(共39张PPT)
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
激趣诱思
知识点拨
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……,对于集合,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.
激趣诱思
知识点拨
一、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.
2.点的坐标
激趣诱思
知识点拨
3.向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作
=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).
名师点析1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.
2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为 .?
微思考
在空间直角坐标系中,向量
的坐标与终点P的坐标有何关系?
(3,2,-1)
答案:向量
的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.
激趣诱思
知识点拨
二、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
激趣诱思
知识点拨
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)当b≠0时,a∥b?a=λb?
(λ∈R);?
(2)a⊥b? ? .?
名师点析当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b?
.
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
激趣诱思
知识点拨
4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n= ?,
3m-n= ?,(2m)·(-3n)= .?
微练习2
已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ= ,若a⊥b,则
λ= .?
(-1,-1,1)
(5,-11,19)
168
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
4
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知识点拨
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
空间向量的坐标表示
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
探究一
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当堂检测
反思感悟用坐标表示空间向量的步骤如下:
探究一
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探究三
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空间向量的坐标运算
例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
探究四
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当堂检测
(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.
(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),
所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.
反思感悟空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.
(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.
探究一
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探究三
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探究一
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素养形成
当堂检测
探究一
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当堂检测
空间向量的平行与垂直
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
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反思感悟向量平行与垂直问题主要题型
(1)平行与垂直的判断;
(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练3已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).
(1)若a∥b,分别求λ与m的值;
探究一
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空间向量夹角与模的计算
例4如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求BM,BN的长.
(2)求△BMN的面积.
思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得出
的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面积公式计算.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟向量夹角与模的计算方法
利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos
∠EAF= ,EF= .?
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
解析:以A为原点,AB,AD,AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,则
探究一
探究二
探究三
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一题多变——空间向量的平行与垂直
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何?
探究一
探究二
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当堂检测
延伸探究2本例中若点G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
A.(2,1,-3)
B.(-1,2,-3)
C.(1,-8,9)
D.(-1,8,-9)
答案:D
探究一
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当堂检测
2.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是( )
A.b=(1,0,0)
B.c=(0,-1,0)
C.d=(-1,-1,1)
D.e=(0,0,-1)
答案:B
解析:比较选项中各向量,观察哪个向量符合λa=(0,λ,0)的形式,经过观察,只有c=-a.
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于( )
答案:D
探究一
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4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为( )
答案:C
解析:因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),
所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,
探究一
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当堂检测
5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).
(1)计算2a-3b和|2a-3b|.
(2)求
.(共48张PPT)
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的
位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量
表示及空间中直线、平面的平行
激趣诱思
知识点拨
牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.
这是为什么呢?
激趣诱思
知识点拨
一、空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
激趣诱思
知识点拨
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
下列说法中正确的是( )
A.直线的方向向量是唯一的
B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C.直线的方向向量有两个
D.平面的法向量是唯一的
答案:B
解析:由平面法向量的定义可知,B项正确.
激趣诱思
知识点拨
3.空间平面的向量表示式
激趣诱思
知识点拨
4.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是( )
答案:D
激趣诱思
知识点拨
微练习3
A.(-1,2,-1)
B.(1,2,1)
C.(1,2,-1)
D.(-1,2,1)
答案:A
令x=-1,则y=2,z=-1.
即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).
激趣诱思
知识点拨
二、空间中直线、平面平行的向量表示
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则x= ,y= .?
微练习2
若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是 .?
答案:-12 15
答案:平行
解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,
所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
探究一
探究二
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平面法向量及其求法
例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.
探究一
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解:如图所示建立空间直角坐标系.
依题意可得D(0,0,0),
P(0,0,1),
探究一
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当堂检测
反思感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?
解:如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.
探究一
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探究三
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当堂检测
变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
探究一
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探究三
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当堂检测
解:以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
探究一
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当堂检测
利用向量方法证明线线平行
例2在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.
证明:
(方法1)以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
探究一
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素养形成
当堂检测
反思感悟要证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.
探究一
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探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
利用向量方法证明线面平行
例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
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探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(方法3)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
设正方体的棱长为1,则可求得
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
反思感悟利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
证明:建立如图所示的空间直角坐标系.
设AC∩BD=N,连接NE,
又因为NE?平面BDE,AM?平面BDE,
所以AM∥平面BDE.
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
利用向量方法证明面面平行
例4如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
思路分析建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.
设正方体的棱长为1,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练4在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,
M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,3,0),
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
一题多解——利用向量方法证明面面平行
典例如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
解题提示证明面面平行常用的方法有两种,一是证明它们的法向量共线;二是转化为线面平行、线线平行即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:(方法1)设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B'(1,1,1),
D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1).
所以n1=n2,所以n1∥n2,
故平面AB'D'∥平面BDC'.
即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.
又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
所以n1也是平面BDC'的一个法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
点评建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征,尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段,特别是有垂直关系的一些几何体,如正方体,长方体,直棱柱,有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,其中长方体(或正方体)是最简单的模型.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则( )
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1,l2相交但不垂直
D.不能确定
答案:A
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探究二
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素养形成
当堂检测
2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB( )
A.与坐标平面xOy平行
B.与坐标平面yOz平行
C.与坐标平面xOz平行
D.与坐标平面yOz相交
答案:B
解析:因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以
=(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
3.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是( )
A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)
D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
答案:D
解析:因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:-8
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测(共33张PPT)
第2课时 空间中直线、平面的垂直
知识点拨
空间中直线、平面垂直的向量表示
微练面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( )
A.2
B.-5
C.4
D.-2
答案:B
解析:因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )
(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )
(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )
答案:
(1)× (2)√ (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量方法证明线线垂直
例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.
思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,
则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:
(1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量方法证明线面垂直
例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,
AD=2
,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则B(4,0,0),P(0,0,4),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量方法证明面面垂直
例3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),A1(2,0,1),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,
AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=
AD.
求证:平面AMD⊥平面CDE.
分析:因为FA⊥平面ABCD,所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
应用空间向量解答探索性(存在性)问题
立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个:
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论;
(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AC=2a,∠ABC=90°,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)存在.理由如下:
假设存在点F,使CF⊥平面B1DF.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
归纳总结空间向量适合解决这类立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.解题时,把要说明成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围的解”等,所以使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),则( )
A.l?α
B.l∥α
C.l⊥α
D.l与α相交
答案:C
解析:∵直线l的方向向量为a=(1,-2,3),
平面α的法向量为n=(-3,6,-9),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则( )
A.平面AED∥平面A1FD1
B.平面AED⊥平面A1FD1
C.平面AED与平面A1FD1相交但不垂直
D.以上都不对
答案:B
解析:以D为原点,
分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是 .?
答案:l⊥β
解析:因为a∥b,所以l⊥β.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,
∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:建立空间直角坐标系,如图,取A(0,0,a),则易得B(0,0,0),(共27张PPT)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题
激趣诱思
知识点拨
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?
激趣诱思
知识点拨
一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
1.点到直线的距离
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
名师点析点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为 .?
激趣诱思
知识点拨
二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为
2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
3.两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为 .?
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用空间向量求点线距
例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(4,0,1),C1(0,3,1),
所以直线A1C1的方向向量
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;
(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究1例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.
解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略).
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究2将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到A1C1的距离.
解:以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直线,BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A1(2,0,2),
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用空间向量求点面距
例2在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2
,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.
思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN的法向量,再求距离.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:取AC的中点O,连接OS,OB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC.
又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.
如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟求点到平面的距离的主要方法
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)解:因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.
如图建立坐标系,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
转化与化归思想在求空间距离中的应用
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
D(0,2,2),
所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.
又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
所以GF∥AB,EF∥BD.
又GF∩EF=F,AB∩BD=B,
所以平面EGF∥平面ABD.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法总结求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )
答案:D
解析:分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案:3
解析:以点C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(4,0,0),B(0,3,0),
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为 .?
解析:如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测(共38张PPT)
第2课时 利用向量求空间角
激趣诱思
知识点拨
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来.
激趣诱思
知识点拨
一、利用向量方法求两条异面直线所成的角
名师点析不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是
,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
答案:B
激趣诱思
知识点拨
二、利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则
名师点析1.直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是
激趣诱思
知识点拨
微练习
若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120°
B.60°
C.150°
D.30°
答案:D
解析:因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,所以它们所在直线的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角等于
90°-60°=30°.
激趣诱思
知识点拨
三、利用向量方法求两个平面的夹角
1.平面α与平面β的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
2.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角,设平面α与平面β的夹角为θ,则
2.因为两个平面法向量的方向不确定,故∈(0,π),若为钝角,应取其补角.
激趣诱思
知识点拨
A.120°
B.30°
C.60°
D.30°或150°
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量方法求两异面直线所成角
例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.
思路分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成角的范围是
,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量方法求直线与平面所成角
例2如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
思路分析(1)线面平行的判定定理?MN∥平面PAB.
(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角?直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
又AD∥BC,故TN?AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)解:如图,取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量方法求两个平面的夹角
例3如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
思路分析有两种思路,一是先根据二面角平面角及两个平面夹角的定义,在图形中作出二面角的平面角,然后利用向量方法求出向量夹角从而得到两平面夹角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量,通过法向量的夹角求得两平面夹角的大小.
?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用平面的法向量求两个平面的夹角
利用向量方法求两平面夹角大小时,多采用法向量法.即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到两平面夹角.需注意法向量夹角范围是[0,π],而两平面夹角范围是
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求平面A1B1C与平面A1CC1夹角的大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:如图,建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),
设AC的中点为M,
因为BM⊥AC,BM⊥CC1,
所以BM⊥平面A1C1C,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
一题多变——空间角的求法
典例如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,
AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA=60°,求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,
又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,
因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.
(2)解:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面BDD1B1的一个法向量为n=(0,1,0),
设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),
探究一
探究二
探究三
素养形成
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延伸探究1本例条件不变,求平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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探究一
探究二
探究三
素养形成
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延伸探究2本例四棱柱中,∠CBA=60°改为∠CBA=90°,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1E与平面AD1F夹角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
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令x2=2,则y2=-1,z2=1.所以n2=(2,-1,1).
所以平面AB1E与平面AD1F夹角的余弦值为
方法总结
向量法求两平面夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤
(1)建立适当的坐标系,写出相应点的坐标;
(2)求出两个平面的法向量n1,n2;
(3)设两平面的夹角为θ,则cos
θ=|cos|,据此得解.
探究一
探究二
探究三
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1.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
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2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos=-
,则l与α所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
答案:A
解析:由已知得直线l的方向向量和平面α的法向量所夹锐角为120°,因此l与α所成的角为30°.
探究一
探究二
探究三
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3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.90°
D.60°
答案:D
解析:以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,
∵M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,
探究一
探究二
探究三
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4.在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=
PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为 .?
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.求平面ABE与平面DBE夹角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
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解:以B为原点,以直线BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,0,3),A(0,3,0),D(3,3,0).
设平面EBD的一个法向量为n1=(x,y,z),(共37张PPT)
章末整合
专题一 应用空间向量证明位置关系?
例1如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.
求证:(1)MN∥平面PAD;
(2)平面PMC⊥平面PDC.
证明:(1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
设PA=AD=a,AB=b,
则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).
∵M,N分别为AB,PC的中点,
方法技巧利用空间向量证明平行、垂直关系的方法
(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可.
(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量.
(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.
(4)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.
(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②转化为线线垂直问题.
(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.
变式训练1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有侧棱长及底面边长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
证法三:如图,取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都为中点,所以OB⊥OO1.
又平面ABC⊥平面BCC1B1,
所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.
专题二 应用空间向量求空间距离?
例2如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).
设F(0,0,z).
由题意得AEC1F为平行四边形,
方法技巧向量法求点面距离的步骤
变式训练2在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点.
(1)求证:AD∥平面A1EFD1;
(2)求直线AD与平面A1EFD1的距离.
证明:(1)如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则
又D1A1?平面A1EFD1,DA?平面A1EFD1,
所以DA∥平面A1EFD1.
专题三 应用空间向量求空间角?
例3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.
(1)求异面直线A1D与AM所成的角;
(2)求直线AD与平面ANM所成角θ的正弦值;
(3)求平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值.
解:以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).
方法技巧向量法求线面角、两平面夹角的方法
(1)利用空间向量求直线与平面所成的角的两种方法:①分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量,将问题转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,则其余角就是斜线和平面所成的角.
(2)利用空间向量求两平面夹角的两种方法:①利用定义,分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小,再由此得两平面的夹角;②通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则两平面夹角的大小等于(或π-),注意取锐角或直角.
变式训练3在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,点E是PB的中点.
(1)求异面直线AE与CP所成角的余弦值;
(2)若点F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求点F的坐标;
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
解:(1)如图所示建立空间直角坐标系D-xyz.
由题意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).
∵E为PB的中点,∴E(1,1,1),
专题四 空间中的折叠与探究性问题?
例4如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面ADC1;
(2)求平面ADC1与平面ABC夹角的余弦值;
(3)线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OD,如图.
由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,
所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD.
因为OD?平面ADC1,A1B?平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1.
(2)解:由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1两两垂直,
以BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.
设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),
(3)解:存在.假设存在满足条件的点E.
因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.
方法技巧解决存在性问题的基本策略
假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.
变式训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,
PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=
(1)求证:PD⊥PB.
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
(1)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD于AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,
∴PD⊥AB.
又∵PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.
(2)解:如图,取AD中点为O,连接CO,PO.
例5(2020陕西汉中高二检测)如图①,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=6,AD=2
,E,F分别是CD的两个三等分点,若把等腰梯形沿虚线AF,BE折起,使得点C和点D重合,记为点P,如图②.
(1)求证:平面PEF⊥平面ABEF;
(2)求平面PAE与平面PAB夹角的余弦值.
(1)证明:∵四边形ABCD为等腰梯形,AB=2,CD=6,AD=2
,E,F是CD的两个三等分点,
∴四边形ABEF是正方形,∴BE⊥EF.
∵BE⊥PE,且PE∩EF=E,
∴BE⊥平面PEF.
又BE?平面ABEF,
∴平面PEF⊥平面ABEF.
(2)解:过点P作PO⊥EF于点O,过点O作BE的平行线交AB于点G,则PO⊥平面ABEF,
以O为坐标原点,以OG,OE,OP所在直线
分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系,如图所示.
方法技巧解决与折叠有关问题的方法
解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.
(1)证明:取AD的中点O,连接OB,OP,
∵BA=BD,EA=ED,
即PA=PD,∴OB⊥AD且OP⊥AD,
又OB∩OP=O,
∴AD⊥平面BOP,而PB?平面BOP,
∴PB⊥AD.
(2)解:∵OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,
∴PO⊥OB,∴OP,OB,OD两两互相垂直,
以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,