(共42张PPT)
4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
必备知识·自主学习
1.函数的零点
(1)概念：使f（x）=0的______.
零点、图象与x轴交点、方程实数解的关系：
导思
1.二次函数有零点，一般的函数的零点是怎样定义的？
2.怎样判断函数在一个区间内是否有零点？
实数x
(2)本质：方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.
(3)应用：利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系，实现三种问题的相互转化.
【思考】
函数的零点是点吗？
提示：不是，是使f(x)=0的实数x，是方程f(x)=0的根.
2.函数零点存在定理
(1)条件：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
_____________；
(2)结论：函数y=f(x)在区间(a,b)内___________零点，即________________，
使f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
(3)本质：利用函数的性质判断零点的存在性.
(4)应用：判断零点的存在性、求参数的范围等.
f(a)
f(b)
<0
至少有一个
存在c∈(a,b)
【思考】
函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，是不是一定有f(a)
f(b)
<0？
提示：不一定，如f(x)=x2在区间(-1,
1)上有零点0，但是f(-1)f(1)
=1×1=1>0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数在区间(a,b)内有唯一的零点.
( )
(2)若函数y=f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)内一定没有零点.
( )
(3)函数f(x)=x2-x+1有零点.
( )
提示：(1)×.在区间(a，b)内至少有一个零点.
(2)×.如f(x)=x2在区间(-1,
1)上有f(-1)f(1)
=1×1=1>0但是在区间(-1,
1)上有零点0.
(3)×.因为方程x2-x+1=0的Δ=1-4=-3<0无根，所以函数没有零点.
2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如表，那么在下列区间中，函数f(x)不一定存在零点的是
( )
A.(1，2)
B.[1，3]
C.[2，5)
D.(3，5)
x
1
2
3
5
f(x)
3
-1
2
0
【解析】选D.由题表可知，f(1)=3，f(2)=-1，f(3)=2，f(5)=0.
由f(1)?f(2)<0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；则函数f(x)在[1，3]上一定有零点；
由f(2)?f(3)<0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点，则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；
由f(3)>0，f(5)=0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点.
所以函数f(x)不一定存在零点的是(3，5).
3.(教材二次开发：例题改编)函数f(x)=ln
x-6的零点是_______.?
【解析】令f(x)=ln
x-6=0，则ln
x=6，解得x=e6.
答案：e6
关键能力·合作学习
类型一 零点的概念及求法(数学运算)
【题组训练】
1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是
( )
A.-1，0
B.0，4
C.1，-4
D.-1，4
2.(多选题)已知函数f(x)=
则f(x)的零点为
( )
A.1
B.-2
C.2
D.3
3.若函数f(x)=ax+1-2a的零点是
，则a=_______.?
【解析】1.选D.根据题意，函数f(x)=x2-3x-4，
若f(x)=0，即x2-3x-4=0，解得x=-1或4，
即函数的零点为-1，4.
2.选AC.当x<2时，由ex-1-1=0，解得x=1；
当x≥2时，由log3
=0，得
=1，
即x2-1=3，解得x=2.
所以f(x)的零点为1，2.
3.依题意得f
=0，即
a+1-2a=0，解得a=
.
答案：
【解题策略】
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)=0，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
类型二 零点个数的判断(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.函数f(x)=x3-x的零点的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.(2020·杭州高一检测)函数f(x)=(x-1)2-logax(其中a>1)零点的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2-2x(x≥0)，则函数f(x)的零点个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【思路导引】1.求出零点个数判断.
2.不能用代数法求零点时利用图象交点个数判断.
3.先求出x≥0时的零点，再利用奇偶性判断x<0时的零点.
【解析】1.选D.函数f(x)=x3-x=x(x+1)(x-1)=0，解得x=0或x=1或x=-1.
函数f(x)=x3-x的零点的个数是3.
2.选C.函数f(x)=(x-1)2-logax(其中a>1)零点的个数就是(x-1)2-logax=0根的个数，
也就是两个函数y=(x-1)2与y=logax(其中a>1)图象的交点个数.
因为y=(x-1)2关于x=1对称，x=1时取得最小值0，y=logax(其中a>1)是增函数，x=1时y=0，所以两个函数y=(x-1)2与y=logax(其中a>1)图象的交点个数为2.
3.选D.当x≥0时，f(x)=x2-2x=0可得，x=0或x=2，因为f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)=0，从而函数f(x)有3个零点：0，2，-2.
【解题策略】
关于函数零点个数的判断
(1)能直接求出零点的直接求零点判断；
(2)利用函数的图象判断零点个数
①原理：函数的零点个数?方程的根的个数?移项拆分为两个初等函数，函数交点个数；
②关键：拆分成的两个函数应方便作图.
【跟踪训练】
(2020·宝鸡高一检测)已知函数f(x)=
则函数f(x)的零点个
数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.当x≤1时，
令f(x)=0，得x2+
x=0，
解得x=-
或x=0；
当x>1时，
令f(x)=0，
得ln
x-
x+3=0，
故ln
x+3=
x，
在同一直角坐标系中分别作出y=ln
x+3，y=
x的图象如图所示，
观察可知，有1个交点，即f(x)=0在(1，+∞)上有1个解；综上所述，函数f(x)的零点个数为3.
【拓展训练】
(2020·朝阳高一检测)已知函数f(x)=
其中k≥0.
(1)若k=2，则f(x)的最小值为_______；?
(2)关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点，则实数k的取值范围是_______.?
【解析】(1)若k=2，则f(x)=
作函数f(x)的图象如图所示，
显然，当x=0时，函数f(x)取得最小值，
且最小值为f(0)=-1.
(2)令m=f(x)，显然f(m)=0有唯一解m=1，
由题意，f(x)=1有两个不同的零点，
由图观察可知，k<1，又k≥0，则实数k的取值范围为0≤k<1.
答案：(1)-1 (2)[0，1)
类型三 零点存在定理的应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 判断零点所在的区间?
【典例】(2020·菏泽高一检测)函数f(x)=log8x-
的一个零点所在的区间
是
( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
【思路导引】代入端点值判断符号关系.
【解析】选B.函数f(x)=log8x-
是连续增函数，因为f(1)=0-
<0，f(2)=log82-
>0，可得f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1，2).
【变式探究】
本例中区间(0，1)的端点0能代入函数解析式吗？怎样判断在该区间内是否有零点？
【解析】因为函数的定义域为(0,+∞),
因此0不能代入函数的解析式.
当x→0时，log8x→-∞，
→-∞，
所以f(x)→-∞.
又
<0，
故在区间(0，1)上不存在零点.
角度2 由零点所在的区间求范围?
【典例】函数f(x)=x2-2x+a在区间(1，3)内有一个零点，则实数a的取值范围是
( )
A.(-3，0)
B.(-3，1)
C.(-1，3)
D.(-1，1)
【思路导引】求出二次函数的对称轴，利用图象确定条件求范围.
【解析】选B.因为f(x)=x2-2x+a，它的对称轴为x=1，所以函数f(x)在区间
(1，3)内单调递增，
因为方程x2-2x+a=0在区间(1，3)内有一个零点，
所以函数f(x)在区间(1，3)内与x轴有一个交点，
根据零点存在定理得出：
即
解得-3
【解题策略】
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数.
则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.
【题组训练】
1.函数f(x)=ex-x-
(e=2.718
28…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是
( )
A.(-1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，e)
【解析】选B.f(x)=ex-x-
为连续函数，
且f(-1)=e-1+1-
<0，f(0)=1-0-
<0，f(1)=e-1-
>0，
f(2)=e2-2-
>0，f(e)=ee-e-
>0，
可得f(x)在(0，1)内存在零点.
2.(2020·宿迁高一检测)已知函数f(x)=ln
x+x-6的零点x0∈(k，k+1)，则整数k的值为_______.?
【解析】由函数的解析式可得函数在(0，+∞)上是增函数，且f(4)=ln
4+4-6<0，f(5)=ln
5+5-6>0，故有f(4)f(5)<0，
根据函数零点存在定理可得函数在区间(4，5)上存在零点.结合所给的条件可得，k=4，
答案：4
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=log2(2x+1)的零点是
( )
A.1
B.0
C.(0，0)
D.(1，1)
【解析】选B.令log2(2x+1)=0，解得x=0.
2.方程ex+8x-8=0的根所在的区间为
( )
A.(-2，-1)
B.(-1，0)
C.(0，1)
D.(1，2)
【解析】选C.令函数f(x)=ex+8x-8，则方程ex+8x-8=0的根即为函数f(x)的零点，
再由f(0)=1-8=-7<0，且f(1)=e>0，可得函数f(x)在(0，1)上有零点.
3.(教材二次开发：练习改编)
函数f(x)=ex+3x+1的零点所在的区间为
( )
A.(-2，-1)
B.
C.
D.
【解析】选B.函数f(x)=ex+3x+1是连续函数，
因为f(-1)=e-1-3+1<0，
+1>0，
故函数的零点所在的区间为
.
4.函数y=x2-bx+1有一个零点，则b=_______.?
【解析】因为函数有一个零点，所以Δ=b2-4=0，
所以b=±2.
答案：±2
5.函数f(x)=(x+1)(x2+3x-10)的零点有_______个.?
【解析】因为f(x)=(x+1)(x2+3x-10)
=(x+1)(x+5)(x-2)，
所以由f(x)=0得x=-5或x=-1或x=2.
答案：3
函数的零点
与方程的解
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
直观想象：通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养
应用函数零点存在定理时注意函数图象的连续性
数形结合：借助函数图象与x轴交点确定零点及方程的根
转化法：函数的零点转化为方程的根，转化为函数图象与x轴的交点
函数零点的定义
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理(共43张PPT)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
必备知识·自主学习
1.二分法的概念
(1)二分法：对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，
通过不断地把它的零点所在区间_________，使所得区间的两个端点逐步逼近
零点，进而得到零点_______的方法叫做二分法.
导思
1.求函数的零点时，如果方程f(x)=0无法用所学的方法求根，那么怎样求函数的零点？
2.应用二分法求函数的零点有哪些步骤？
一分为二
近似值
(2)本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值.
(3)应用：求函数的零点、方程的根的近似解.
【思考】为什么能用二分法求方程的近似解？
提示：方程的根即为对应函数的零点.
2.用二分法求函数零点近似值的步骤
(1)步骤：给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
②求区间(a，b)的中点c.
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；
(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b=c；
(iii)若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a=c.
④判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤②～④.
(2)本质：计算过程程序化，算法思想的具体体现.
(3)应用：利用二分法的步骤，可以设计程序框图，用有关算法语言编写程序，用信息技术求方程的近似解.
【思考】
零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？
提示：不是，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何函数的零点都可以用二分法求得.
( )
(2)用二分法求出的函数零点就是精确值.
( )
(3)用“二分法”求近似解时，精确度ε越大，零点的精确度越高.
( )
提示：(1)×.函数需满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0，才能用二分法求零点.
(2)×.用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值.
(3)×.精确度ε越大，零点的精确度越低.
2.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是
( )
【解析】选A.只有A中图象与x轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法.
3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为_______.?
x
1
1.5
1.25
1.375
1.437
5
1.406
25
f(x)
-2
0.625
-0.984
-0.260
0.162
-0.054
【解析】因为f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5)；
因为f(1.406
25)≈-0.054<0，
又f(1.437
5)≈0.162>0，
所以x0∈(1.406
25，1.437
5)，此时|1.406
25-1.437
5|=0.031
25<0.04.所以x0可以是[1.406
25，1.437
5]之间的任意一个数，故取x0=1.406
25.
答案：1.406
25(答案不唯一)
关键能力·合作学习
类型一 二分法的概念应用(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·周口高一检测)下列函数中能用二分法求零点的是
( )
2.已知f(x)=x2+6x+c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是
( )
A.9
B.8
C.7
D.6
3.下列关于函数y=f(x)，x∈[a，b]的叙述中，
①二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.
其中正确的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】1.选C.只要函数图象有部分在x轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有C.
2.选A.f(x)=x2+6x+c有零点，但不能用二分法求出，
则x2+6x+c=0，有两个相等的实数根，
则Δ=36-4c=0，解得c=9.
3.选B.二分法除了可以求函数的零点，方程的根外，还广泛应用于实际问题中，如在一个串联多焊点的故障检测中，要查出哪个焊点出现故障时，就可以用二分法，以尽快找到故障焊点.正确；②中函数f(x)不一定连续，且无法判断是否有f(a)·f(b)<0，错误；③中利用信息技术，步骤循环进行，可以得到小数点后的任一位，正确；
④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，错误.
【解题策略】
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
【补偿训练】
已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为
( )
A.4，4
B.3，4
C.5，4
D.4，3
【解析】选D.由图象可知，函数有4个零点，能用二分法求出的有3个.
类型二 用二分法求函数零点的近似解(逻辑推理)
【典例】1.(多选题)用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一个零点，其参考数据
如下：
根据上述数据，可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确度0.05)为( )
A.0.625
B.0.093
75
C.0.125
D.0.096
x
0.062
5
0.093
75
0.125
0.156
25
0.187
5
f(x)
-0.456
7
-0.180
9
0.097
8
0.379
7
0.664
7
2.用二分法求方程2x+3x-7=0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0=2，那么下一个有根的区间是_______.?
【解题导引】1.首先确定零点所在的区间，再根据相关的概念判断所取的零点是否正确.
2.依据f(1)，f(2)，f(3)的符号作出判断.
【解析】1.选BCD.由参考数据知f(0.093
75)≈-0.180
9<0，f(0.125)≈0.097
8>0，即f(0.093
75)·f(0.125)<0
且0.125-0.093
75=0.031
25<0.05.
所以f(x)=5x+7x-2的一个零点的近似值可取为0.093
75，0.125，0.096.
2.设f(x)=2x+3x-7，f(1)=2+3-7=-2<0，f(3)=10>0，f(2)=3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x+3x-7=0下一个有根的区间是(1，2).
答案：(1，2)
【解题策略】
二分法求函数零点的关注点
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.
(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.
【跟踪训练】
1.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，
当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0=
与真实零点的误差最大
不超过
( )
A.
B.
C.ε
D.2ε
【解析】选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b-
因此误差最大不超过
.
2.在用二分法求函数f(x)在(0，1)内的零点的近似解时，经计算f(0.625)<
0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，则可得出方程零点的一个近似解为_______(精确度0.1).
?
【解析】因为|0.75-0.687
5|=0.062
5<0.1，
所以(0.687
5，0.75)内的任意一个值都可作为方程的近似解.
答案：0.75(答案不唯一)
类型三 用二分法求方程的近似解(数学运算、直观想象)
角度1 求方程的近似解?
【典例】用二分法求方程x3+3x-5=0的近似解(精确度为0.1).
【思路导引】设出方程相应的函数，按照二分法求函数零点的步骤计算.
【解析】设函数f(x)=x3+3x-5，
因为函数y=x3与y=3x-5在(-∞，+∞)上都是增函数，所以f(x)在(-∞，+∞)上是单调递增的，
又因为f(0)=0+0-5=-5，
f(1)=1+3-5=-1，f(2)=8+6-5=9，
所以f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，
利用二分法可得表，
方程x3+3x-5=0在精确度为0.1的要求下的一个近似值为1.125.
区间
中点m
f(m)的符号
区间长度
(1，2)
1.5
+
1
(1，1.5)
1.25
+
0.5
(1，1.25)
1.125
-
0.25
(1.125，1.25)
1.187
5
+
0.125
(1.125，1.187
5)
1.156
25
+
0.062
5
【变式探究】
本例中，若精确度变为0.001，则要达到精确度要求至少要计算多少次？
【解析】设至少需要计算n次，则n满足
<0.001，
即2n>1
000，因为210=1
024，所以至少需要计算10次.
角度2 已知方程根的个数求参数范围?
【典例】(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=
设方程f(x)-
a=0有4个不同的根，则实数a的取值范围是_______.?
【思路导引】将方程的根的个数变成函数的交点的个数，利用图象解决.
【解析】方程f(x)-a=0有4个不同的根，
即为f(x)=a有4个不等实根，作出y=f(x)的图象，可得
≤a<1时，y=f(x)与y=a的图象有4个交点.
答案：
【解题策略】
1.关于二分法求方程的根
设出方程对应的函数，函数的零点即为方程的根，因此只需利用二分法求出对应函数的零点即可.
2.关于利用方程的根求参数的范围
(1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式，设出两个函数，作出两个函数的图象，根的个数即为图象交点的个数，利用图象确定参数的范围；
(2)解题思维过程：方程解的个数?函数交点个数?方程根的个数，方法是数形结合法.
【题组训练】
1.利用二分法求方程log3x=3-x的近似解，初始区间可以取
( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
【解析】选C.设f(x)=log3x-3+x，
因为当连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在区间(a，b)上有零点，即方程log3x=3-x在区间(a，b)上有解，又因为f(2)=log32-1<0，f(3)=log33-3+3=1>0，故f(2)·f(3)<0，
故方程log3x=3-x在区间(2，3)上有解.
2.(2020·吉林高一检测)已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-2x
恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为_______.?
【解析】因为g(x)=f(x)-2x=
所以g(x)的图象如图：
因为g(x)恰有2个不同的零点，所以g(x)图象与x轴有两个不同的交点.因为若x≤a时，g(x)有两个零点，
则令x2+4x+3=0，得x=-3或x=-1；
则x>a时，没有零点，所以a≥3.
因为若x≤a时，g(x)有一个零点；
则x>a时，g(x)=3-x有一个零点，所以-3≤a<-1.
答案：[-3，-1)∪[3，+∞).
课堂检测·素养达标
1.用二分法求函数y=f
(x)在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证
f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1=
=3，计算得f(2)·f(x1)<0，则
此时零点x0所在的区间是
( )
A.(2，4)
B.(2，3)
C.(3，4)
D.无法确定
【解析】选B.由题意可知：对于函数y=f(x)在区间[2，4]上，有f(2)·f(4)
<0，
利用函数的零点存在定理，所以函数在(2，4)上有零点.取区间的中点x1=
=3，
因为计算得f(2)·f(x1)<0，所以利用函数的零点存在定理，函数在(2，3)上
有零点.
2.已知函数y=f(x)为[0，1]上的连续函数，且f(0)·f(1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少等分的次数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.设需计算n次，则n满足
<0.1，
即2n>10.故计算4次就可满足要求，所以将区间等分的次数最少为4次.
3.(教材二次开发：例题改编)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度为0.01)可取_______.?
x
1.600
0
1.587
5
1.575
0
1.562
5
1.556
2
1.550
0
f(x)的近
似值
0.200
0.133
0.067
0.003
-0.029
-0.060
【解析】f(1.562
5)≈0.003>0，f(1.556
2)≈-0.029<0，方程3x-x-4=0的一个近似解在(1.556
2，1.562
5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562
5.
答案：1.562
5(答案不唯一)
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间为_______.?
【解析】因为f(2)<0，f(2.5)>0，f(3)>0，
所以f(2)f(2.5)<0，f(2.5)f(3)>0.
所以下一个有根区间应为(2，2.5).
答案：(2，2.5)
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.定义
2.步骤
3.应用
2.逼近思想：用二分法求方程近似解即是逼近思想的应用
1.转化法：把方程的解转化为函数的零点
求方程的近似解时要注意精确度
逻辑推理：通过二分法求方程的近似解，培养逻辑推理的核心素养(共51张PPT)
4.5.3 函数模型的应用
必备知识·自主学习
1.指数函数型模型
(1)表达形式：f(x)=_____.
(2)条件：a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1.
导思
在现实生活中，你见过哪些实际问题符合我们学过的指数、对数函数的变化规律？
abx+c
2.对数函数型模型
(1)表达形式：f(x)=________.
(2)条件：m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1.
(3)本质：现实生活中的实际问题符合指数、对数函数变化规律.
(4)应用：利用指数、对数函数的性质解决实际问题.
mlogax+n
【思考】
(1)我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没有别的变化方式？
提示：有，还有指数衰减.
(2)我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，那么当底数小于1时，对数函数的变化有何特点？
提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.
( )
(2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好.
( )
(3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好.
( )
提示：(1)×.对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别.
(2)√.数据越多，模拟效果越好.
(3)√.根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型的模拟效果较好.
2.数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”期间，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为a元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价10%，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格a元相比
( )
A.相等
B.略有提高
C.略有降低
D.无法确定
【解析】选C.商品的现价为：a(1+10%)2(1-10%)2=(1-0.01)2a3.(教材二次开发：例题改编)
放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余
质量变为原来的一半，所经历的时间称为它的半衰期，记为
，剩余质量随
时间变化的函数关系是A(t)=
.现测得某种放射性元素的剩余质量A随
时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为_______个单位时间，剩余质量随时间
变化的衰变公式为A(t)=_______.?
【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0=320，则经
过时间t的剩余质量为A(t)=A0·
=320·
(t≥0).
答案：4 320·
(t≥0)
关键能力·合作学习
类型一 应用已知函数模型解决实际问题(数学建模)
【题组训练】
1.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0
℃的保鲜时间是192小时，在22
℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33
℃的保鲜时间是_______小时.
( )?
A.22
B.23
C.24
D.33
2.(2020·株洲高一检测)英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿曾提出了物体
在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯
水从开始冷却，x分钟后物体的温度f(x)满足：f(x)=15+
.则从开始冷
却，经过5分钟时间这杯水的温度是_______.?
【解析】1.选C.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满
足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)，
该食品在0
℃的保鲜时间是192小时，在22
℃的保鲜时间是48小时，所以
解得e11k=
，
所以该食品在33
℃的保鲜时间：y=e33k+b=(e11k)3×eb=
×192=24(小时).
2.f(5)=15+50
=15+50×
(℃).
答案：
【解题策略】
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
【补偿训练】
光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的
玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y=k·0.9x，那么至
少通过_____块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的
以下(lg
3≈0.477，
lg
2≈0.3)
( )?
A.12
B.13
C.14
D.15
【解析】选C.光线经过1块玻璃后，强度变为y=(1-10%)k=0.9k，光线经过2块玻璃后，强度变为y=(1-10%)0.9k=0.92k，
光线经过x块玻璃后，强度变为y=0.9xk.
由题意0.9xk<
，即0.9x<
，
两边同取对数，可得xlg
0.9，因为lg
0.91=0，
所以x>
≈13.04，
因为x∈N+，所以xmin=14.即至少通过14块玻璃.
类型二 建立函数模型解决实际问题(数学建模)
【典例】为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年
在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年
内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.
(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，
并指出函数的定义域；
(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？
(参考数据lg
0.11≈-0.959，lg
1.1≈0.041，lg
11≈1.041，lg
2≈0.301)
四步
内容
理解
题意
条件：2017年投入100万元，十年内每年投资增长率为10%
结论：(1)写出投入资金y与第x年的函数关系式及定义域
(2)哪一年开始投入资金超过200万元
思路
探求
该企业投入资金的增长符合指数函数模型，先确定函数模型的关系式，再利用该函数模型解决问题
题后
反思
指数、对数函数模型是常用的函数模型，可直接设出或利用待定系数法求关系式.运算是关键也是难点.
【解题策略】
有关指数增长(衰减)问题
(1)熟练应用公式a(1±x)n，a>0，0(2)对于比较复杂的问题，可以通过写出前三、四次的表达式，找出规律后再写第n次的.
【跟踪训练】
有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从第几年开始，快递行业产生的包装垃圾会超过4
000万吨.(参考数据：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的
年份的数量，
由题意可得y=400×(1+50%)n=400×
，
当y=4
000时，有
=10，
两边取对数可得n(lg
3-lg
2)=1，
所以n(0.477
1-0.301
0)=1，0.176
1n=1，解得n≈6，
所以从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾会超过4
000万吨.
类型三 实际问题中函数模型的选择问题(数学建模)
角度1 根据费用(利润)选择函数模型?
【典例】(2020·南京高一检测)运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为：20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(m>0)，运输的路程为s(千米).设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为y1(元)、y2(元)、y3(元).
(1)请分别写出y1，y2，y3的表达式.
(2)试确定使用哪种运输工具总费用最省.
【思路导引】(1)运输总费用=每千米的费用×s+m×
.
(2)利用y1，y2，y3的表达式比较费用的大小.
【解析】(1)y1=20s+
，y2=10s+
，y3=50s+
.
(2)因为m>0，s>0，故20s>10s，
，
所以y1>y2恒成立，故只需比较y2与y3的大小关系即可.
令f(s)=y3-y2=40s-
，
故当40-
>0即m<
时，f(s)>0，即y2最省；当40-
<0即m>
时，f(s)<0，
即y2>y3，此时选择飞机运输费用最省；
当40-
=0即m=
时，f(s)=0，
即y2=y3，此时选择火车或飞机运输费用最省.
【变式探究】
每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上年增加9%.
你觉得哪个方案较好？
【解析】(方案一)5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).
(方案二)5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).因为15.386>15，所以方案二较好.
角度2 根据模拟效果选择函数模型?
【典例】(2020·盐城高一检测)据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位、3个单位、6个单位.若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数y=px2+qx+r(其中p，q，r为常数)或函数y=a·bx+c(其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
【思路导引】首先根据已知条件确定两个模拟函数的解析式，再利用2018年的测量值检验模拟效果.
【解析】若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数，
则依题意得：
解得
所以f(x)=
x2+
x.
若以g(x)=a·bx+c作模拟函数，
则
解得
所以g(x)=
-3.
利用f(x)，g(x)对2018年CO2浓度作估算，
则其数值分别为：f(4)=10单位，g(4)=10.5单位，因为|f(4)-16.5|>|g(4)-
16.5|，
故g(x)=
-3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用g(x)=
-3
作模拟函数较好.
【解题策略】
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图.
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位：万元)与速度v(单位：百公里/小时)(0≤v≤3)的以下数据：
v
0
1
2
3
Q
0
0.7
1.6
3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=klogav+b.
(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用.
【解析】(1)若选择函数模型Q=0.5v+a，则该函数在v∈[0，3]上单调递减，
这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型，
若选择函数模型Q=klogav+b，需v>0，这与试验数据在v=0时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型；
从而只能选择函数模型Q=av3+bv2+cv，由试验数据得a+b+c=0.7，①
8a+4b+2c=1.6，②
27a+9b+3c=3.3，③
联立①②③解得：a=0.1，b=-0.2，c=0.8；
故所求函数解析式为Q=0.1v3-0.2v2+0.8v(0≤v≤3).
(2)设超级快艇在AB段的航行费用为y(万元)，
则所需时间为
(小时)，其中：0结合(1)知，y=
(0.1v3-0.2v2+0.8v)
=0.3[(v-1)2+7]，所以当v=1时，ymin=2.1(万元).
故该超级快艇应以1百公里/小时的速度航行才能使AB段的航行费用最少，
为2.1万元.
2.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度，每度0.4元，超过30度时，超过部分按每度0.5元.
方案二：不收管理费，每度0.48元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系.
(2)小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用电多少度？
(3)小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
【解析】(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.4x；
当x>30时，L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5=0.5x-1，
所以L(x)=
(2)当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.4x=34，解得x=80，舍去；
当x>30时，由L(x)=0.5x-1=34，解得x=70，
所以小李家该月用电70度.
(3)设按方案二收费为F(x)元，则F(x)=0.48x，当0≤x≤30时，由L(x)解得：2+0.4x<0.48x，解得：x>25，
所以25当x>30时，由L(x)得：0.5x-1<0.48x，解得：x<50，
所以30综上，当25故小李家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好.
课堂检测·素养达标
1.某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后，该网站的点击量每月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的
( )
A.2倍以上，但不超过3倍
B.3倍以上，但不超过4倍
C.4倍以上，但不超过5倍
D.5倍以上，但不超过6倍
【解析】选D.4个月后网站点击量变为原来的
所以是5倍以上，
但不超过6倍.
2.随着新冠肺炎疫情在国内已经可控，部分商场开始重新营业.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：
(1)如不超过200元，则不予优惠；
(2)如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；
(3)如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.
某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样价格的商品，则应付款
( )
A.472.8元
B.510.4元
C.522.8元
D.560.4元
【解析】选D.购物500元应付款500×0.9=450(元)，
设第二次购物的原价为a，则200故0.9a=423，解得a=470.
故两次购物原价为168+470=638(元).
若一次购物638元，则应付款500×0.9+138×0.8
=560.4(元).
3.某种高耗能产品今年的产量是a，如果保持5%的速度递减，那么经过x年(x∈N+)，该产品的产量y满足
( )
A.y=a(1-5%x)
B.y=a+5%
C.y=a(1-5%)x-1
D.y=a(1-5%)x
【解析】选D.经过1年，y=a(1-5%)，经过2年，y=a(1-5%)2，…，经过x年，y=a(1-5%)x.
4.某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，经过5小时，1个细菌通过繁殖，个数变为_______.?
【解析】由题意知，当t=
时，y=2，即2=
，
所以k=2ln
2，所以y=e2tln
2.
当t=5时，y=e2×5×ln
2=210=1
024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖，个数变为1
024.
答案：1
024
5.(教材二次开发：例题改编)
已知C14的半衰期为5
730年(是指经过5
730年后，C14的残余量占原始量的一半).设C14的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b=ae-kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时C14的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今_______年.(已知log
20.767≈-0.4，ln
2≈0.69)?
【解析】由题意可知，当x=5
730时，ae-5
730k=
a，解得k=
.现测得湖南
长沙马王堆汉墓女尸出土时C14的残余量约占原始量的76.7%.
所以76.7%=
，得ln
0.767=-
x，
x=-5
730×
=-5
730×log20.767≈2
292.
答案：2
292