大象差不多重。一家人每天吃一斤，可以吃34年。
再次猜测：一亿张纸摞起来有多高
学生积极思考，积极参与互动交流。+1分
认真倾听，提出自己不得不同见解。+1分
学习是由学习者和学习环境共同构筑的一个共同体，学习环境对学习也产生着重要的影响。通过谈话，使学生产生亲切感，并唤醒学生已有知识经验，使学生产生积极地、愉悦的学习心态进入学习。
通过在阅读材料前后2次感受“一亿有多大”，学生能够逐渐建立对于“一亿”的感受，培养数感。渗透了以小估大的方法。
三、团队合作，实验探究一亿张纸摞起来有多高（25分钟）
实践操作活动步骤：制定计划（10分钟，包含组内讨论及组间交流）；解决问题（12分钟）；分享反思（3分钟）
规则：
制定完成的团队计划和分工。（+2）
结合实验材料，能够准确描述实践过程、方法和结论。（+2）
特殊加分：探究方法独特，呈现有启发性。（+1）
通过团队实践操作的方法激发学生的学习积极性，主动性。同时，实践“以小估大”的数学基本方法，积累活动经验，逐步提高学生数学应用能力。
四、总结活动经验（7分钟）
总结实践方法，积累活动经验，总结各小组测量的方法，提炼“以小估大啊”的数学思想。
第三次思考：一亿张纸摞起来有多高，并通过与生活经验的对比，进一步感受“一亿”
补充思考：一亿真的很大吗？
评价规则：
总结测量经验（+1）
和生活实践对比，描述一一张纸摞起来的高度。描述过程生动形象，利于想象（+2）
提出质疑或补充（+1）
总结方法，积累活动经验，逐渐提高综合应用能力。活动配以音乐，更有利于大脑放松。
第三次思考“一亿张纸摞起来有多高”与前两次的猜测形成对比，在感性上建立“一亿”；通过形象的表述感受一亿张纸的高度，从表象上建立一亿。
回顾总结
2分钟
冥想
通过今天的学习你有什么收获？
说说自己的收获
结合评价表，评价自己或小组的表现
回忆学习该过程，加深对知识的理解和掌握，利用评价表，让学生感受都成功的快乐。
板书设计
方法：以小估大
操作建议：多次测量求平均值；测量时去掉包装纸；将纸压实
四、课后反思
“每一个孩子都是天生的学习者”。本课教学中注意遵循了学生的学习规律，注重让学生经历完整的实践操作过程，学会“做事儿”，注重让学生在实践中习得方法和技能，学习力、思维力、表达了和想象力在活动中得到发展，充分体现了学生在课堂的主体作用。
本课亮点在于把数学知识与学生生活联系起来，通过想象力建立大数的数感，并实现方法上的迁移；以团队的形式开展实践活动，提高学生的交流和合作能力；让学生在实践活动中完成自主学习，激发学习兴趣。
4.1提升学生数感，实现方法迁移
本次实践活动中，学生通过对比三次对于“一亿张纸摞起来有多高”的回答，逐步建立对于大数“一亿”的认识，再通过联系生活表象，逐步形成对“一亿”具象化的认识，最终实现数感的提升。在课后的反思中，学生用多种形式表达了自己对于大数的认识，如有的学生在数学日记中写道“一亿是一个非常庞大的数目，无论是一个多么小的数字，乘以一亿都会变的非常巨大；无论是一个多么大的数字，除以一亿都会变的特别小。比如一个健康的成年人大约需要4年半才能喝完一亿滴水，每家每户节约1度电，一亿个家庭节约的电大约可以供一个家庭用4000年；一个人每天看5000各自，要坚持55年才有可能读完一亿个字”，有的用图画的形式表达了对一亿的认识，如图1所示。
实践活动课程既可以激发学生的学习兴趣，也可以实现数学方法的迁移。本次活动中学生体验了“以小估大”的数学方法，这激发了学生进一步的数学探索热情，在课后，学生也积极的探究相关课题，如探究“一亿颗米有多少千克？”“一亿个一元硬币摞起来有多高？”等，如图2所示。
4.2
团队明确规则，学生巧妙探究
本课以实践探究活动为主体，在明确规则的前提下采用团队方式学习，共同完成学习任务。本课设计2个团队合作任务，分别为“探究一亿张纸摞起来有多高”“想象一万米高度”。
第一个团队活动为本课的主题，采用了3个阶段，2次交流的方式进行。第一个阶段为“制定计划”，团队在此阶段明确任务，分工及操作过程。在“规则”中特别设计“操作方法有创新新和启发性”，以此来激发学生的创新思维，碰撞出智慧的火花。在课上短短的3分钟时间里，学生讨论并设计出了至少3中不同类型的活动方案，体现了此规则的作用。此阶段结束时进行组间交流，组间交流需遵循“倾听”，及“规则”中“启发性”的原则。在这段交流中，同学们相互借鉴，思考提问，完善了自己的活动方案。第二阶段为“实施方案”，在明确任务和方案的前提下，团队合作效率高。为有效积累活动经验，部分学生将自己的操作经验以板书的形式分享给同学，提升了实践活动的价值和意义。第三阶段为“汇报反思”，此阶段具有明确的活动规则，即汇报采用小组配合的方式，汇报结束后其他小组补充或提问，最后给予结构化的评价。在确定流程和规则的前提下，学生交流效率高，并能股从相互的思维碰撞中获得提升。
第二个团队合作体现了“想象力”，此活动以学生个人为主，根据自己的想象力描述“一万米”高度。围绕“规则”要求：描述需要形象，组内交流可以激发彼此思维，拓展想象空间，以下为组内讨论记录：小组成员1说：“我可以用筷子算算，一万米是多少根筷子连起来。”组员2“对了，可以用一次性餐盒，现在外面这么多，我们一天用的餐盒摞起来有没有一万米高？”组员3“好主意，我们就可以看看北京的，咱们查查。”在之后的班级讨论中，更加展现了学生想象力和创作性。
总之，明确的规则和活动环节，增加了团队的凝聚力与成就感，通过反思评价提升团队的合作效率及能力。团队成员彼此配合、互相协作，小组之间相互鼓励，无私帮助，提升了学生的交流能力与合作能力。
4.3逐层设计活动，体验多感官学习
课堂上的活动是为实现学习目标而设计的，在实践的过程中制定简明、清晰的要求和规则，是学生自主学习，完成学习任务的基本保障。活动设计层次分明，不同发展水平的学生都能够获得相应的支架和发展空间。
本课从研究方法和数感体验两个方面，都采用了分层设计的形式。在研究方法上，首先估计“万以内数”，即估计一堆米粒的个数，通过对于此活动中，估计方法的讨论，渗透“转化”思想，为一亿数量的估计做准备。接着学生通过简单方法的迁移，以团队的方式完成对于“一亿”的估计，在此时，学生之间可以相互帮助和启发。最后，一个人的形式估计“一万米”高度，实现了方法的“带、扶、放”的过程。在数感层面上，本课在三个情境下提出“你认为一亿张纸摞起来有多高”有多高的问题，分别是：课前，读取“一亿”资料后，操作后。在不同的经验积累下，学生的数感体会发生变化，如图3所示。把瞬间的思维变化记录下来，最后对比回顾，学生能够更深刻的感受到自己的变化，体验数学的魅力。
多感官教学，把信息变成动作、形象、活动，运用身体的所有部分来接受信息，最大限度地激活大脑。不同学生有自己擅长的感官认知方式，本节课通过“说、听、想、写、做”等活动，充分调动学生的多个感官，让学生亲身参与，都能够在各自擅长的感官体验中学习，有助于更多更快地掌握知识。
在这节课中还存在着很多不足之处，如评价表记录不及时，在教学过程中，有忘记评价的现象，可以进一步发挥学生互评和自评的作用。在今后的教学中我会改正不足，逐步完善自己。
