(共28张PPT)
5.1.1 变化率问题
激趣诱思
知识点拨
珠穆朗玛峰简称珠峰,高度8
844.43米,是世界第一高峰,是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰,每年都会向它发起挑战,但到现在为止能顺利登顶的人并不多。当山势的陡峭程度不同时,登山队员的感受也是不一样的,试想如何用数学知识来反映山势的陡峭程度呢?
激趣诱思
知识点拨
一、平均速度与瞬时速度
1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.
若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间的平均速度是
2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
激趣诱思
知识点拨
名师点析从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.
激趣诱思
知识点拨
微练习
一物体按规律s(t)=2t2运动,则其在时间段[1,2]内的平均速度为 ,在t=3时的瞬时速度是 .?
答案:6 12
激趣诱思
知识点拨
微思考
平均速度与瞬时速度有什么不同?
提示:平均速度表示的是运动的物体在某或某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向.
激趣诱思
知识点拨
二、割线斜率与切线斜率
1.割线与切线的关系
如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限接近点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置。这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线。
激趣诱思
知识点拨
2.割线斜率与切线斜率的关系
激趣诱思
知识点拨
微练习
过曲线y=f(x)=
图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为 ,在点(2,-2)处的切线斜率为 .?
激趣诱思
知识点拨
微点拨
(1)当Δx→0时,割线PPn的斜率称为曲线在点P处的切线的斜率.这样就提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法.
(2)曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关.②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如割线有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如割线不存在极限位置,则曲线在此点处无切线.③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个交点.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求物体运动的平均速度及瞬时速度
例1(2019大同煤矿第四中学高二月考)某质点沿曲线运动的方程为f(x)=-2x2+1(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为( )
A.-4
B.-8
C.6
D.-6
解析:由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为
故选D.
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟求物体运动的平均速度的三个步骤
第一步,求时间的增量Δx=x2-x1;
第二步,求位移的增量Δy=f(x2)-f(x1);
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1(2020定远县育才学校高二月考)质点的运动规律为s=t2+3(t表示时间,s表示位移),则在时间[3,3+Δt]中,质点的平均速度等于( )
答案:A
探究一
探究二
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当堂检测
例2某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1
s时的瞬时速度.
分析:计算物体在[1,1+Δt](Δt>0)或[1+Δt,1](Δt<0)内的平均速度
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s.
则2t0+1=9,∴t0=4.
则物体在4
s时的瞬时速度为9
m/s.
反思感悟求运动物体在t=t0的瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求解曲线在某点处的割线、切线斜率
例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为( )
A.0
B.-1
C.3
D.-6
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟求曲线上某点处的割线或切线的步骤
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求解较为复杂函数图象在某点处的斜率问题
分析:利用立方和公式化简求解.
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟复杂函数在某点处的斜率求解
1.关键是利用公式进行合理准确的运算.
2.常见的公式有:
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2;
(2)完全平方和与完全平方差公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2;
(3)立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
(4)完全立方差公式:
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
完全立方和公式:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a的值是( )
A.9
B.6
C.-9
D.-6
=-4-2a=8.
故a=-6.
答案:D
探究一
探究二
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当堂检测
1.(2020河北石家庄二中高二月考)函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
解析:因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.已知一直线运动的物体,当时间从t变到t+Δt时,物体的位移为
A.时间从t变到t+Δt时物体的速度
B.在t时刻该物体的瞬时速度
C.当时间为Δt时物体的速度
D.时间从t变到t+Δt时物体的平均速度
答案:B
探究一
探究二
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当堂检测
3.(2020陕西高二期末)某运动物体的位移s(单位:米)关于时间t(单位:秒)的函数关系式为s=2t+1,则该物体在t=1秒时的瞬时速度为( )
A.1米/秒
B.2米/秒
C.3米/秒
D.4米/秒
则物体在t=1秒时的瞬时速度为2米/秒.故选B.
答案:B
探究一
探究二
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当堂检测
4.(2019全国高一课时练习)过曲线y=x2上两点A(2,4)和B(2+Δx,4+Δy)作割线,当Δx=0.1时,割线AB的斜率为 .?
答案:4.1
探究一
探究二
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当堂检测
5.函数f(x)=x2-2x+1在x=4处切线的斜率为 .?
答案:6(共38张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
激趣诱思
知识点拨
跳水运动员的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,女子要完成4
个有难度系数限制的自选动作和4个无难度系数限制的自选动作.每个动作的最高得分为
10分,以全部动作完成后的得分总和评定成绩.
如下图,若表示跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,根据图象,请描述比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.
激趣诱思
知识点拨
一、函数的平均变化率
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的
平均变化率.
名师点析1.Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
2.函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速率,即
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)函数f(x)=8x-6在[m,n]上的平均变化率为 .
答案:8
答案:C
激趣诱思
知识点拨
二、导数的概念
名师点析对于导数的概念,注意以下几点:
(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关;
(3)导数的实质是一个极限值.
激趣诱思
知识点拨
微思考
Δx,Δy的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值?
提示:Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为零.平均变化率
可正、可负、可为零.
微练习
利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值.
激趣诱思
知识点拨
三、导数的几何意义
如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.则割线P0P的斜率
激趣诱思
知识点拨
记Δx=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此,函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即
这就是导数的几何意义.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若函数f(x)在x=3处的导数f'(3)=
,则曲线f(x)在(3,f(3))处的切线的倾斜角θ= .?
答案:60°
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?
提示:根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.
(2)曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
提示:不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.
激趣诱思
知识点拨
四、导函数
对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
名师点析导数与导函数之间既有区别又有联系,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无关.
激趣诱思
知识点拨
微练习
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
求函数的平均变化率
例1已知函数f(x)=
-x2,求它在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3];(2)[-4,-2];(3)[x0,x0+Δx].
分析:根据平均变化率的定义求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟求函数平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0);
(2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0;
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
变式训练1函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为( )
A.2x0-1
B.2x0+Δx
C.2x0Δx+(Δx)2
D.(Δx)2-Δx+1
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
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利用导数的定义求函数的导数
例2(1)求函数y=x-
在x=-1处的导数;
(2)求函数f(x)=-x2+3x的导数.
分析:(1)可按照函数导数的定义分步求解;(2)可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在x=-1处的函数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟1.利用定义求函数f(x)的导数的步骤:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);
2.求函数f(x)在某一点x0处的导数,通常可以有两种方法:一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解;二是先利用导数的定义求出函数的导函数,再计算导函数在x0处的函数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练2(1)已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=( )
A.Δx-3
B.(Δx)2-3Δx
C.-3
D.0
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
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导数定义式的理解与应用
A.f'(x0)
B.f'(-x0)
C.-f'(x0)
D.-f'(-x0)
分析:将所给极限式进行整理,构造出导数定义中的极限式进行求解.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟导数定义式的变形应用
在导数的定义式中,自变量的增量Δx可以有多种表达形式,但不论采用哪种形式,Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式,如将Δx变为mΔx,则Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),只有这样,才有
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
导数几何意义的应用
例4已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.
分析:(1)求y'|x=1→求切点→点斜式方程求切线
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,
∴切点P(1,1).
∴k=y'|x=1=3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟导数与斜率的关系及应用
2.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:
(1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;
(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
3.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),
即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一个公共点(-2,-8).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
根据切线斜率求切点坐标
典例过曲线y=x2上某点P的切线满足下列条件,分别求出P点.
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角.
(1)∵切线与直线y=4x-5平行,∴2x0=4,x0=2,y0=4,此时切线方程是y-4=4(x-2),即y=4x-4,与直线y=4x-5平行,∴P(2,4)是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0,y0);
(2)求导函数f'(x);
(3)求切线的斜率f'(x0);
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标.
得k=4m.
由题意可知4m=8,
∴m=2,代入y=2x2-7,得n=1.
故所求切点P为(2,1).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.(2020陕西高二期末)已知函数f(x)在x=x0处的导数为2,则
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 .?
答案:2
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测(共36张PPT)
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 导数的四则运算法则
激趣诱思
知识点拨
高铁是一种非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数s=f(t)=2t2,求它的瞬时速度,即求f(t)的导数.根据导数的定义,就是求当Δt→0时,
所趋近的那个定值,运算比较复杂,而且,有的函数如y=sin
x,y=ln
x等很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢?
激趣诱思
知识点拨
一、几个常用函数的导数
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知f(x)=x2,则f[f'(-2)]的值等于 .?
解析:因为f(x)=x2,所以f'(x)=2x,
于是f'(-2)=-4,故f[f'(-2)]=f(-4)=(-4)2=16.
答案:16
激趣诱思
知识点拨
二、基本初等函数的导数公式
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.函数f(x)=ln
x与f(x)=logax的导数公式之间有内在联系,根据对数的换底公式,可以得到
激趣诱思
知识点拨
微练习
求下列函数的导数:
激趣诱思
知识点拨
微点拨
目前,求解函数导数只适用基本初等函数的求导,若形式不一致,则需先化简后求导.如
可先化为f(x)=cos
x之后再求导.
激趣诱思
知识点拨
三、导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
2.[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,[cf(x)]'=cf'(x).
名师点析两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)函数y=x2-ln
x的导数为 ;?
(2)函数y=xcos
x的导数为 ;?
(3)函数y=
的导数为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
导数公式与运算法则的简单应用
例1求下列函数的导数:
(4)y=(x+1)(x-1)(x2+1);(5)y=tan
x.
分析:分析每个函数的解析式的构成特点,紧扣求导公式和运算法则进行求解,必要时应先对解析式进行恒等变形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求导数的解题策略
1.理解并掌握求导法则和公式的结构规律,熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提.
2.进行求导运算时,要善于分析函数解析式的结构特点,必要时应先对解析式进行恒等变形,化简解析式,再求导.
3.要特别注意“
与ln
x”“ax与logax”“sin
x与cos
x”的导数区别.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1求下列函数的导数:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数
例2求下列函数的导数:
(2)y=3xex-2x+e;
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求复杂函数的导数的方法
求函数的导数时,一般要遵循“先化简再求导”的原则,这样一方面可以简化求导的过程,另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题.尤其是当函数解析式中含有三角函数时,更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,最后再套用公式求导.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究1(变条件)把例2(4)的函数换成“y=xtan
x”,求其导数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
导数几何意义的综合问题
例3已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标.
分析:利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率k=f'(2)=3×22+1=13,
故切线的方程为y+6=13(x-2),
即13x-y-32=0.
因此y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
故直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
探究一
探究二
探究三
素养形成
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∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
故直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
探究一
探究二
探究三
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反思感悟曲线切线方程的求解方法
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:过点P的切线中,点P不一定是切点,点P不一定在已知曲线上;而在点P处的切线,必以点P为切点.遇到类似问题时,必须分清所给的点是否是在曲线上,即是不是切点.如果是切点,那么该点处的导数即为切线的斜率;如果不是切点,那么应先设出切点坐标,再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系,进行求解.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2(1)(2020河南高三月考)已知函数f(x)=3x2+aex,曲线y=f(x)在点x=0处的切线与直线y=
x+1垂直,则a= .?
(2)(2019河北石家庄二中高二月考)已知曲线f(x)=ex,则过原点的切线方程为( )
A.y=x
B.y=x+1
C.y=ex-1
D.y=ex
探究一
探究二
探究三
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解析:(1)f'(x)=6x+aex,f'(0)=a,
所以切点为(1,e),切线的斜率k=f'(1)=e,
所以过原点的切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.故选D.
答案:(1)-2 (2)D
探究一
探究二
探究三
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复杂函数的求导
典例求下列函数的导数:
分析:若所给函数解析式较为复杂,不能直接套用导数公式和导数运算法则时,则可先对函数解析式进行适当的变形与化简,再用相关公式和法则求导.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟对于较为复杂函数的求导:首先观察其形式是否为基本初等函数形式或满足四则运算形式;其次,若满足,直接利用求导公式或法则,若不满足,则转化为上述两形式后再求导.
探究一
探究二
探究三
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变式训练求下列函数的导数:
探究一
探究二
探究三
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1.(2020陕西高二期末)下列函数求导:①(2x)'=2xlog2e;
数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
探究一
探究二
探究三
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2.(2020四川双流中学高二月考)下列结论不正确的是( )
A.若f(x)=0,则f'(x)=0
B.若f(x)=cos
x,则f'(x)=sin
x
解析:对A,f(x)为常数函数,显然成立;对B,f'(x)=-sin
x,故B错误;对C,D,显然都成立.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
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3.设y=-2exsin
x,则y'等于( )
A.-2excos
x
B.-2exsin
x
C.2exsin
x
D.-2ex(sin
x+cos
x)
解析:∵y=-2exsin
x,
∴y'=-2exsin
x-2excos
x=-2ex(sin
x+cos
x).
答案:D
探究一
探究二
探究三
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4.(2020山东高二期末)已知直线y=x+b是曲线y=ax2+1的切线,也是曲线y=ln
x的切线,则a= ,b= .?
探究一
探究二
探究三
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5.求下列函数的导数:
探究一
探究二
探究三
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5.2.3 简单复合函数的导数
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数,还有一种构造新函数的方法,那就是把两个或几个函数“复合”起来,怎样“复合”呢,复合后的函数怎样求导呢?本节课就让我们来解决这些问题.
激趣诱思
知识点拨
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
激趣诱思
知识点拨
名师点析求复合函数的导数需处理好以下环节:
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
(4)善于把一部分表达式作为一个整体;
(5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?
提示:是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.
微练习
(1)函数y=sin
4x的导数为 ;?
(2)函数y=
的导数为 .?
探究一
探究二
探究三
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求复合函数的导数
例1求下列函数的导数:
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x-
);
(3)y=ln(4x-1);(4)y=.
分析:先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)
=18x-24,即y'=18x-24.
(4)设y=eu,u=x2,则yu'=eu,ux'=2x,
于是yx'=yu'·ux'=·2x,即y'=2x.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.解答此类问题常犯两个错误:
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数;
(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤:
探究一
探究二
探究三
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变式训练1求下列函数的导数.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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复合函数求导与导数的运算法则的综合应用
例2求下列函数的导数.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2求下列函数的导数:
(1)y=(2x-1)3;(2)y=sin
2x+cos
2x;(3)y=ln2x.
解:(1)设y=u3,u=2x-1,则yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2;
(2)y'=(sin
2x)'+(cos
2x)'=2cos
2x-2sin
2x;
探究一
探究二
探究三
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导数运算法则的综合应用
例3(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .?
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
探究一
探究二
探究三
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解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
答案:(1)A (2)2
探究一
探究二
探究三
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反思感悟导数综合应用的解题策略
本题正确地求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究1本例(1)的条件变为“曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+m=0的最小距离为2
”,求m的值.
即实数m的值为8或-12.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究2求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积.
解:由题意可知,切线方程为y-1=2x,
即2x-y+1=0.
探究一
探究二
探究三
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等价转化思想在导数几何意义中的应用
典例已知点P是曲线y=f(x)=x2-ln
x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值.
审题视角所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln
x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln
x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.
探究一
探究二
探究三
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解:由已知,可得当点P是曲线y=f(x)的平行于直线y=x-2的切线的切点时,点P到直线y=x-2的距离最小.
探究一
探究二
探究三
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方法点睛这类“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题,可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下:
(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.
(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.
(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.
(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.
探究一
探究二
探究三
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变式训练点P是曲线y=-x2上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为( )
解析:依题意知,点P就是曲线y=-x2上与直线y=x+2平行的切线的切点.设点P坐标为(x0,y0),因为y'=-2x,所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-2x0.因为该切线与直线y=x+2平行,所以有-2x0=1,得
答案:B
探究一
探究二
探究三
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1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是( )
A.y=un,u=x2-1
B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n,t=x2-1
答案:A
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探究二
探究三
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2.(2020黑龙江大庆实验中学高二期末)已知f(x)=sin
2x+e2x,则f'(x)=( )
A.2cos
2x+2e2x
B.cos
2x+e2x
C.2sin
2x+2e2x
D.sin
2x+e2x
解析:因为f(x)=sin
2x+e2x,所以f'(x)=2cos
2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
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3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
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当堂检测(共46张PPT)
5.3.1 函数的单调性
激趣诱思
知识点拨
如图①是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,图②是高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.a=
,b是函数h(t)的零点.
激趣诱思
知识点拨
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
问题1:运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?
问题2:从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?
问题3:通过上述实际例子的分析,联想其他函数的单调性与其导数正负性的关系.
你能得到什么结论?
激趣诱思
知识点拨
一、函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
名师点析“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.?
解析:由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(-∞,1)内单调递减.
答案:(1,+∞) (-∞,1)
微思考
如果函数f(x)在某个区间上恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?
提示:f(x)是常数函数.
激趣诱思
知识点拨
二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
较大
较快
比较“陡峭”(向上或向下)
较小
较慢
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关系.
激趣诱思
知识点拨
微点拨
明确导数值与函数图象变化趋势的关系
1.在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.
2.函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.
激趣诱思
知识点拨
三、已知函数单调性求参数的取值范围
1.解题步骤:
2.注意事项:
一般地,要检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?
(2)若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)满足什么条件?
提示:(1)不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f'(x)>0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.
(2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=x-sin
x在(-∞,+∞)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.不确定
解析:∵f(x)=x-sin
x,∴f'(x)=1-cos
x≥0在(-∞,+∞)上恒成立,且使f'(x)=0的点是一列孤立的点,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述.
激趣诱思
知识点拨
微练习
求函数f(x)=-
ax3+x2+1(a≤0)的单调区间.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
探究一
探究二
探究三
探究四
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函数与导函数图象间的关系
例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为( )
探究一
探究二
探究三
探究四
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(2)(2020天水第一中学高二期末)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
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解析:(1)由函数的图象可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正再为0,再负,再为0,再正,对照选项,应选D.
(2)原函数先减再增,再减再增,且增区间与减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D.
答案:(1)D (2)D
反思感悟研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练1(2020甘肃高二期末)已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
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解析:当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0.故f(x)在(-∞,-1)上为增函数;当-1
0,
∴f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)上为减函数;
当0当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数.故选C.
答案:C
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探究二
探究三
探究四
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利用导数判断或证明函数的单调性
例2在下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=cos
x
B.y=xex
C.y=x3-x
D.y=ln
x-x
解析:A中,y'=-sin
x,当x>0时,y'的符号不确定;B中,y'=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y'>0,故在(0,+∞)内为增函数;C中,y'=3x2-1,当x>0时,
y'>-1;D中,y'=
-1,当x>0时,y'>-1,CD均不符合题意,故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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利用导数求函数的单调区间
角度1 不含参数的函数求单调区间
例3求下列函数的单调区间:
分析:根据利用导数求函数单调区间的步骤将问题转化为解不等式问题进行求解.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟导数法求单调区间及注意事项
1.利用导数求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数的定义域.
(2)求导数f'(x).
(3)在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的单调递增区间,解不等式f'(x)<0得到函数的单调递减区间.
2.在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,单调区间是定义域的子集.
3.当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,而只能用“,”或“和”连接.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练3求下列函数的单调区间:
(2)f(x)=ex-x.
解:(1)函数定义域为R,f'(x)=4-x2.
令f'(x)>0,即4-x2>0,解得-2令f'(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2.
故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞).
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0;
令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0.
故函数的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
探究一
探究二
探究三
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角度2 含参数的函数的单调区间
例4讨论函数f(x)=
ax2+x-(a+1)ln
x(a≥0)的单调性.
探究一
探究二
探究三
探究四
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由f'(x)>0,得x>1,
由f'(x)<0,得0f(x)在(0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增函数.
(2)当a>0时,
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0∴f(x)在(0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增函数.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增函数.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟求含参函数单调区间的方法
当函数解析式中含有参数时,求其单调区间问题往往就要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况综合表述.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练4设f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.
解:f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.
若a≤0,则f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln
a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln
a,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln
a)上单调递减,在(ln
a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln
a)上单调递减,在(ln
a,+∞)上单调递增.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知函数的单调性求参数的值或范围
例5已知函数f(x)=x3-ax-1为单调递增函数,求实数a的取值范围.
分析:f(x)单调递增→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的取值范围
解:由已知得f'(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)内是单调增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a满足a≤0.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法:
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调减区间为(-1,1),求a的取值范围.
解:由f'(x)=3x2-a,
①当a≤0时,f'(x)≥0,
f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
利用导数证明不等式
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟利用导数证明不等式的常见形式与证明步骤
1.常见形式:
已知x∈(a,b),求证:u(x)>v(x).
2.证明步骤:
(1)将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)>0.
(2)在x∈(a,b)上,判断f'(x)的符号.
(3)若f'(x)>0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0即可;若f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上是减函数,在(1,4)上为增函数,
∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;
当10.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.下列函数中,在区间(-1,1)内是减函数的是( )
A.y=2-3x2
B.y=ln
x
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.若函数f(x)=-
x2+aln
x在区间(1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为( )
A.[1,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
区间(1,+∞)上恒成立.
∴a≤x2在区间(1,+∞)上恒成立.
∵x2>1,∴a≤1.经检验,等号可取.
故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.函数y=2x+sin
x的单调递增区间为 .?
解析:∵函数定义域为R,且y'=2+cos
x>0对于任何实数都成立,
∴函数的递增区间是(-∞,+∞).
答案:(-∞,+∞)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
若x∈(0,+∞),则f'(x)<0,
所以f(x)在(0,+∞)内是减函数.
综上可知,(共41张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
激趣诱思
知识点拨
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,说的是庐山的高低起伏,错落有致.在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢?
激趣诱思
知识点拨
一、函数极值的概念
1.若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
2.若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
3.极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
3.极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.
4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
激趣诱思
知识点拨
5.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.
6.若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.
7.如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交替出现的.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列说法错误的是( )
A.-2是函数y=f(x)的极小值点
B.1是函数y=f(x)的极值点
C.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零
D.y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
解析:f'(1)=0,但在x=1附近的左、右两侧的导函数值同号,则1不是f(x)的极值点,故选B.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
二、函数极值的求法
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:
1.求函数y=f(x)的导数f'(x).
2.解方程f'(x)=0,得方程的根x0.
3.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
名师点析导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故须对f'(x)=0的解进行检验.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=x3-3x的极大值等于 ,极小值等于 .?
解析:由题意知f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0,当x∈(-1,1)时f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时f'(x)>0,所以当x=-1时,函数取极大值f(-1)=2;当x=1时,函数取极小值f(1)=-2.
答案:2 -2
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用导数求函数的极值
角度1 不含参数的函数求极值
例1求下列函数的极值:
分析:按照求函数极值的步骤,借助表格进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
所以函数在x=-1处取得极大值f(-1)=e,无极小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用导数求函数极值的方法
利用导数研究函数的极值时,一般应首先明确函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点.这些点将整个定义域分为若干个区间,最后将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中.观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:函数f(x)的定义域为R,
令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,
解得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度2 含参数的函数求极值
例2已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当a∈R且a≠
时,求函数的极值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.
∴f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,
在(-2a,a-2)内是减函数.
∴函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.
∴函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),
且f(-2a)=3ae-2a.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求函数的定义域.
(2)求函数的导数f'(x).
(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0.
(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内.
(5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2若函数f(x)=x-aln
x(a∈R),求函数f(x)的极值.
(1)当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.
(2)当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.
当0当x>a时,f'(x)>0.
∴f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-aln
a,无极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln
a,无极大值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由极值求参数的值或取值范围
例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值
.
(1)求a,b的值;
(2)求函数的另一个极值.
分析:(1)可利用f'(1)=0,f(1)=
建立关于a,b的方程组求解;(2)按照求极值的步骤求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,
所以f'(x)=3x2+2ax+b,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析:f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,等价于f'(x)=0在(1,+∞)内有两个不等实根.
解:f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟根据函数极值求参数的方法
根据函数极值的定义可知,如果一个函数是可导函数,那么在极值点处的导数必然为零,即对于可导函数y=f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的必要条件,当已知函数在某一点处取得极值时,该点处的导数值一定为零,据此可建立关于参数的方程进行求解.特别地,利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c为( )
A.2
B.6
C.2或6
D.-2或-6
解析:∵函数f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,它的导数为f'(x)=3x2-4cx+c2,
由题意知,在x=2处的导数值为12-8c+c2=0,
∴c=6,或c=2,
又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,故导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.
当c=2时,f'(x)=3x2-8x+4=3(x-
)(x-2),不满足导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.
当c=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),
满足导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.故c=6.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由函数图象分析函数的极值
例5已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)
是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内是增函数;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=-
处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有 .(填所有正确的序号)?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析:通过图象考查f'(x)在相关区间上的符号,以及在相关各点的左右两侧的导数值是否异号,结合极值的定义进行判断.
解析:从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内是增函数,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内是减函数,③错;当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内是减函数,而在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确.
答案:①②④
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟由函数图象研究极值的方法
这类函数图象问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点.对于导函数的图象,我们重点考查其在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点处,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练4已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)内是增函数;②函数f(x)在(-2,0)内是增函数,在(0,2)内是减函数;③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;④函数f(x)在x=0处取得极大值.其中正确命题的序号是 .(填所有正确命题的序号)?
解析:函数f(x)在(-2,-1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,故①错;因为f'(x)在(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在(-2,0)内是增函数,同理f(x)在(0,2)内是减函数,故②正确;③错误;当-20,当0答案:②④
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
极值问题的综合应用
典例已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
分析:求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,
解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;
当-1当x>1时,f'(x)>0.
所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基本上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的问题提供了方便.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究1(改变条件)本例中,若方程f(x)=0恰有两个根,则实数a的值如何求解?
解:由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,
若f(x)=0恰有两个根,则有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究2(改变条件)本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.
解:由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或
-2+a>0,
即a<-2或a>2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.(2020陕西高二期末)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是( )
A.在区间(-2,2)上为减函数
B.在x=-2处取得极小值
C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上为增函数
D.在x=0处取得极大值
解析:由图象知f(x)在(-∞,-2)递减,在(-2,2)递增,在(2,+∞)递减,
故f(x)在x=-2取极小值,在x=2取极大值,故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.0
B.-1
C.0或1
D.1
解析:∵f'(x)=x3-x2=x2(x-1),
由f'(x)=0,得x=0或x=1.
又当x>1时f'(x)>0,
当0∴1是f(x)的极小值点.
又x<0时f'(x)<0,
故0不是函数的极值点.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3)
B.(3,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,3)
解析:∵f'(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值,
∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,a=-15,
∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),
由f'(x)>0得x<2或x>3.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知a是函数f(x)=x3-12x的极大值点,则a= .?
解析:∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12.
令f'(x)=0,则x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,
则f(x)单调递增;
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,
∴当x=-2时,f(x)取极大值,故f(x)的极大值点是a=-2.
答案:-2
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.(2019广东石门中学高二月考)已知函数f(x)=
x3+bx2+cx+3在
(-∞,-1)和(3,+∞)上为增函数,在(-1,3)上为减函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在R上的极值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共58张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
激趣诱思
知识点拨
费马(1601—1665)是一位17世纪的法国律师,也是一位业余数学家.之所以称费马为“业余数学家之王”,是由于他具有律师的全职工作.17世纪是杰出数学家活跃的世纪,而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就,是17世纪数学家中最多产的明星.
他将无穷小的思想运用到求积问题上,已具今日微积分的雏形,这也是费马的卓越成就之一.他在牛顿出生前的13年,提出了有关微积分的主体概念.
大约在1637年,他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧.
激趣诱思
知识点拨
一、函数在闭区间上的最值
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
名师点析1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)=
在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.
2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数
激趣诱思
知识点拨
3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.
4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在开区间或无穷区间上,最值与极值的联系有哪些?
提示:当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里(a,b)也可以换成无穷区间.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题:
①若f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值;
②若f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值;
③若f(x)在[a,b]上有最值,则最值必在x=a或
x=b处取得.
其中真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:由于函数的最值可能在区间[a,b]的端点处取得,也可能在区间[a,b]内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此命题①②③都不是真命题.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
二、函数在闭区间[a,b]上最值的求法
一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
1.求函数y=f(x)在(a,b)上的极值;
2.将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
名师点析如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值的和是 .?
答案:-10
激趣诱思
知识点拨
三、生活中的优化问题
在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.
名师点析解决优化问题的一般步骤
(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多,信息量较大,涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.
(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.
(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?
提示:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-
x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
解析:∵y=-
x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).
令y'<0,得x>9;令y'>0得0∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减,
∴当x=9时,函数取得最大值.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求函数的最值
角度1 求函数在闭区间上的最值
例1求下列函数在相应区间上的最值:
(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
分析:求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法
1.求函数f(x)的导函数f'(x);
2.解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;
3.计算函数f(x)在区间[a,b]内使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;
4.比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度2 求函数在开区间或无穷区间上的最值
例2求下列函数的最值:
分析:没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求函数在开区间或无穷区间上最值的方法
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与最值有关的参数问题
角度1 求含参数函数的最值
例3a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解:f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
若a≤0,则f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,
所以当x=0时,有最大值f(0)=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求解函数在区间上的最值,需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.注意由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.
(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度2 与函数最值和参数有关的综合问题
例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);
(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值,
即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)内有极大值g(1)=1-m.
h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0.∴m的取值范围为(1,+∞).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解:令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,
存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立,
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴-3-m<0,∴m>-3,
所以实数m的取值范围为(-3,+∞).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究2若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2∈[0,2],都有h(t1)<-2t2+m”,求实数m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
生活中常见的几种优化问题
角度1 利润(收益)最大问题
例5(2019河北高二期中)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式
y=
+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
分析:(1)根据x=5时,y=11求a的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
=2+10(x-3)(x-6)2(3由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利润最大问题的求解策略
利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:
(1)利润(收益)=收入-成本;
(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.
解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获利润f(x)最大.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)由题意,当x=2时,y=800,∴a+b=800.
又∵x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴x=5.3时有最大值1
840.
∵1
800<1
840,
∴当x=5.3时,f(x)有最大值1
840,
即当销售价格为5.3元时,商场所获利润最大.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度2 用料最省、成本(费用)最低问题
例6(2019普陀区高三期中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.
分析:(1)由C(0)=8可求k的值从而求出f(x)的表达式.
(2)用导数方法研究f(x)的最小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟费用最省问题的求解策略
(1)用料最省、造价最低问题是日常生活中常见的问题之一,此类问题的求解思路是明确自变量的意义及最值问题所研究的对象,找到变量之间的关系,借助关系建立函数关系式,然后借助导数予以求解.
(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练4甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,
当0当800,
∴当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度3 面积、体积的最值问题
例7请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x
cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析:用变量x表示出包装盒的底边长和高,再求侧面积与容积的最大值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟面积与体积最值问题的求解策略
求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题,解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式,能够依据题意确定出自变量的取值范围,建立准确的函数关系式,然后利用导数的方法加以解决,必要时,可选择建立坐标系,通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练5有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),则做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x,
V'(x)=12x2-8ax+a2.
令V'(x)=0,得12x2-8ax+a2=0,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在求函数最值中的应用
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
分析:(1)可利用导数通过解不等式求得单调区间;(2)中因为函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此需比较极值点和端点处的函数值的大小,最后再将讨论的情况进行合并整理.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论进行求解.
2.本题因极值点e与所给闭区间的两个端点的大小不确定,从而展开讨论,要做到不重不漏.
3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对参数展开第二层讨论.
4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练已知函数f(x)=ax-ln
x,是否存在实数a,使得函数在(0,e]上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,e]上单调递减.
所以f(x)在(0,e]上的最小值为f(e)=ae-1,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若函数f(x)=-x4+2x2+3,则f(x)( )
A.最大值为4,最小值为-4
B.最大值为4,无最小值
C.最小值为-4,无最大值
D.既无最大值,也无最小值
解析:f'(x)=-4x3+4x.
由f'(x)=0得x=±1或x=0,
易知f(-1)=f(1)=4为极大值也是最大值,故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x
h,原油温度(单位:℃)为f(x)=
x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是
℃/h.?
解析:原油温度的瞬时变化率为f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
答案:-1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.设函数f(x)=x3-
-2x+5,若对任意x∈[-1,2],有f(x)>m恒成立,则实数m的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
当x>1时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
∴当x=1时,函数f(x)有最大值,且最大值f(1)=-1,函数无最小值.(共39张PPT)
章末整合
专题一 导数的几何意义?
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-
x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
解:(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)法一:设切点为(x0,y0),
∴x0=-2.
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
∴切线的斜率k=4.
设切点坐标为(x0,y0),
即切点为(1,-14)或(-1,-18).
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
规律方法1.导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.
2.围绕着切点有三个等量关系:已知切点(x0,y0),则(1)k=f'(x0);(2)y0=f(x0);(3)(x0,y0)满足切线方程.
变式训练1曲线y=esin
x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为
,求直线l的方程.
m=-1或3.
∴直线l的方程为:x-y-1=0或x-y+3=0.
专题二 利用导数研究函数的单调性问题?
例2(1)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)-f(x)≤0,对任意正数a,b,若aA.af(b)B.bf(a)C.af(a)D.bf(b)答案:A
当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),
所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
规律方法(1)解决问题的过程中,只能在函数的定义域内进行.
(2)在划分函数的单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.此外,求得的根要判断是否在定义域中.
(3)涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.
变式训练2(1)已知函数f(x)=xekx-1,g(x)=ln
x+kx,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值;
(2)已知函数f(x)=-
a(x-1)2+x-ln
x,其中a>0,求函数f(x)的单调区间.
当a=1时,f'(x)≤0在(0,+∞)内恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)内单调递减,无单调递增区间;
专题三 利用导数研究函数的极值、最大(小)值问题?
解:(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,
因为a>0,所以x1当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,f(x)有极大值2,即3a+2b=3.
(2)当0所以f(a)为最小值,
规律方法(1)求函数y=f(x)的极值点时一般需确定f'(x)=0的根和函数y=f(x)的单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得结论.
变式训练3设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;
(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?
解:(1)f'(x)=3x2-2x-1.令f'(x)=0,
则x=
-
或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0,
x取足够小的负数时,有f(x)<0,所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
变式训练4已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,t](0解:(1)因为f'(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.
又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.
所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.
(2)由f(x)=x3-3x2+2,
得f'(x)=3x2-6x.
由f'(x)=0,得x=0或x=2.
①当0②当2f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,
所以f(x)max=f(0)=2.
专题四 生活中的优化问题?
例4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为
立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元,半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.
(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域;
(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.
规律方法解决优化问题的步骤
(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.
(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
变式训练5某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距a
m,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x
m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+
)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
当0当640,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以f(x)在x=64处取得最小值.
专题五 导数的综合应用?
角度1 利用导数研究方程的根(函数的零点)
例5设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;(2)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围.
解:(1)由已知得f'
(x)=3x2-2x-1,令f'
(x)=0,得x=-
或x=1,当x变化时,f'
(x),f(x)变化情况如下表:
规律总结根据方程的根求参数的解题策略
方程f(x)=0的根,就是函数y=f(x)的零点,以及y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.因此与方程的根(函数的零点)有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数的大致图象,结合图象讨论它与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围.
变式训练6设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求f(x)的极值点;
(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围;
(3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.
(3)法一:f(x)≥k(x-1),
即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1),
因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2+x-5,由二次函数的性质得g(x)在
(1,+∞)上是增函数,所以g(x)>g(1)=-3,
所以所求k的取值范围为(-∞,-3].
法二:直线y=k(x-1)过定点(1,0)且f(1)=0,
曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f'(1)=-3,
由(2)中草图知要使x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立需k≤-3.故实数k的取值范围为(-∞,-3].
角度2 利用导数研究不等式问题
例6已知f(x)=xln
x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)可通过解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到单调区间;(2)先将不等式进行参数分离,把待求范围的参数a移至不等式的一边,再利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范围.
解:(1)∵函数f(x)=xln
x的定义域为(0,+∞),
∴f'(x)=ln
x+1.
当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:
∴当x=1时,h(x)取得最大值,且h(x)max=h(1)=-2,
∴若a≥h(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,则a≥h(x)max=-2,即a≥-2,故a的取值范围是[-2,+∞).
规律方法不等式恒成立问题的解法
有关不等式的恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题.求解时,要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知,即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数,然后利用导数研究其最值,最后求得参数的取值范围.一般地,λ≥f(x)恒成立?λ≥f(x)max;λ≤f(x)恒成立?λ≤f(x)min.
变式训练7已知函数f(x)=x3-
x2+bx+c.
(1)若f(x)有极值,求b的取值范围;
(2)当f(x)在x=1处取得极值时,试证明对[-1,2]内的任意两个值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤
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