(共33张PPT)
4.4 对
数
函
数
4.4.1 对数函数的概念
必备知识·自主学习
对数函数
(1)定义：函数_______(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域
是_________.
导思
由指数函数y=ax得到x=logay，那么x=logay是由y到x的函数吗？
y=logax
(0，+∞)
(2)本质：满足以下特征的函数：
①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
(3)应用：
解决实际生活中涉及对数函数的问题.
【思考】
对数函数的定义域为什么是(0，+∞)？
提示：ax=N?logaN=x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y=logx3是对数函数.
( )
(2)y=loga5x(a>0，且a≠1)是对数函数.
( )
(3)函数y=loga(x2+x+1)的定义域为R.
( )
提示：(1)×.y=logx3不是对数函数，对数函数的底数是常数.
(2)×.对数函数自变量x的系数为1.
(3)√.因为Δ=1-4=-3<0，所以x2+x+1>0恒成立.
2.函数f(x)=
的定义域为_______.?
【解析】因为2x+1>0，所以x>
.
即函数f(x)的定义域为
.
答案：
3.(教材二次开发：练习改编)
函数y=
的定义域为_______.?
【解析】因为x-1>0，且x-1≠1，解得x>1，且x≠2.
答案：{x|x>1，且x≠2}
关键能力·合作学习
类型一 对数函数的概念及其应用(数学抽象)
【题组训练】
1.给出下列函数：
①y=
；②y=log3(x-1)；
③y=log(x+1)x；
④y=logπx.
其中是对数函数的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.若函数f(x)=(a2-3a+3)logax是对数函数，则a=_______.?
3.已知函数f(x)是对数函数，且
，则f(2
)=_______.?
【解析】1.选A.①y=
的真数为x2，故不是对数函数；
②y=log3(x-1)的真数为x-1，故不是对数函数；
③y=log(x+1)x的底数为x+1，故不是对数函数；
④y=logπx是对数函数.
2.由a2-3a+3=1得a=1或a=2.又a>0且a≠1，所以a=2.
答案：2
3.设f(x)=logax(a>0，且a≠1)，
因为
，所以a=2，f(x)=log2x，
所以f(2
)=
.
答案：
【解题策略】
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
【补偿训练】已知对数函数的图象过点(16，4)，则f
=_______.?
【解析】设对数函数为f(x)=logax(a>0且a≠1)，
由f(16)=4可知loga16=4，所以a=2，所以f(x)=log2x，所以f
=log2
=-1.
答案：-1
类型二 与对数函数相关的定义域(数学运算)
角度1 求定义域?
【典例】(2020·南宁高一检测)函数y=lg
的定义域为_______.?
【思路导引】列不等式求范围.
【解析】因为y=lg
，所以
>0，
解得-1
答案：(-1，1)
【变式探究】
将函数的解析式变为y=log
(3x-1)
，试求函数的定义域.
【解析】由
解得
.
所以函数的定义域为
角度2 定义域的应用?
【典例】已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)，若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围为_______.?
【思路导引】转化为不等式恒成立解题.
【解析】f(x)的定义域为R，即ax2+2x+1>0恒成立，
当a=0时，ax2+2x+1=2x+1，不满足条件；
当a≠0时，要满足f(x)的定义域为R，
则需要满足
解得a>1.综上a>1.
答案：a>1
【解题策略】
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【题组训练】
1.函数y=lg(3-x)+ln(x-1)的定义域为_______.?
2.已知函数f(x)=log2
在区间(0，+∞)上有意义，则实数a的取值
范围是_______.?
【解析】1.要使函数有意义，则
解得1答案：(1，3)
2.因为函数在区间(0，+∞)上有意义，
所以x+
-a>0，x∈(0，+∞)，则a，x∈(0，+∞)恒成立.因为当x∈(0，+∞)时，x+
≥2，当且仅当x=1时，等号成立，所以a<2.
答案：(-∞，2)
【补偿训练】函数y=
+lg(2x+1)的定义域是_______.?
【解析】要使函数有意义，则
解得
.
答案：
类型三 对数函数在实际问题中的应用(数学建模)
【典例】某企业2019年全年投入研发资金1亿元，为激励创新，该企业计划今
后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超
过
亿元的年份是
( )
(参考数据：lg
1.08≈0.033，lg
2≈0.301，lg
3≈0.477)
A.2
020
B.2
021
C.2
022
D.2
023
【思路导引】先设出指数关系式，再化为对数函数求解.
【解析】选D.设该企业y年后全年投入的研发资金为x亿元，则x=(1+8%)y×1，
即x=1.08y，y∈[0，+∞).
可得y=log1.08x，x∈[1，+∞).
令x=
，得y=log1.08
≈
≈4.则该企业全年投入的研发资金开始超过
亿元的年份是
2023年.
【解题策略】
利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x=ay，并根据实际问题确定变量的范围；
(2)利用指对互化转化为对数函数y=logax；
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算.
【跟踪训练】
某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少
，
要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过
，则至少应过滤的次数为(已
知：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
( )
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选D.设过滤y次后杂质含量为x，
则x=
×1，y∈[0，+∞)，
即x=
，y∈[0，+∞).
可得y=
，x∈(0，1].
令x=
，则y=
≈
≈11.
所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求.
课堂检测·素养达标
1.对数函数y=log(a-3)(7-a)中，实数a的取值范围是
( )
A.(-∞，7)
B.(3，7)
C.(3，4)∪(4，7)
D.(3，+∞)
【解析】选C.由题意得
解得32.已知对数函数的图象过点M(9，-2)，则此对数函数的解析式为
( )
A.y=log2x
B.y=log3x
C.y=
D.y=
【解析】选C.设函数f(x)=logax(x>0，a>0且a≠1)，因为对数函数的图象过
点M(9，-2)，
所以-2=loga9，所以a-2=9，a>0，解得a=
.
所以此对数函数的解析式为y=
.
3.(教材二次开发：练习改编)
函数f(x)=ln
(x+1)的定义域为___________.?
【解析】因为f(x)=ln
(x+1)，
所以x+1>0，所以x>-1.
所以f(x)的定义域为{x|x>-1}.
答案：{x|x>-1}
4.函数f(x)=lg(x-x2)的定义域为_______.?
【解析】由x-x2>0，得x2-x<0，即0所以函数f(x)=lg(x-x2)的定义域为(0，1).
答案：(0，1)
5.如果函数y=log2x的图象经过点A
，那么y0=_______.?
【解析】因为函数y=log2x的图象经过点A
，
所以y0=log2
=-3.
答案：-3
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.对数函数的定义
2.对数型函数模型
对数型函数的定义域问题：
（1）分母不为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不等于1
1.对数函数的底数大于0且不等于1
2.对数型函数的实际应用中，忽视自变量的取值范围
1.数学抽象：通过具体实例引入对数函数的定义，培养数学抽象的核心素养
2.数学建模：通过对数型函数的实际应用，培养数学建模的核心素养(共39张PPT)
4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
必备知识·自主学习
1.对数函数的图象和性质
(1)图象和性质：
导思
1.与指数函数类比，对数函数的图象和性质是怎样的？
2.实数有相反数，函数有反函数吗？
0a>1
图 象
0a>1
定义域
(0，+∞)
值 域
R
性 质
过定点_______
在(0，+∞)上是_______
在(0，+∞)上是_______
(1，0)
减函数
增函数
(2)本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质.
(3)应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；
④求参数的范围.
【思考】
对于对数函数y=log3x，y=log5x，y=
，y=
，…，为什么一定过点(1，0)？
提示：当x=1时，loga1=0恒成立，即对数函数的图象一定过点(1，0).
2.反函数
指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，
它们的_______与_____正好互换.
定义域
值域
【思考】
函数y=log3x与y=
互为反函数吗？
提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)对数函数y=log5x与y=
的图象关于y轴对称.
( )
(2)对数函数的图象都在y轴的右侧.
( )
(3)若对数函数y=log(a-1)x是减函数，则a>2.
( )
提示：
(1)×.两函数的图象关于x轴对称.
(2)√.由对数函数的图象可知，正确.
(3)×.由对数函数的单调性可知，02.(教材二次开发：复习巩固改编)
函数y=
的定义域是
( )
A.[1，+∞)
B.
C.(1，+∞)
D.
【解析】选D.函数y=
的定义域满足：
解得
3.函数f(x)=loga(2x-3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是_______.?
【解析】令2x-3=1，解得x=2，且f(2)=loga1=0恒成立，所以函数f(x)的图象恒过定点P(2，0).
答案：(2，0)
关键能力·合作学习
类型一 利用单调性比较大小(逻辑推理)
【题组训练】
1.已知a=log23，b=log2e，c=ln
2，则a，b，c的大小关系是
( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
2.(2020·遵义高一检测)已知：a=log65，b=π0.3，c=ln
，则下列结论
正确的是
( )
A.aB.bC.cD.c3.(2020·宝鸡高一检测)已知a=log315，b=log420，c=log630，则( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
【解析】1.选A.a=log23>b=log2e>log22=1，
c=ln
2e=1，所以a，b，c的大小关系为a>b>c.
2.选D.因为0=log61π0=1，
ln
1=0，所以c3.选A.因为log315=1+log35=1+
，log420=1+log45=1+
且0log54，所以
所以log315>log420>2，且log630所以a>b>c.
【解题策略】
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小.
【补偿训练】(2020·鄂尔多斯高一检测)已知a=
，b=log45，c=0.50.4，
则
( )
A.aB.aC.cD.c【解析】选B.因为
=0，log45>log44=1，0<0.50.4<0.50=1，所以
a类型二 对数函数图象的应用(直观想象)
【典例】1.(2020·兰州高一检测)在同一直角坐标系中，函数y=
，y=
loga
(a>0，且a≠1)的图象可能是
( )
2.(2020·珠海高一检测)若函数f(x)=loga(x+m)+1(a>0，且a≠1)恒过定点(2，n)，则m+n的值为_______.?
【思路导引】1.先对a分两种情况讨论，再利用平移检验图象是否符合.
2.将定点坐标代入求m，n.
【解析】1.选D.当0且单调递减，则函数y=
过定点(0，1)且单调递增，函数y=loga
过定
点
且单调递减，D选项符合；当a>1时，函数y=ax过定点(0，1)且单调递
增，则函数y=
过定点(0，1)且单调递减，函数y=loga
过定点
且
单调递增，各选项均不符合.
2.依题意loga(2+m)+1=n
为定值，
可得2+m=1，即m=-1，所以n=1，m+n=0.
答案：0
【解题策略】
1.对数函数底数对图象的影响
其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，
根据图象，其大小关系为02.关于定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)=1求出x，即得定点为(x，m).
【跟踪训练】
在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x≥0)，g(x)=logax(a>0且a≠1)的图象可能是
( )
【解析】选D.对于A项，对数函数的图象过(1，0)点，但是幂函数的图象不过(0，1)点，所以A项不满足要求；对于B项，由图象知，幂函数中a>1，对数函数中0对于C项，由图象知幂函数中01，矛盾，所以C项不满足要求；
对于D项，由图象知幂函数与对数函数中0【补偿训练】在同一坐标系中，函数y=e-x与函数y=ln
x的图象可能是
( )
【解析】选C.因为函数y=e-x=
是减函数，它的图象位于x轴上方，y=ln
x
是增函数，它的图象位于y轴右侧，观察四个选项，只有C符合条件.
类型三 与对数函数相关的定义域、值域(数学运算)
角度1 定义域问题?
【典例】函数y=
的定义域为_______.?
【思路导引】列出不等式求范围.
【解析】由题意知log0.5(2x-1)+1≥0，则log0.5(2x-1)≥-1，则0<2x-1≤2，解得
.
答案：
【变式探究】
将函数变为y=
，试求函数的定义域.
【解析】由题意知logx
≥1，即logx
≥logxx，
当x>1时，解得x≤
，不成立；
当0，所以
≤x<1.
所以函数的定义域为
.
角度2 简单的值域问题?
【典例】(多选题)已知A={x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y=logax(a>0，且a≠1)的最大值比最小值大1，则底数a的值为
( )
【思路导引】分两种情况分别表示出最大值、最小值后列式求值.
【解析】选AB.当0logaπ=1，故a=
；
当a>1时，函数f(x)在[2，π]上是增函数，
故logaπ-loga2=1，故a=
.
【解题策略】
与对数函数值域相关的问题
(1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法；
(2)若底数中含有字母，需要对底数分大于1，小于1大于0两种情况讨论.
【题组训练】
1.已知函数f(x)=
的值域为[-1，1]，则函数f(x)的定义域是( )
2.函数y=
的定义域为_______.?
【解析】1.选A.因为已知函数的值域为[-1，1]，
所以
，化简解得
，
故函数f(x)的定义域为
.
2.由题意得log2(3x+1)≤2，则0<3x+1≤4，
解得
答案：
【补偿训练】函数f(x)=2x+log2x(x∈[1，2])的值域为_______.?
【解析】因为y=2x，y=log2x在各自定义域上均为增函数，所以f(x)=2x+log2x在[1，2]上单调递增，故f(x)∈[2，5].
答案：[2，5]
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=loga(x+2)(0( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选A.因为f(x)=loga(x+2)(0所以其大致图象如图所示.
2.函数y=log2x的定义域是[1，64)，则值域是
( )
A.R
B.[0，+∞)
C.[0，6)
D.[0，64)
【解析】选C.由函数y=log2x的图象可知y=log2x在(0，+∞)上是增函数，因此当x∈[1，64)时，y∈[0，6).
3.(教材二次开发：复习巩固改编)
利用作图工具作出的a=1.5，4，
时的对数函数y=logax的图象如图所示，
请你判断对应于C1，C2，C3的a的值分别为
( )
A.1.5，4，
B.4，1.5，
C.
，1.5，4
D.
，4，1.5
【解析】选C.根据对数函数的性质，显然对应于C1，
C2，C3的a的值分别为
，1.5，4.
4.已知函数f(x)=log2(2x-a)，若f(2)=0，则a=_______.?
【解析】由题意，f(2)=0，即log2(4-a)=0，
可得4-a=1，则a=3.
答案：3
5.已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P，则点P的坐标是_______.?
【解析】y=logax的图象恒过点(1，0)，令x-3=1，得x=4，则y=-1.
答案：(4，-1)
对数函数的
图象和性质
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
单调性的应用中注意不等符号的选择
直观想象：通过对数函数图象的应用，培养直观想象的核心素养
逻辑推理：通过单调性的应用，培养逻辑推理的核心素养
定义域、值域
过定点
单调性
利用单调性比较大小时，注意0和1的灵活运用
解决过定点问题的关键是令函数解析式中的真数为1
求对数型函数y=logaf(x)的定义域时特别关注底数的影响
对数函数的图象
对数函数的性质
反函数(共30张PPT)
第2课时 对数函数的图象和性质的应用
关键能力·合作学习
类型一 对数函数性质在实际问题中的应用(数学运算)
【典例】科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单
位：瓦/平方米)有关.在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的
等级，它与声音的强度I满足关系式：L=a·lg
(a是常数)，其中I0=1×10-12
瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米，它的强弱等级
L=10分贝.
(1)已知生活中几种声音的强度如表：
声音来源
声音大小
风吹落叶
沙沙声
轻声耳语
很嘈杂
的马路
强度I/(瓦/平
方米)
1×10-11
1×10-10
1×10-3
强弱等级
L/分贝
10
m
90
求a和m的值.
(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.
【思路导引】(1)代入表格中的已知数据求a和m的值.
(2)列出不等式，利用对数函数的单调性求范围.
【解析】(1)将I0=1×10-12，I=1×10-11代入L=a·lg
，
得10=a·lg
=a·lg
10=a，
即a=10，m=10·lg
=10·lg
100=20.
(2)由题意得L≤50，得10lg
≤50，
得lg
≤5，即
≤105，
即I≤105×10-12=10-7，
答：此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.
【解题策略】
关于对数性质的应用
首先确定含对数的函数的解析式，再利用对数函数的单调性解决范围、最值、变化趋势等问题.
【跟踪训练】
燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬.研究发现，燕子的飞行速度可以表示
为函数v=5log2
，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量的单位数.记v1=
25
m/s时耗氧量为O1，v2=5
m/s时耗氧量为O2，则O1是O2的_______倍.?
【解析】v=5log2
，当v1=25
m/s时耗氧量为O1，则25=5log2
，即
=25，即O1=10×25，
v2=5
m/s时耗氧量为O2，5=5log2
，
即
=2，所以O2=10×2，
所以
=24=16，故O1是O2的16倍.
答案：16
类型二 反函数(数学运算)
【题组训练】
1.已知函数f(x)=2x的反函数为y=g(x)，则g
的值为
( )
A.-1
B.1
C.12
D.
2
2.若f(x)为y=3-x的反函数，则f(x-1)的图象大致是( )
3.若函数g(x)是函数f(x)=
，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义
域为_______.?
【解析】1.选A.因为由y=f(x)=2x，得x=log2y，
所以原函数的反函数为g(x)=log2x，
则g
=log2
=-1.
2.选C.由题意，f(x)与y=3-x=
互为反函数，
即f(x)=
，故f(x-1)=
(x-1)，
所以f(x-1)的图象就是由f(x)=
的图象向右平移一个单位得到.
3.函数f(x)=
，x∈[-2，1]的值域为
，
因为函数g(x)是其反函数，所以函数g(x)的定义域为
.
答案：
【解题策略】
互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
【补偿训练】
函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数过点(9，2)，则a=_______.?
【解析】由函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9，2)，可得y=ax图象过点(2，9)，所以a2=9，又a>0，所以a=3.
答案：3
类型三 对数函数性质的综合应用(逻辑推理)
角度1 单调区间、值域?
【典例】(2020·杭州高一检测)函数y=
(-x2+5x-6)的单调增区间为
_______，值域为_______.?
【思路导引】利用复合函数的单调性的符号法则“同增异减”求单调区间；
先求内层函数的值域，再利用单调性求原函数的值域.
【解析】由-x2+5x-6>0得：x∈(2，3)，
由y=
为减函数，其中t=-x2+5x-6在
上单调递减，故函数的单调增区
间为
，
又由x∈(2，3)时，t=-x2+5x-6∈
，
故y=
(-x2+5x-6)∈[2，+∞).
答案：
[2，+∞)
【变式探究】
将本例中函数的底数变为2，试求该函数的单调增区间和值域.
【解析】由-x2+5x-6>0得：x∈(2，3)，
由y=log2t为增函数，其中t=-x2+5x-6在
上单调递增，故函数的单调增区
间为
，
又由x∈(2，3)时，t=-x2+5x-6∈
，
故y=log2(-x2+5x-6)∈(-∞，-2].
故该函数的值域为(-∞，-2].
角度2 函数性质的综合应用?
【典例】已知函数f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)(a>0，且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
(2)若f(x)>0，求x的取值范围.
四步
内容
理解
题意
条件：函数的解析式
结论：(1)判断并证明奇偶性
(2)解不等式
思路
探求
(1)奇偶性的定义?奇偶性
(2)f(x)>0?loga(10+x)>loga(10-x)?分情况解不等式
【解题策略】
解决综合性问题的关注点
(1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证明奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提.
(2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性.
【题组训练】
1.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是_______.?
2.(2020·长春高一检测)已知函数f(x)=loga(x+3)-loga(3-x)，a>0且a≠1.
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性.
(2)若a>1，指出函数的单调性，并求函数f(x)在区间[0，1]上的最大值.
【解析】1.因为-x2+3x+4=
所以有0<-x2+3x+4≤
所以根据对数函数y=log0.4x的图象(图略)即可得到：
log0.4(-x2+3x+4)≥log0.4
=-2，
所以函数的值域为[-2，+∞).
答案：[-2，+∞)
2.(1)函数f(x)是奇函数，证明如下，
由题意知，
解得-3故函数f(x)的定义域为(-3，3)，关于原点对称.
由f(-x)=loga(-x+3)-loga(3+x)=-f(x)，
故函数f(x)是奇函数.
(2)当a>1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f(x)=loga(x+3)-loga(3-x)为增函数，则函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，故f(x)max=f(1)=loga2.
【补偿训练】
函数y=
(x2-x-12)的单调增区间是_______.?
【解析】由x2-x-12>0得x<-3或
x>4.
令g(x)=x2-x-12，则当x<-3时，
g(x)单调递减，当
x>4时，g(x)单调递增.
又y=
u是减函数，故y=
(x2-x-12)在(-∞，-3)上单调递增.
答案：(-∞，-3)
课堂检测·素养达标
1.已知函数f(x)=log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由函数y=f(x)=log2x，得x=2y，
即g(x)=2x，所以g(2)=22=4，则f(g(2))=f(4)=log24=2.
2.函数y=x+log2x(x≥1)的值域为
( )
A.(1，+∞)
B.(-∞，1)
C.[1，+∞)
D.[-1，+∞)
【解析】选C.因为y=x，y=log2x在[1，+∞)上单调递增，所以当x≥1时，x+log2x≥1+log21=1.
3.(教材二次开发：综合运用改编)
函数y=-log3x的反函数g(x)=_______.?
【解析】y=-log3x=
，故g(x)=
.
答案：
4.函数f(x)=ln(2-x)的单调减区间为_______.?
【解析】由2-x>0，得x<2.
又函数y=2-x在x∈(-∞，2)上单调递减，
所以函数f(x)=ln(2-x)的单调减区间为(-∞，2).
答案：(-∞，2)
5.已知函数f(x)=log2
为奇函数，则实数a的值为_______.?
【解析】由奇函数得f(x)=-f(-x)，
a2=1，
因为a≠-1，所以a=1.
答案：1(共49张PPT)
4.4.3 不同函数增长的差异
必备知识·自主学习
三种函数的性质及增长速度比较
导思
1.指数函数、对数函数、一元一次函数的增长速度哪一个最快？
2.为什么指数增长叫做呈爆炸性增长？
指数函数
对数函数
一元一次函数
解析式
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=kx(k>0)
单调性
在(0，+∞)上单调递增
图象(随x的增大)
趋向于和x轴
_____
趋向于和x轴
_____
呈直线上升
垂直
平行
指数函数
对数函数
一元一次函数
增长速度
(随x的增大)
y的增长速度越来越___
y的增长速度越来越___
y的增长速度
_____
归
纳
总
结
总会存在一个x0，当x>x0时，___________
快
慢
不变
ax>kx>logax
(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异.
(2)应用：根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.
【思考】
在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个x0”？
提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加.使函数值相等的值可视为临界点就是x0，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一，比x0大的任意一个实数也可以作为x0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y=
x的衰减速度越来越慢.
( )
(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
( )
(3)对应任意x∈(0，+∞)，总有2x>x2.
( )
提示：(1)√.由函数y=
x的图象可知其衰减速度越来越慢.
(2)√.增长速度不变时图象为直线，故是一次函数.
(3)×.当x=2时，22=22.
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
( )
【解析】选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
3.(教材二次开发：练习改编)有一组实验数据如表所示：
下列所给函数模型较适合的是
( )
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=a
+b(a>0)
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变.
关键能力·合作学习
类型一 函数增长速度的差异(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.下列函数中，增长速度最快的是
( )
A.y=2
020x
B.y=2
020x
C.y=log2
020x
D.y=2
020
2.在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表.
则x，y最合适的函数是
( )
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-1.01
0.01
0.98
2.00
3.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是_______.?
①y=3×1.04x；
②y=20+x10；
③y=40+lg
(x+1)；
④y=80.
【解析】1.选B.指数函数的增长速度最快.
2.选D.根据x=0.50，y=-1.01，代入计算，可以排除A；根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C；由于随着x的增大，y的增长比较缓慢，符合y=log2x模型.
3.结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.
答案：①
【解题策略】
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型：幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
特别提醒：函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上.
类型二 函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理)
【典例】1.(多选题)如图，能使得不等式log2x( )
A.x>2
B.x>4
C.0D.22.已知函数f(x)=ln
x，g(x)=0.5x-1的图象如图所示.
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数.
(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小.
【思路导引】根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小.
【解析】1.选BC.由图象可知，当04时，符合不等式log2x2.(1)C1对应的函数为g(x)=0.5x-1，
C2对应的函数为f(x)=ln
x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，+∞)时，g(x)>f(x)；
当x=x1或x2时，g(x)=f(x).
综上，当x=x1或x2时，g(x)=f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，+∞)时，g(x)>f(x).
【解题策略】
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.
【跟踪训练】
在同一坐标系中，画出函数y=x+5和y=2x在(0，+∞)上的图象，并比较x+5与2x的大小.
【解析】函数y=x+5与y=2x的图象如图所示：
当02x，当x=3时，x+5=2x，
当x>3时，x+5<2x.
【补偿训练】
函数f(x)=1.1x，g(x)=ln
x+1，h(x)=
的图象如图所示，试分别指出各
曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点).
【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线C1对应
的函数是f(x)=1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)=
，曲线C3对应的函数是
g(x)=ln
x+1.由图象可得：当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x).
类型三 函数增长速度的应用(数学建模、直观想象)
角度1 利用曲线描述函数变化规律?
【典例】当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器(设单位时间内流入的溶液量相同)时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_______；B对应_______；C对应_______；D对应_______.?
【思路导引】由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对应的曲线.
【解析】A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与(4)对应；B容器为球形，溶液高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故溶液高度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应.
答案：(4) (1) (3) (2)
【变式探究】
若将溶液注入如图所示的容器，试作出容器内溶液高度的变化曲线.
【解析】容器内溶液的变化曲线为：
角度2 实际问题中的增长模型?
【典例】为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据
月份x/月
1
2
3
4
5
植物面积y/m2
24
36
现有两个函数模型y=kax(k>0，a>1)与y=mx2+n(m>0)可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式.
(2)若市环保局在2019年年底投放了11
m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由.
(3)经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合(2)中所选函数模型的增长特点.但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右.试用所学的知识解释这些现象的成因.你从中得到了什么启示？
【思路导引】(1)利用表中的数据，待定系数法求系数.
(2)利用投放的植物面积检验模型.
(3)利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因.
【解析】(1)由已知得
?
所以
y=
由已知得
?
所以
y=
(2)若用模型y=
则当x=0时，y1=
，
若用模型y=
，则当x=0时，y2=
，
易知，使用模型y=
更为合适.
(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快.当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内.
从中可以得到以下启示：
数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题.(答案不唯一)
【解题策略】
1.关于曲线的选择
首先关注图形形状对变量增长速度的影响，其次明确当速度变大时，曲线变陡，速度变小时，曲线变缓.
2.关于函数模型的选择
选取函数模型主要依据函数的增长速度，因此要熟悉各个函数模型的增长特点，再利用相关的数据辅助验证.
【题组训练】
1.明清时期，古镇河口因水运而繁华.若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是
( )
2.某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近
8
年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，…，8)的数据：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
x
38
40
44
46
48
50
52
56
y
45
55
61
63
65
66
67
68
(1)请补齐表格中
8
组数据的散点图，并判断y=a+bx与y=c+d
中哪一个更
适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明
理由)
(2)若(1)中的a=7，b=1.2，c=4.2，d=0.07，且产品的年利润z与x，y的关系
为z=200y-x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费
x
应为何
值？
【解析】1.选A.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x增大而减小.
2.(1)补齐的图如图：
由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选取y=c+d
更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式.
(2)依题意得，z=200×(4.2+0.07
)-x(32≤x≤64)，
化简得z=840+14
-x(32≤x≤64)，
设t=
(4
≤t≤8)，
则有z=-t2+14t+840，z=-(t-7)2+889.
故当t=7即投入的年宣传费x=49千元时，年利润取到最大值.
课堂检测·素养达标
1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是
( )
A.y=100
B.y=100x
C.y=1.01x
D.y=log2x
【解析】选C.结合函数y=100，y=100x，y=1.01x及y=log2x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y=1.01x.
2.如图，点M为?ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与?ABCD的另一边交于点N.当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t的函数关系的图象是
( )
【解析】选C.假设∠A=45°，AD=2
，AB=4，点M的速度为1，则当0≤t≤
2时，AM=MN=t，则S=
t2，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t，为一次函数.
3.(教材二次开发：练习改编)
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为
( )
A.y1，y2，y3
B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1
D.y1，y3，y2
【解析】选C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律.
4.函数y=x2与函数y=xlg
x在区间(0，+∞)上增长较快的一个是_______.?
【解析】当x变大时，x比lg
x增长要快，
所以x2要比xlg
x增长的要快.
答案：y=x2
5.某电脑公司六年来电脑年产量y(台)与生产时间x(年)的函数关系如图.有下列说法：①前三年产量增长速度越来越快；②前三年产量增长速度越来越慢；③后三年这种产品停止生产；④后三年产量保持不变.其中说法正确的是_______.(填序号)
?
【解析】结合图象的增长趋势易得出②④正确.
答案：②④