(共38张PPT)
5.2.1 三角函数的概念(二)
必备知识·自主学习
1.三角函数值的符号
(1)图形表示.
(2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)本质：三角函数值在各个象限内的符号，是根据单位圆与角的终边在各个象限内的交点坐标的符号决定的.
(4)应用：根据三角函数值在各个象限内的符号，可以在不求三角函数值的情况下，判断三角函数的正负.
2.公式一
(1)公式：sin(α+k·2π)=_______，cos(α+k·2π)=_______，tan(α+k·2π)=_______(k∈Z).?
(2)本质：终边相同的角的终边与单位圆交点相同，因此同一三角函数值相等.
(3)应用：将角的三角函数转化为终边相同的特殊角的同一三角函数求值.
sin
α
cos
α
tan
α
【思考】
根据三角函数的公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
提示：终边相同的角，其同一三角函数的值相等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)已知α是三角形的内角，则必有cos
α>0.
( )
(2)终边相同的角的同一三角函数值相等.
( )
(3)若sin
α>0，则α一定在第一或第二象限.
( )
提示：(1)
×.当
α为钝角时，cos
α<0.
(2)
√.
(3)
×.终边落在y轴的非负半轴上，也有sin
α>0.
2.若sin
θ·cos
θ>0，则角θ在
( )
A.第一或第四象限
B.第一或第三象限
C.第一或第二象限
D.第二或第四象限
【解析】选B.因为sin
θ·cos
θ>0，所以sin
θ>0，cos
θ>0或sin
θ<0，
cos
θ<0，所以角θ在第一象限或第三象限.
3.(教材二次开发：例题改编)sin(-315°)的值是
( )
【解析】选C.sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin
45°=
.
关键能力·合作学习
类型一 三角函数值符号的应用(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.(2020
·珠海高一检测)已知点M(sin
θ，tan
θ)在第三象限，则角θ在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.(2020
·南宁高一检测)若sin
α·cos
α<0，则角α的终边在
( )
A.第一或第二象限
B.第一或第三象限
C.第一或第四象限
D.第二或第四象限
3.判断下列各式的符号：
①tan
191°-cos
191°；
②sin
3·cos
4·tan
5.
【解析】1.选D.因为点M(sin
θ，tan
θ)在第三象限，所以
由①知，θ为第三象限、第四象限或y轴非正半轴上的角；
由②知，θ为第二或第四象限角.
综上，角θ在第四象限.
2.选D.因为sin
α·cos
α<0，则sin
α>0，cos
α<0或sin
α<0，cos
α>0.
若sin
α>0，cos
α<0，则角α的终边在第二象限.若sin
α<0，cos
α>0，
则角α的终边在第四象限.综上，角α的终边在第二或第四象限.
3.①正；因为191°是第三象限角；
所以tan
191°>0，cos
191°<0.
所以tan
191°-cos
191°>0.
②正；因为
<3<π，π<4<
，
<5<2π，
所以sin
3>0，cos
4<0，tan
5<0，
所以sin
3·cos
4·tan
5>0.
【解题策略】
判断三角函数的符号的常用方法
(1)定象限：根据题目给出的条件，确定角所在的象限.
(2)定符号：根据角所在象限，结合题目的具体特点，最终确定符号.
【补偿训练】已知角α的终边过点(3a-9，a+2)，且cos
α≤0，sin
α>0，
则实数a的取值范围是_______.?
【解析】因为cos
α≤0，sin
α>0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负
半轴上，因为α终边过(3a-9，a+2)，所以
所以-2
答案：-2类型二 公式一的应用(数学运算、直观想象)
【典例】1.tan
的值为
( )
A.
B.
C.
D.1
2.求值：
【思路导引】1.由
，所以用公式一求值.
2.用公式一化简后求值.
【解析】1.选B.
2.原式=
【解题策略】
利用公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ+α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.
(2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
【题组训练】
计算：
sin(-1
395°)cos
1
110°+cos(-1
020°)sin
750°.
【解析】原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°
+60°)
sin(2×360°+30°)
=sin
45°cos
30°+cos
60°sin
30°
类型三 三角函数概念的综合应用(数学抽象、数学运算)
角度1 三角函数符号与定义的综合应用?
【典例】设α是第三象限角，且
，则
所在象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【思路导引】先根据α在第三象限，用不等式表示α，再求
的可能范围，
再根据已知条件判断具体象限.
【解析】选B.因为α是第三象限角，
所以2kπ+π<α<2kπ+
，k∈Z.
所以kπ+
.
k∈Z
所以
在第二、四象限.
又因为
，所以cos
<0.
所以
在第二象限.
【变式训练】
(2020·衡阳高一检测)若sin
α<0，则下列三角函数的值恒为负数的是
( )
A.cos
α
B.tan
α
C.cos
D.tan
【解析】选D.由sin
α<0，得2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z)，
所以kπ+
是第二或第四象限角，所以tan
<0.
角度2 三角函数与其他知识交汇?
【典例】已知
，且lg(cos
α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限.
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M
，求m的值及sin(α+6π)的值.
【思路导引】(1)根据|
sin
α
|=-sin
α，lg(cos
α)有意义，判断
sin
α，cos
α的正负，再判断角α所在的象限.
(2)根据三角函数的概念求出sin
α的值，再利用公式一化简求值.
【解析】(1)因为
所以sin
α<0.①
因为lg(cos
α)有意义，
所以cos
α>0.②
由①②得角α在第四象限.
(2)因为点M
在单位圆上，
所以
+m2=1，解得m=±
.
又角α是第四象限角，
所以m<0，所以m=
.
由三角函数定义知，sin
α=
.
所以sin(α+6π)=sin
α=
.
【解题策略】
三角函数求值与角的终边相关联
(1)角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定.
(2)终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.
【题组训练】
1.若三角形的两内角α，β满足sin
αcos
β<0，则此三角形必为
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都可能
【解析】选B.因为sin
αcos
β<0，α，β∈(0，π)，
所以sin
α>0，cos
β<0，所以β为钝角.
2.已知α∈
且sin
α>0，则下列不等式一定成立的是
( )
A.cos
α·tan
α<0
B.sin
α·tan
α>0
C.cos
α-tan
α<0
D.sin
α-tan
α>0
【解析】选D.已知α∈
且sin
α>0，则α∈
，所以cos
α<0，
tan
α<0.
所以对于选项A：cos
α·tan
α>0，故选项A错误.
对于选项B：sin
α·tan
α<0，故选项B错误.
对于选项C：cos
α-tan
α不能确定符号，故选项C错误.
对于选项D：sin
α-tan
α>0，故选项D正确.
3.使得lg(cos
αtan
α)有意义的角α是第_______象限角.?
【解析】要使原式有意义，必须cos
αtan
α>0，即需cos
α，tan
α同号，所以α是第一或第二象限角.
答案：一或二
【补偿训练】若tan
x<0，且sin
x-cos
x<0，则角x的终边在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为tan
x<0，所以角x的终边在第二、四象限，又sin
x-cos
x
<0，所以角x的终边在第四象限.
三角函数的
概念（二）
弧度制给出的角应转化成角度制，再判断其三角函数值的符号
利用三角函数定义求三角函数值题型：（1）已知角终边上的点求三角函数值；（2）已知角终边的位置求三角函数值；
（3）已知三角函数值求参数
三角函数的定义
三角函数值的符号
坐标法
单位圆法
诱导公式（一）
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
数学运算：通过诱导公式（一）的应用，培养数学运算的核心素养
数学抽象：通过三角函数定义的引入，培养数学抽象的核心素养
课堂检测·素养达标
1.若cos
α<0，tan
α>0，则α在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.由余弦、正切函数值在各象限内的符号知，角α是第三象限角.
2.cos(-1
410°)的值为
( )
【解析】选C.cos(-1
410°)=cos(-4×360°+30°)=cos
30°=
.
3.(教材二次开发：练习改编)设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数
中有意义且均为正值的是
( )
A.tan
A与cos
B
B.cos
B与sin
C
C.sin
C与tan
A
D.tan
与sin
C
【解析】选D.因为0，所以tan
>0；又因为0所以sin
C>0.
4.sin
=_______.?
【解析】
答案：
5.判断下列各式的符号
(填上“>”或“<”)：
(1)sin328°_______0.(2)cos
π_______0.(3)tan
π_______0.?
【解析】(1)因为270°<328°<360°，所以328°在第四象限，所以sin
328°<0.
(2)因为π<
，所以
π在第三象限，
所以cos
π<0.
(3)因为
<π，所以
π在第二象限，
所以tan
π<0.
答案：(1)< (2)< (3)<(共42张PPT)
5.2.1 三角函数的概念(一)
必备知识·自主学习
三角函数的定义(单位圆法)
(1)定义：
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与_______
相交于点P(x，y)，那么：
__=sin
α；__=cos
α；___=tan
α(x≠0).
单位圆
y
x
(2)本质：用单位圆法定义三角函数，是把角与点的坐标有机结合，简单易行，便于记忆，方便运算.
(3)应用：适用于求任意角的三角函数值，特别是弧度制条件下角的三角函数值.
【思考】终边在坐标轴的角α的三角函数值分别是什么？
提示：α终边在x轴非负半轴时，sin
α=0，cos
α=1，tan
α=0；
α终边在y轴非负半轴时，sin
α=1，cos
α=0，tan
α不存在；
α终边在x轴非正半轴时，sin
α=0，cos
α=-1，tan
α=0；
α终边在y轴非正半轴时，sin
α=-1，cos
α=0，tan
α不存在.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)sin
α表示sin与α的乘积.
( )
(2)如图所示，sin
α=y.
( )
(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.
( )
提示：(1)×.sin
α表示角α的正弦值，是一个“整体”.
(2)
×.图中的圆不是单位圆.
(3)
×.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在.
2.(教材二次开发：例题改编)已知角α的终边上一点P(5，-12)，
则sin
α=
( )
【解析】选B.因为角α的终边上一点P(5，-12)，则sin
α=
3.已知角α的终边经过点
，则sin
α=_______，
cos
α=_______，tan
α=_______.?
【解析】因为
=1，
所以点
在单位圆上，由三角函数的定义知sin
α=-
，
cos
α=-
，tan
α=
.
答案：-
-
关键能力·合作学习
类型一 单位圆法求三角函数值(直观想象，数学运算)
【题组训练】
1.(2020·泸州高一检测)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与原点O重
合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P
，
则tan
θ的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.-
2.已知α=
，则sin
α·tan
α=
( )
3.设m<0，角α的终边与单位圆的交点为P(-3m，4m)，那么sin
α+2cos
α
的值等于
( )
【解析】1.选C.因为平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与原点O重合，
它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P
，
所以tan
θ=
2.选B.在平面直角坐标系中，作出α=∠AOB=
(如图所示)，
易知OB与单位圆相交于点P
则sin
α=
，tan
α=-
，
所以sin
α·tan
α=-
.
3.选A.因为点P在单位圆上，
所以|OP|=1.
即
=1，
解得m=±
.
因为m<0，所以m=-
.
所以点P的坐标为
所以sin
α=-
，cos
α=
.
所以sin
α+2cos
α=-
+2×
=
.
【解题策略】
单位圆法求三角函数的定义时的注意点
(1)找点：确定角α的终边与单位圆的交点P(x，y).
(2)下结论：根据三角函数的定义得sin
α=y；
cos
α=x；
tan
α=
(x≠0).
【补偿训练】
已知角α的终边与单位圆的交点为
(y<0)，
则sin
αtan
α=_______.?
【解析】因为α的终边与单位圆的交点为
，
所以
+y2=1，
即y2=
.
又因为y<0，
所以y=-
.
所以sin
α=-
，cos
α=-
，tan
α=
，
所以sin
αtan
α=-
答案：-
类型二 坐标法求三角函数值(数学运算)
【典例】已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，求2sin
α+cos
α的值.
【解题策略】
已知角α的终边上一点P(x，y)求三角函数值时，
先求r
=|OP|(O为原点)，
再根据定义sin
α=
，cos
α=
，tan
α=
确定三角函数值.
若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论.
【跟踪训练】
(2020·聊城高一检测)已知角α的终边上一点(1，m)，且sin
α=
，
则m=
( )
A.±
B.
C.-
D.
【解析】选B.由角α的终边上一点(1，m)，
知r=
所以sin
α=
所以m>0，
解得m=
.
类型三 三角函数概念的综合应用(直观想象，数学运算)
角度1 三角函数概念的理解?
【典例】(2020·上海高一检测)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点
P，Q从点A(1，0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转
弧度，
点Q按顺时针方向每秒钟转
弧度，则P，Q两点在第2
019次相遇时，点P的
坐标是
( )
A.(0，0)
B.(0，1)
C.(-1，0)
D.(0，-1)
【思路导引】1秒钟两点转的角度之和恰好为2π，所以两点每1秒相遇一次，第2
019次相遇时，用了2
019秒.
【解析】选B.因为点P按逆时针方向每秒钟转
弧度，点Q按顺时针方向每秒钟
转
弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即2π，所以两点相遇一次用了
1秒，
因此当两点相遇2
019次时，共用了2
019秒，
所以此时点P所转过的角度为
+336π.
由终边相同的角的概念可知，
角与
角的终边相同，
因为
角的终边在
y轴的非负半轴上，y轴的非负半轴与单位圆的交点为(0，1)，
所以点P的坐标为(0，1).
【变式探究】
本例中，若条件不变，求P，Q两点在第2
021次相遇时点P的坐标.
【解析】根据典例知，P，Q两点相遇2
021次时，共用了2
021秒，
所以此时点P转过的角度为
=336π+
，所以
角与
角终边相同.
易知
角的终边与单位圆的交点为
即此时点P的坐标为
角度2 三角函数概念的综合应用?
【典例】已知角α的终边在直线y=-3x上，求10sin
α+
的值.
【思路导引】已知角α的终边在一条直线上，需要先讨论角的终边在直线的哪一部分，然后在射线上任取异于原点的一点，最后根据三角函数的概念求解.
【解析】由题意知，cos
α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，-3k)(k≠0)，则x=k，y=-3k，r=
(1)当k>0时，r=
k，α是第四象限角，
sin
α=
所以10sin
α+
(2)当k<0时，r=-
k，α是第二象限角，
sin
α=
所以10sin
α+
综上所述，10sin
α+
=0.
【解题策略】
分类讨论的应用
当角的终边在过原点的某一条直线上时，因为角的终边应该是过原点的一条射线，所以要注意将直线从原点处分为两条射线进行讨论.
【题组训练】
1.(2020·沈阳高一检测)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在射线y=-2x(x≥0)上，则sin
α=
( )
【解析】选D.角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边落在射线y=-2x(x≥0)上，
在α的终边上任意取一点(1，-2)，
则sin
α=
2.(2020·株洲高一检测)圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述
为：质点在以某点为圆心，半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”.如图所
示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向旋转到点P，若连接OA，OP，形成一
个角α，当角α=
时，则cos
α=
( )
【解析】选A.因为
角与
角终边相同，三角函数值相等，
所以cos
α=cos
=cos
=
.
3.已知角α的终边在直线y=
x上，求sin
α，cos
α，tan
α的值.
【解析】因为角α的终边在直线y=
x上，
所以可设P(a，
a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r=
=2|a|(a≠0).
若a>0，则α为第一象限角，r=2a，
所以sin
α=
cos
α=
若a<0，则α为第三象限角，r=-2a，
所以sin
α=
【补偿训练】
已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin
θ=
，则m=_______.?
【解析】角θ的终边经过点P(4，m)，
则r=
又sin
θ=
，解得m=3(负值舍去).
答案：3
课堂检测·素养达标
1.点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则
的值为
( )
【解析】选A.因为tan
60°=
，所以
=
.
2.已知角α的终边经过点(-4，3)，则cos
α等于
( )
【解析】选D.由题意可知x=-4，y=3，r=
=5，
所以cos
α=
3.(教材二次开发：练习改编)某点从(1，0)出发，沿单位圆x2+y2=1按逆时针
方向运动
弧长到达Q点，则Q点的坐标为
( )
【解析】选D.根据三角函数的概念知点
又因为
4.代数式sin
120°cos
210°的值为
( )
【解析】选A.利用三角函数定义易得sin
120°=
，
cos
210°=-
，所以sin
120°cos
210°=
5.已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与射线y=2x(x≤0)重合，则cos
θ=_______.?
【解析】因为角的终边与射线y=2x(x≤0)重合，
所以在终边上取一点P(-1，-2)，
则r=
则cos
θ=
答案：(共48张PPT)
5.2.2 同角三角函数的基本关系
必备知识·自主学习
同角三角函数的基本关系
(1)基本关系
平方关系
商数关系
公式表示
_______________
=_______
(α≠
+kπ，k∈Z)
语言叙述
同一个角α的正弦、余弦
的平方和等于1.
同一个角α的正弦、余弦的商
等于角α的_____.
sin2α+cos2α=1
tan
α
正切
(2)本质：同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用：正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么？
提示：一是“角相同”，如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角
(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，
如sin2
15°+cos2
15°=1，sin2
+cos2
=1等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)
对任意角θ，sin2
+cos2
=1都成立.
( )
(2)对任意的角α，都有
成立.
( )
(3)存在角α，β，有sin2
α+cos2
β=1.
( )
提示：(1)√.在sin2α+cos2α=1中，令α=
可得sin2
+cos2
=1.
(2)×.当α=
+kπ，k∈Z时就不成立.
(3)√.因为sin2
π+cos2
=1，所以存在α，β使得sin2α+cos2β=1成立.
2.化简
的结果是
( )
A.cos
B.-cos
C.sin
D.-sin
【解析】选A.
3.(教材二次开发：例题改编)已知α是第二象限角，sin
α=
，则cos
α=
( )
【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二
象限角，所以cos
α=
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·通州高一检测)已知cos
α=
，且α∈(0，π)，则tan
α=
( )
2.(2020·东莞高一检测)已知sin
θ=
，cos
θ=
，若θ是第二象
限角，则tan
θ的值为
( )
3.在△ABC中，sin
A·cos
A=
，则cos
A-sin
A的值为
( )
【解析】1.选A.因为cos
α=
，且α∈(0，π)，
所以sin
α=
所以tan
α=
2.选C.因为sin
θ=
，cos
θ=
，
所以sin2θ+cos2
θ=
=1，
解得：a=0或a=4，
因为θ为第二象限角，所以sin
θ>0，cos
θ<0.
所以a=4，
所以可得：sin
θ=
，cos
θ=
，tan
θ=
.
3.选B.因为在△ABC中，sin
A·cos
A=
，所以A为钝角，所以cos
A-
sin
A<0，
所以cos
A-sin
A=
【解题策略】
利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点
(1)定符号：根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号.
(2)定值：根据三角函数的基本关系确定函数值.
【补偿训练】(2020·杭州高一检测)已知tanθ=2，θ为第三象限角，则
sin
θ=
( )
【解析】选B.因为tan
θ=2，θ为第三象限角，
所以
解得
类型二 利用同角三角函数的关系求值
【典例】1.已知tan
α=2，求下列各式的值：
(3)2sin2α-sin
αcos
α+cos2α.
四步
内容
理解
题意
条件：
tan
α=2
结论：求三个齐次式的值.
思路
探求
把齐次式的分子、分母分别除以cos
α(或cos2α)
四步
内容
题后
反思
已知正切求关于弦的式子的值时，可利用同角三角函数的关系弦化切，代入已知切值即可.
2.已知sin
α+cos
α=
，0<α<π.
(1)求sin
αcos
α的值.(2)求sin
α-cos
α的值.
【思路导引】已知sin
α+cos
α=
，两边平方再利用sin2α+cos2α=1，
即可求出sin
αcos
α，再把sin
α-cos
α两边平方即可，注意角α的范围.
【解析】(1)由sin
α+cos
α=
得(sin
α+cos
α)2=
，
sin2α+2sin
αcos
α+cos2α=
，sin
αcos
α=
.
(2)因为0<α<π，sin
αcos
α<0，
所以sin
α>0，cos
α<0?sin
α-cos
α>0.
(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α=
，
所以sin
α-cos
α=
.
【解题策略】
1.已知角α的正切求关于sin
α，cos
α的齐次式的方法
(1)关于sin
α，cos
α的齐次式就是分式中的每一项都是关于sin
α，
cos
α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos
α的n次幂，其式子可化为关于tan
α的式子，再代入求值.
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α+cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan
α的式子，再代入求值.
2.求三角函数值的方法
(1)已知sin
θ(或cos
θ)求tan
θ常用以下方法求解
(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方
关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin
α±cos
α)2
=1±2sin
αcos
α的等价转化，分析解决问题的突破口.
【跟踪训练】
1.已知
=2，计算下列各式的值.
(1)
(2)sin2α-2sin
αcos
α+1.
【解析】由
=2，化简，得sin
α=3cos
α，所以tan
α=3.
(1)方法一：原式=
方法二：原式=
(2)原式=
2.(1)已知sin
α+cos
α=
，α∈(0，π)，则tan
α=_______.?
(2)已知tan
α=
，且α是第三象限角，求sin
α，cos
α的值.
【解析】(1)因为sin
α+cos
α=
，所以(sin
α+cos
α)2=
，即
2sin
αcos
α=
<0，
又α∈(0，π)，则sin
α>0，cos
α<0，所以α∈
，
故sin
α-cos
α=
所以sin
α=
，cos
α=
，tan
α=
答案：
(2)由tan
α=
得sin
α=
cos
α①，
又sin2α+cos2α=1②，由①②得
cos2α+cos2α=1，
即cos2α=
.
又α是第三象限角，
故cos
α=
，sin
α=
cos
α=
.
类型三 利用同角三角函数的关系化简证明
角度1 应用同角三角函数关系式化简?
【典例】已知α是第三象限角，化简
【思路导引】首先将tan
α化为
，然后化简根式，最后约分.
【解析】原式=
又因为α是第三象限角，所以sin
α<0.
所以原式=
=-1.
【变式探究】
如果本例条件不变，结果改为化简：
【解析】原式=
因为α是第三象限角，所以cos
α<0.
所以原式=
=-2tan
α.
角度2 利用同角三角函数关系证明?
【典例】求证：
【思路导引】思路1：把左边分子分母同乘以cos
x，再利用公式变形；思路
2：把左边分子、分母同乘以(1+sin
x)先满足右式分子的要求；思路3：用作
差法，化简等式为0.
【证明】方法一：左边=
=右边，所以原等式成立.
方法二：左边=
=右边.
方法三：因为
=0，
所以
【解题策略】
证明三角恒等式的常用方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等.
(3)作差法：两式作差，对差式变形化简，差式为零即得证.
【题组训练】
1.(2020·杭州高一检测)若
=4，则tan
α=( )
A.
B.
C.3
D.7
【解析】选D.因为
=4，
所以解得tan
α=7.
2.化简：
【解析】原式=
=1.
3.求证：
【证明】方法一：左边=
=右边，所以原等式成立.
方法二：右边=
=左边，
所以原等式成立.
【补偿训练】求证：
【证明】方法一：(切化弦)
左边=
右边=
因为sin2
α=1-cos2
α=(1+cos
α)(1-cos
α)，
所以
，所以左边=右边.
所以原等式成立.
方法二：(由右至左)
因为右边=
=左边，
所以原等式成立.
同角三角函数
的基本关系
易错提醒
核心素养
基本关系式成立的条件是“同角”，还要注意成立时角的范围
数学运算：通过同角三角函数的基本关系的求值，培养数学运算的核心素养
逻辑推理：通过同角三角函数的基本关系的化简与证明，培养逻辑推理的核心素养
平方关系：
商数关系：
弦切互化求值的三种类型：
（1）形如
的分式，
分子、分母除以cosα；
（2）形如
的分式，分子、分母除以cos2α；
（3）形如
的式子，将分母看为1，变为
，分子、分母除以cos2α；
方法总结
核心知识
课堂检测·素养达标
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是
( )
A.tan
α=
B.cos
α=
C.sin
α=
D.tan
α=
【解析】选B.由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，
cos
α<0，sin
α>0，故B项正确.
2.化简
的结果是
( )
A.cos
B.sin
C.-cos
D.-sin
【解析】选C.
因为
<π，所以cos
<0，
所以
=-cos
，
即
=-cos
.
3.(教材二次开发：练习改编)(2020·桂林高一检测)已知α是第一象限的
角，且tan
α=
，则cos
α=
( )
【解析】选D.根据题意，tan
α=
，则
，
又由sin2α+cos2
α=1，
解得：cos
α=±
，
又α是第一象限的角，则cos
α=
.
4.若tan
α=2，则
的值为
( )
A.0
B.
C.1
D.
【解析】选B.
5.已知α为钝角，且sin
α=
，则tan
α=_______.?
【解题指导】根据同角的三角函数关系以及α的取值范围求出tan
α的值.
【解析】α为钝角，当sin
α=
时，
cos
α=
所以tan
α=
答案：