(共37张PPT)
4.3 对 数
4.3.1 对数的概念
必备知识·自主学习
导思
1.在指数运算1.11x=2中，怎样计算指数x？
2.对数有哪些性质？
1.对数的概念
(1)定义：
一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x=_____，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)特殊对数：
常用对数：以10为底，记作_____；?
自然对数：以e为底，记作_____.?
logaN
lg
N
ln
N
(3)指数与对数的关系：
当a>0，a≠1时，ax=N?_______.
x=logaN
【思考】对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数.
2.对数的性质
(1)负数和0没有对数；
(2)loga1=__；
(3)logaa=__.
0
1
【思考】
你能否推导出对数的性质(2)(3)？
提示：因为a0=1，所以loga1=0；
因为a1=a，所以logaa=1.
3.对数恒等式：
=__.
【思考】
对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？
提示：指数的底数与对数的底数相等.
N
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)因为(-4)2=16，所以log(-4)16=2.
( )
(2)因为3x=81，所以log813=x.
( )
(3)log23=log32.
( )
提示：(1)×.对数的底数不能为负值.
(2)×.应为log381=x.
(3)×.log23≠log32，两个是不同的对数值.
2.把对数式x=log232改写为指数式_______.?
【解析】对数式x=log232改写为指数式为2x=32.
答案：2x=32
3.(教材二次开发：练习改编)
若ln
e-2=-x，则x=_______.?
【解析】因为ln
e-2=-x，所以e-x=e-2，所以x=2.
答案：2
关键能力·合作学习
类型一 对数的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.若a2
020=b(a>0且a≠1)，则
( )
A.logab=2
020
B.logba=2
020
C.log2
020a=b
D.log2
020b=a
2.在M=log(x-3)(x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
( )
A.(-∞，3]
B.(3，4)∪(4，+∞)
C.(4，+∞)
D.(3，4)
3.(多选题)下列指数式与对数式的互化中，正确的是
( )
A.100=1与lg
10=1
B.
与
C.log39=2与
=3
D.log55=1与51=5
【解析】1.选A.若a2
020=b(a>0且a≠1)，
则2
020=logab.
2.选B.由函数的解析式可得
解得3
4.
3.选BD.在A中，100=1?lg
1=0，故A错误；
在B中，
?log27
，故B正确；
在C中，log39=2?32=9，故C错误；
在D中，log55=1?51=5，故D正确.
【解题策略】
关于指数式的范围
利用式子logab?
求字母的范围.
【补偿训练】在b=loga(5-a)中，实数a的取值范围是
( )
A.a>5或a<0
B.0C.0D.1【解析】选B.由对数的定义可知
解得0类型二 指数式与对数式的互化(数学运算)
角度1 指数与对数的互化及应用?
【典例】如表，其中解正确的题号是
( )
题号
①
②
③
④
方程
log64x=-
logx8=6
lg
100=x
-ln
e2=x
解
16
-2
A.①②
B.③④
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
【解析】选C.由log64x=
得，x=
，所以①错误；由logx8=6得，
x6=8，所以x2=2且x>0，
所以x=
，所以②正确；
由log10100=x得，10x=100.所以x=2，所以③错误；
由-ln
e2=x得，x=-2，所以④正确；
所以正确的题号是②④.
角度2 对数性质的应用?
【典例】已知log2[log4(log3x)]=log3[log4(log2y)]=0，则x+y=_______.?
【思路导引】由外向内求出x，y后求和.
【解析】由题意可得log4(log3x)=1，所以log3x=4，所以x=34=81；同理可得log4(log2y)=1，所以log2y=4，
所以y=24=16，所以x+y=97.
答案：97
【变式探究】
将等式变为log2[log4(log3x)]=log3[log4(log2y)]=1，试求x+y.
【解析】由题意，log4(log3x)=2，得log3x=16，得x=316；log4(log2y)=3，
得log2y=64，得y=264.
所以x+y=316+264.
【解题策略】
1.关于指数式与对数式的互化
指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系：
2.对数性质在求值中的应用
此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求值.
【题组训练】
1.(2020·乌鲁木齐高一检测)设m=loga3，logaπ=n，则a2m-n=
( )
【解析】选C.因为m=loga3，logaπ=n.
所以am=3，an=π.所以a2m-n=
2.计算log3[log3(log28)]等于
( )
A.1
B.16
C.4
D.0
【解析】选D.令log28=x，则2x=8，所以x=3.
所以log3[log3(log28)]=log3[log33]=log31=0.
【补偿训练】若log2[log2(log2x)]=0，则x=
( )
A.2
B.4
C.1
D.
【解析】选B.若log2[log2(log2x)]=0，
则log2(log2x)=1，则log2x=2，解得：x=4.
类型三 对数恒等式的应用(数学运算)
【典例】1.
( )
2.若x=log43，则2·4x+4-x=_______.?
【思路导引】1.先利用指数运算性质拆分，再利用对数恒等式求值.
2.利用指数对数互化表示出x，再代入利用对数恒等式求值.
【解析】1.选A.
2.由x=log43，
则2·4x+4-x=2·
=2×3+
答案：
【解题策略】关于对数恒等式的应用
首先利用指数运算性质变形，变形为
的形式，再利用对数恒等式计算
求值.
【跟踪训练】
(2020·绍兴高一检测)若a=log23，则2a+2-a=_______.?
【解析】因为a=log23，所以2a+2-a=
=3+
答案：
课堂检测·素养达标
1.
+log22等于
( )
A.
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.原式=4+1=5.
2.(2020·杭州高一检测)已知logx8=3，则x的值为( )
A.
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为logx8=3，所以x3=8，解得x=2.
3.(教材二次开发：练习改编)
若10m=
，则m=_______.?
【解析】因为10m=
，则m=lg
.
答案：lg
4.ln(lg
10)=_______.?
【解析】ln(lg
10)=ln
1=0.
答案：0
5.若对数ln(x2-5x+6)存在，则x的取值范围为_______.?
【解析】因为对数ln(x2-5x+6)存在，
所以x2-5x+6>0，所以解得x>3或x<2，
即x的取值范围为：(-∞，2)∪(3，+∞).
答案：(-∞，2)∪(3，+∞)
对数的概念
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
变形：对于不能够直接应用对数恒等式求解的情况，需借助指数幂的运算性质进行变形
对数式与指数式互化时，注意字母的位置的变化
对数式的书写要规范，特别是底数的书写
逻辑推理：通过对数概念的形成，培养逻辑推理的核心素养
数学运算：通过对数的运算及对数性质的运用，培养数学运算的核心素养
概念
对数恒等式
性质(共33张PPT)
4.3.2 对数的运算
必备知识·自主学习
1.对数的运算性质
(1)性质：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①积的对数：loga(MN)=___________；
②商的对数：loga
=___________；
③幂的对数：logaMn=______.
导思
1.对数运算有哪些运算性质？
2.怎样用lg
2，lg
3计算log23？
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
(2)本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题.
【思考】
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗？
提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和；
商的对数等于分子的对数减去分母的对数；
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
2.换底公式
(1)公式：
logab=_______(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
(2)本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数.
(3)应用：将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
(2)你能用换底公式证明结论
logNM吗？
提示：(1)logab=
，logab=
.
(2)
logNM.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)lg(xy)=lg
x·lg
y.
( )
(2)log3
.
( )
(3)
=log216.
( )
提示：(1)×.lg(xy)=lg
x+lg
y.
(2)×.log3
=log327-log39.
(3)√.逆用换底公式可得.
2.若lg
a-2lg
2=1，则a=
( )
A.4
B.10
C.20
D.40
【解析】选D.lg
a-2lg
2=lg
a-lg
4=lg
=1，
所以
=10，所以a=40.
3.(教材二次开发：复习巩固改编)
若ln
x=2ln
a-
ln
b，则x=_______.?
【解析】因为ln
x=2ln
a-
ln
b=ln
a2
，所以x=a2
.
答案：a2
关键能力·合作学习
类型一 对数运算性质的应用(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·温州高一检测)lg
=
( )
A.-4
B.4
C.10
D.-10
2.若a=logm
x，b=logm
y，c=logm
z，则用a，b，c表示logm
=_______.?
3.lg22+lg
2·lg
5+lg
5=_______.?
【解析】1.选A.lg
=lg
10-4=-4.
2.原式=logm(xy2
)=logm
x+logm
y2+logm
=logm
x+2logm
y-
logm
z=a+2b-
c.
答案：a+2b-
c
3.lg22+lg
2·lg
5+lg
5=lg
2·(lg
2+lg
5)+lg
5=lg
2+lg
5=1.
答案：1
【解题策略】
利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg
2+lg
5=1，进行计算或化简.
【补偿训练】若lg
x-lg
y=a，则
=
( )
A.3a
B.a3
C.
D.
【解析】选A.lg
x-lg
y=lg
=a，
=3a.
类型二 对数换底公式的应用(数学运算)
【典例】1.(2020·淮安高一检测)设a=lg
2，b=lg
3，则log26=
( )
A.ab2
B.a2b
C.
D.
2.设log34·log48·log8m=log416，则m的值是
( )
A.
B.9
C.18
D.27
3.(2020·泸州高一检测)实数a，b满足2a=5b=10，则下列关系正确的是
( )
【思路导引】1.利用换底公式将log26换成常用对数后用a，b表示；
2.换成常用对数约分求m值；
3.利用指对互化表示出a，b后验证等式是否成立.
【解析】1.选C.因为a=lg
2，b=lg
3，
所以log26=
2.选B.因为log34·log48·log8m
所以lg
m=
·lg
3=lg
32，解得m=9.
3.选B.因为2a=5b=10，
所以a=log2
10，b=log5
10，
所以
=lg
2，
=lg
5，
所以
=lg
2+lg
5=lg
(2×5)=1.
【解题策略】
利用换底公式进行化简和求值
(1)一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值；
(2)如果出现多个指数式相等的式子，则先化为对数式，再利用对数的运算性
质化简求值；
(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式
=logba.
【跟踪训练】
1.设lg
2=a，lg
3=b，则log125=
( )
【解析】选A.因为lg
2=a，lg
3=b，
则log125=
2.若实数a，b，c满足2a=1
009b=2
018c=2
020，则下列式子正确的是( )
【解析】选B.由已知，得2a=1
009b=2
018c=2
020，
得a=log22
020，b=log1
0092
020，c=log2
0182
020，
所以
=log2
0202，
=log2
0201
009，
=log2
0202
018，而2×1
009=2
018，
所以
【补偿训练】已知2x=5y=t，
=2，则t=
( )
【解析】选C.因为2x=5y=t>0，t≠1，
所以
代入
=2，所以
=2，
所以ln
10=ln
t2，所以t2=10，则t=
.
类型三 实际问题中的对数运算(数学运算)
【典例】(2020·海淀高一检测)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英
国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动.
在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个
数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉
也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈
的
结论.若根据欧拉得出的结论，估计1
000以内的素数的个数为
( )
(素数即质数，lg
e≈0.434
29，计算结果取整数)
A.768
B.144
C.767
D.145
【思路导引】根据素数计算公式，利用换底公式计算.
【解析】选D.由题意可知：π(1
000)≈
=
lg
e≈
×0.434
29≈145.
所以根据欧拉得出的结论，估计1
000以内的素数的个数为145.
【解题策略】
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
【跟踪训练】
根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，
目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与
最接近的是
( )
(参考数据：lg
2≈0.30，lg
3≈0.48)
【解析】选B.汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，
目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.
所以
，两边取常用对数，
可得lg
=lg
1010-lg
36-lg
230
≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88.
所以
=10-1.88≈
.
课堂检测·素养达标
1.2log510+log50.25=
( )
A.0
B.1
C.2
D.4
【解析】选C.原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
2.已知正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，则
( )
A.a=bc
B.b2=ac
C.c=ab
D.c2=ab
【解析】选C.设log2a=log3b=log6c=k，
则a=2k，b=3k，c=6k，所以c=ab.
【误区警示】本题容易忽视设出log2a=log3b=log6c=k，导致无法表示出a，b，c.
3.(教材二次开发：综合运用改编)
已知xlog32=1，则2x+2-x的值是
( )
A.1
B.3
C.
D.
【解析】选D.因为xlog32=1，
所以x=log23，
所以2x+2-x=
4.log23·log35·log516=_______.?
【解析】原式=
答案：4
5.
=_______.?
【解析】
答案：1
对数的运算
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
注意对数的运算性质的形式
转化思想：对数的运算性质可以把乘，除，乘方运算转化为加，减，乘运算
数学运算：通过对数的运算性质及换底公式的运用，培养数学运算的核心素养
运算性质
实际应用
换底公式