(共40张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指 数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识·自主学习
导思
1.在初中学过平方根、立方根、根号，那么还有没有其他次方的方根？怎样表示？
2.在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质，当指数不是正整数时，有什么含义和运算性质？
1.n次方根
如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.可用下表表示：
提示：不一定.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数.
2.根式
(1)式子
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：当n>1，n∈N
时，
①(
)n=__；
②
=
a
【思考】
式子(
)4与
中的a的范围一样吗？
提示：不一样，式子(
)4中a≥0，
中a∈R.
3.分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N
，且n>1)
【思考】
分数指数幂中，为什么规定底数a>0？
提示：当a=0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；
当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则
无意义.
4.有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)
(1)aras=ar+s. (2)(ar)s=ars.
(3)(ab)r=arbr.
【思考】
同底数幂相除ar÷as，同次的指数幂相除
分别等于什么？
提示：(1)ar÷as=ar-s；(2)
.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)
=-2.
( )
(2)?a∈R，(a2+1)0=1.
( )
(3)
.
( )
提示：(1)×.
=2.
(2)√.?a∈R，a2+1≠0，所以有(a2+1)0=1.
(3)×.
.
2.下列运算中正确的是
( )
A.a2a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
C.(
-1)0=1
D.(-a2)5=-a10
【解析】选D.a2a3=a2+3=a5，(-a2)3=-a2×3=-a6，(-a3)2=a6，当a=1时，
(
-1)0无意义，(-a2)5=-a10.
3.(教材二次开发：习题改编)
=_______.?
【解析】
=|x-2|=
答案：
关键能力·合作学习
类型一 n次方根的概念及相关的应用(数学运算)
【题组训练】
1.
的值为
( )
A.-6
B.2
-2
C.2
D.6
2.把(a-1)
根号外的(a-1)移到根号内等于
( )
3.若
，则实数a的取值范围是_______.?
【解析】1.选A.
-4,
所以原式=-6+4-
-4=-6.
2.选C.由
≥0，得a<1，则a-1<0，
所以(a-1)
3.因为
所以1-3a≥0，所以a≤
.
答案：
【解题策略】
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进
行化简.
(2)注意点：
①正确区分(
)n与
两式.
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方
公式的运用，必要时要进行讨论.
【补偿训练】
若n等于( )
A.2m
B.2n
C.-2m
D.-2n
【解析】选C.原式=
=|m+n|-|m-n|，因为n所以m+n<0，m-n>0，所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.
类型二 根式的化简、分数指数幂求值(数学运算)
【典例】1.化简
的结果是
( )
A.
B.
C.3
D.5
2.
(a>0)的分数指数幂表示为
( )
D.都不对
3.化简
(a>0)的结果是
( )
【思路导引】1.
2.从里向外依次化为指数式.
3.化为指数式后利用指数运算性质计算.
【解析】1.选A.原式=
2.选A.
3.选B.
【解题策略】
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数
分数指数的分母，
被开方数(式)的指数
分数指数的分子.
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用
有理数指数幂的运算性质解题.
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
【跟踪训练】
1.求值
=_______.?
【解析】原式=
答案：
2.用分数指数幂表示a·
=_______.?
【解析】原式=a·
答案：
类型三 分数指数幂运算性质的应用(数学运算)
角度1 化简问题?
【典例】(2020·衡阳高一检测)
=_______.(式中的字母均是
正数)?
【思路导引】将根式化为分数指数幂，然后进行运算.
【解析】原式=
答案：
【变式探究】
将本例中的式子变为
，试计算.
【解析】原式=5×(-4)×
角度2 求值问题?
【典例】计算：
【思路导引】将各个因式求值后计算.
【解析】原式=
-1+2=2.
【解题策略】
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算形式时出错.
【跟踪训练】
计算下列各式：
(1)(2020·南通高一检测)
(2)
【解析】(1)原式=
(2)
=[2×(-3)÷(-6)]
=x2y.
课堂检测·素养达标
1.下列各等式中成立的是
( )
A.
(a>0)
B.
(a>0)
C.
(a>0)
D.
(a>0)
【解析】选B.由于a>0，又因为
，
，
，
，
所以成立的是
.
2.若x<3，则
-|x-6|的值是
( )
A.-3
B.3
C.-9
D.9
【解析】选A.若x<3，则x-3<0，x-6<0，所以
-|x-6|=|x-3|-|x-6|=
3-x+x-6=-3.
3.设a>0，将
表示成分数指数幂，其结果是( )
【解析】选C.由题意
4.(教材二次开发：练习改编)计算(
·
)6·b2=_______.?
【解析】(
·
)6·b2=a3·b-2·b2=a3.
答案：a3
5.
-(1-0.5-2)÷
的值为_______.?
【解析】原式=1-(1-22)÷
=1-(-3)×
=
.
答案：
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
n次方根
分数指数幂的意义
有理数指数幂的运算性质
概念
性质
表示
转化法：根式的运算转化为幂的运算，最后将结果转化为根式
1.
的形式化简对n要分奇偶讨论
2.
的形式化简已包含使根式有意义的条件
3.代数式的化简结果不能同时含有根式和分数指数
1.数学抽象：通过根式概念的形成过程，培养数学抽象的核心素养
2.数学运算：通过分数指数幂的化简求值，培养数学运算的核心素养(共34张PPT)
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识·自主学习
导思
1.指数式aα中，α能取无理数吗？
2.无理数指数幂有什么运算性质？
1.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_______实数.
确定的
【思考】
为什么规定底数a>0？
提示：规定底数大于零是必要的，否则会出现
，就无法确定是1还是-1.
2.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)
(1)aras=____.(2)(ar)s=___.(3)(ab)r=____.
ar+s
ars
arbr
【思考】
指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？
提示：
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)
是一个确定的实数.
( )
(2)指数幂aα的指数α只能取无理数.
( )
(3)
=8.
( )
提示：(1)√.由无理数指数幂的定义知正确.
(2)×.α可取任意实数.
(3)√.
=23=8.
2.计算：
=_______.?
【解析】
=53=125.
答案：125
3.(教材二次开发：练习改编)计算：
a-2π=_______.?
【解析】
答案：
关键能力·合作学习
类型一 无理数指数幂的运算(数学运算)
【题组训练】
1.计算
a-π=_______.?
【解析】原式=
=a0=1.
答案：1
2.计算下列各式的值
(1)
.(2)
(a>0).
(3)
.
【解析】(1)原式=
=29×32=4
608.
(2)原式=
=a0=1.
(3)原式=
=π.
【解题策略】
关于无理数指数幂的运算
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；
(2)若式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
类型二 实际问题中的指数运算(数学建模)
【典例】(2020·重庆高一检测)在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：
α
5
6
7
8
…
14
15
…
27
28
29
2α
32
64
128
256
…
163
84
327
68
…
13421
7728
26843
5356
53687
0912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16
384，所以有64×256=16
384.
按照这样的方法计算16
384×32
768=
( )
A.134
217
728
B.268
435
356
C.536
870
912
D.513
765
802
【思路导引】根据题中的运算方法结合指数运算的性质计算.
【解析】选C.由题知，因为16
384对应14，32
768对应15，而14+15=29，第一行中的29，对应第二行中的536
870
912，所以有16
384×32
768=536
870
912.
【解题策略】
指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
【跟踪训练】
从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用
水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液
的体积之比低于10%.?
【解析】由题意，第n次操作后溶液的浓度为
；
令
，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
答案：4
【补偿训练】某林场计划第一年造林10
000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林
( )
A.14
400亩
B.172
800亩
C.20
736亩
D.17
280亩
【解析】选D.设年份为x，造林亩数为y，则y=10
000×(1+20%)x-1，
所以x=4时，y=17
280(亩).
类型三 实数指数幂运算的综合应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 求值问题?
【典例】(2020·海安高一检测)已知xα+x-α=2
，x>1，α<0，则xα-x-α=
_______.?
【思路导引】利用平方关系构造x2α+x-2α，整体代入求值.
【解析】由x>1，α<0，得xα由xα+x-α=2
，得x2α+2+x-2α=20，
所以x2α+x-2α=18，
所以xα-x-α=
=-4.
答案：-4
【变式探究】
将本例的条件变为“a+
=5”，试求a2+a-2.
【解析】根据题意，a+
=5，则
=a2+
+2=25，
所以a2+a-2=a2+
=25-2=23.
角度2 化简问题?
【典例】化简：
=_______.?
【思路导引】将带分数化为假分数，根号化为指数后运算.
【解析】
答案：2a
【解题策略】解决条件求值问题的步骤
【题组训练】
1.已知am=4，an=3，则
的值为
( )
A.
B.6
C.
D.2
【解析】选A.
2.已知
=3，计算：
【解析】由
=3，得x+2+x-1=9，所以x+x-1=7，再平方，
可得x2+x-2+2=49，所以x2+x-2=47.
所以
=4.
课堂检测·素养达标
1.下列能正确反映指数幂的推广过程的是
( )
A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂
B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂
C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂
D.无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
【解析】选A.指数幂的推广过程：整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂.
2.计算
的结果是
( )
A.π
B.
C.-π
D.
【解析】选D.
=π-1=
.
3.将
化为分数指数幂为
( )
【解析】选D.
4.(教材二次开发：练习改编)计算
=_______.?
【解析】原式=
=24m2=16m2.
答案：16m2
5.计算
=_______.?
【解析】原式=3-
=3-2=1.
答案：1
无理数指数幂
及其运算性质
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
无理数指数幂
实数指数幂的运算性质
整体思想：解决条件求值问题时，从整体上把握已知条件和所求代数式之间的联系
数学运算：通过指数幂运算的综合应用，培养数学运算的核心素养
解决条件求值问题时，易在因式的正负号的取舍上出错
