(共38张PPT)
第1课时 诱导公式(一)
必备知识·自主学习
公式二
公式三
公式四
终边关系
角π+α与角α的终
边关于原点对称.
角-α与角α的终
边关于x轴对称.
角π-α与角α的终
边关于y轴对称.
图形
【诱导公式】
(1)诱导公式
公式二
公式三
公式四
公式
sin(π+α)=________，
cos(π+α)=________，
tan(π+α)=_______.
sin(-α)=________，
cos(-α)=_______，
tan(-α)=________.
sin(π-α)=_______，
cos(π-α)=________，
tan(π-α)=________.
-sin
α
-cos
α
tan
α
-sin
α
cos
α
-tan
α
sin
α
-cos
α
-tan
α
(2)本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的角的三角函数之间的关系.
(3)应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中.
【思考】
从函数名称和符号变化两个方面观察公式一至公式四，你能发现什么规律？
提示：函数的名称都没有变化，符号随角的象限而变化，简记：函数名不变，符号看象限.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)公式一至四对任意角α都成立.
( )
(2)由公式三得cos(α-β)=cos(β-α).
( )
(3)在△ABC中，sin(A+B)=sin
C.
( )
提示：(1)×.关于正切的公式中必须满足α≠kπ+
，k∈Z.
(2)√.cos(α-β)=cos[-(α-β)]=cos(β-α).
(3)√.因为A+B+C=π，所以A+B=π-C，所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin
C.
2.已知cos(π+θ)=
，则cos
θ=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.因为cos(π+θ)=-cos
θ=
，所以cos
θ=-
.
3.(教材二次开发：例题改编)计算
sin
600°=_______；cos
=_______；?tan
=_______.?
【解析】sin
600°=sin(720°-120°)=sin(-120°)=
-sin
120°=-sin(180°-60°)=-sin
60°=-
.
cos
=cos
=cos
=
.
tan
=tan
=tan
=1.
答案：-
1
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·杭州高一检测)sin
的值等于
( )
A.
B.
C.-
D.-
2.cos(-2370°)=
( )
A.
B.-
C.-
D.
关键能力·合作学习
3.sin
·cos
·tan
=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】1.选B.sin
=-sin
π=-sin
=
sin
=
.
2.选C.cos(-2
370°)=cos(6×360°+210°)=cos(180°+30°)
=-cos
30°=-
.
3.选C.原式=sin
·cos
·tan
=sin
·cos
·tan
=sin
·cos
·tan
=
·
·tan
=
×
×1=
.
【解题策略】
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二三四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【补偿训练】
求下列各三角函数值：
(1)sin
1
320°；(2)cos
；(3)tan(-945°).
【解析】(1)方法一：sin
1
320°=sin(3×360°+240°)=sin
240°
=sin(180°+60°)=-sin
60°=-
.
方法二：sin
1
320°=sin(4×360°-120°)=
sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin
60°=-
.
(2)方法一：cos
=cos
=cos
=cos
=-cos
=-
.
方法二：cos
=cos
=cos
=-cos
=-
.
(3)tan(-945°)=-tan
945°=-tan(225°+2×360°)=-tan
225°=
-tan(180°+45°)=-tan
45°=-1.
类型二 给值(式)求值问题(数学运算)
【典例】1.(2020·广州高一检测)已知sin(π+α)=-
则tan(α-7π)的值为
( )
A.
B.-
C.1
D.
2.已知cos(α-75°)=-
，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值.
【思路导引】1.先利用诱导公式化简已知、未知的三角函数，再用同角三角函数关系求值.
2.先分析所求的角与已知角的关系，再用诱导公式转化求值.
【解析】1.选B.由sin(π+α)=-
，得：sin
α=
，
又
<α<π，则cos
α=-
，
可得：tan(α-7π)=tan
α=-
.
2.因为cos(α-75°)=-
<0，且α为第四象限角，
所以sin(α-75°)=
=
=-
，
所以sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=
.
【解题策略】
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角的关系，再选取恰当的诱导公式进行转化.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
【跟踪训练】
1.若sin(π+α)=
，α∈
，则tan(π-α)=
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选D.因为sin(π+α)=-sin
α，根据条件得sin
α=-
，又
α∈
，所以cos
α=
=
.
所以tan
α=
=
=-
.
所以tan(π-α)=-tan
α=
.
2.已知cos
=
，求cos
-sin2
的值.
【解析】因为cos
=cos
=-cos
=-
，sin2
=sin
2
=1-cos
2
=1-
=
，
所以cos
-sin
2
=-
-
=
.
类型三 化简求值问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 非特殊角的化简问题?
【典例】计算：cos
+cos
+cos
+cos
.
【思路导引】观察
与
，
与
的关系，分别用诱导公式化简.
【解析】原式=
【变式探究】
若将典例中代数式改为：tan
+tan
+tan
+tan
+tan
+
tan
，怎么化简？
【解析】原式=tan
+tan
+tan
+tan
+tan
+
tan
=tan
+tan
+tan
-tan
-tan
-tan
=0.
角度2 复杂三角函数式的化简?
【典例】(2020·长春高一检测)已知sin
α=-
，且π<α<
，求下列
各式的值：
(1)tan
α；
(2)(sin
α+cos
α)2+
.
【思路导引】(1)利用同角三角函数的基本关系，求得tan
α的值.
(2)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值.
【解析】(1)已知sin
α=-
，且π<α<
，
所以cos
α=-
=-
，
所以tan
α=
=3.
(2)(sin
α+cos
α)2+
【解题策略】
复杂三角函数化简的方法
(1)先化简再求值：先化简要求的式子，明确求值方向，化简时特别注意函数符号的变化.
(2)三角知识的综合：解题时往往还会涉及三角函数的定义，符号，同角三角函数的基本关系等知识点，要整合这些知识解题.
【题组训练】
1.角α的终边在直线y=2x上，则
=
( )
A.
B.1
C.3
D.-1
2.tan
10°+tan
170°+sin
1
866°-sin(-606°)=_______.?
3.设k为整数，化简：
【解析】1.选C.因为角α的终边在直线y=2x上，
所以tan
α=2.
所以
2.原式=tan
10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin[(-2)×360°
+114°]
=tan
10°-tan
10°+sin
66°-sin(180°-66°)
=sin
66°-sin
66°=0.
答案：0
3.方法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，则原式=
=
=
=-1；
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，同理可得原式=-1.
方法二：(配角法)由于kπ-α+kπ+α=2kπ，(k+1)π+α+(k-1)π-α=
2kπ，故cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α)，
sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α)，sin(kπ-α)=-sin(kπ+α).
所以原式=
=-1.
【补偿训练】
求
(n∈Z)的值.
【解析】①当n为奇数时，原式=
=
；
②当n为偶数时，原式=sin
π·cos
π
课堂检测·素养达标
1.已知sin(θ+π)<0，cos(θ-π)>0，则角θ的终边落在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三角限
D.第四象限
【解析】选B.由sin(θ+π)=-sin
θ<0?sin
θ>0，cos(θ-π)=-cos
θ>0
?cos
θ<0，由
可知θ是第二象限角.
2.cos
4
260°=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选A.cos
4
260°=cos(360°×11+300°)=cos
300°=cos(360°-
60°)=cos(-60°)=cos
60°=
.
3.(教材二次开发：练习改编)tan
300°+sin
450°的值是
( )
A.-1+
B.1+
C.-1-
D.1-
【解析】选D.原式=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)
=tan(-60°)+sin
90°=-tan
60°+1
=-
+1.
4.已知sin(π+α)=
，且α是第四象限角，那么cos(α-π)的值是
( )
A.
B.-
C.±
D.
【解析】选B.因为sin(π+α)=-sin
α=
，
所以sin
α=-
.又α是第四象限角，所以cos
α=
，
所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos
α=-
.
5.
=_______.?
【解析】
=-cos
α.
答案：-cos
α(共35张PPT)
第2课时 诱导公式(二)
必备知识·自主学习
诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六
(2)本质：单位圆中，终边关于y=x对称，互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(3)应用：与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
【思考】
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六，有什么变化规律？
提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即：函数名改变，符号看象限.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.
( )
(2)在△ABC中，
.
( )
(3)
.
( )
提示：(1)×.诱导公式五、六中的角α是任意角.
(2)√.因为
，由公式五可知
(3)×.当k=2时，sin
=sin(π-α)=sin
α.
2.下列与sin
θ的值相等的是
( )
A.sin(π+θ)
B.sin
C.cos
D.cos
【解析】选C.sin(π+θ)=-sin
θ，sin
=cos
θ；
cos
=sin
θ，cos
=-sin
θ.
3.(教材二次开发：例题改编)已知sin(π+A)=-
，则cos
的值是
_______.?
【解析】sin(π+A)=-sin
A=-
，cos
=
答案：-
关键能力·合作学习
类型一 利用诱导公式求值(数学运算)
【题组训练】
1.已知sin
θ=
，则cos(450°+θ)的值是
( )
A.
B.-
C.-
D.
2.(2020·扬州高一检测)若sin
=-
，则cos
=
( )
A.-
B.-
C.
D.
3.若α∈
，sin
=
，则cos
=
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】1.选B.cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin
θ=-
.
2.选B.因为sin
=-
，所以cos
=
3.选D.因为sin
=cos
α=
，α∈
，所以sin
α=
，
所以cos
=sin
α=
.
【解题策略】
解决化简求值问题的策略
(1)能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值.
(2)不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系，观察时要将角看成整体，观察它们的和、差关系，是否具有互补、互余等特殊关系，再利用诱导公式转化求值.
【补偿训练】
已知cos
31°=m，则sin
239°tan
149°的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选B.sin
239°tan
149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)
=-cos
31°·(-tan
31°)=sin
31°
=
类型二 利用诱导公式证明恒等式(逻辑推理)
【典例】求证：
【思路导引】等式右边比较复杂，含有k·
±α，k∈Z的形式的角，可以
利用诱导公式直接对等式右边进行化简，从而推得等式左边.
【证明】右边=
左边，所以原等式成立.
【解题策略】
三角恒等式的证明的策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.
【跟踪训练】
求证：
=-tan
θ.
【证明】左边=
=右边，所以原等式成立.
类型三 诱导公式的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 诱导公式在三角形中的应用?
【典例】在△ABC中，sin
=sin
，试判断△ABC的形状.
【思路导引】根据三角形的内角和A+B+C=π，利用诱导公式，推导△ABC的角
的关系，进而判断出三角形的形状.
【解析】因为A+B+C=π，
所以A+B-C=π-2C，A-B+C=π-2B.
又因为sin
=sin
，
所以sin
=sin
，
所以sin
=sin
，所以cos
C=cos
B.
又B，C为△ABC的内角，所以C=B，
所以△ABC为等腰三角形.
【变式探究】
在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形的内角和A+B+C=π以及题目的
具体条件进行适当变形，再化简求解.典例中题目改为：在△ABC中，下列各
表达式为常数的是
( )
A.sin(A+B)+sin
C
B.cos(B+C)-cos
A
C.sin2
+sin2
D.sin
sin
【解析】选C.A.sin(A+B)+sin
C=sin(π-C)+sin
C=2sin
C不是常数.
B.cos(B+C)-cos
A=cos(π-A)-cos
A=-2cos
A不是常数.
C.sin2
+sin2
=sin2
+sin2
=cos2
+sin2
=1是常数.
D.sin
sin
=sin
sin
=sin
cos
不是常数.
角度2 利用诱导公式化简、求值?
【典例】(2020·靖远高一检测)已知f(θ)=
(1)化简f(θ)；
(2)若sin
θ=
，且θ∈
，求f(θ)的值.
【思路导引】(1)利用三角函数的诱导公式化简即可；
(2)由已知条件可求出cos
θ，则f(θ)的值可求.
【解析】(1)f(θ)=
(2)由sin
θ=
，且θ∈
，
得cos
θ=
，所以f(θ)=-cos
θ=
.
【解题策略】
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
1.计算：sin211°+sin279°=_______.?
2.若f(cos
x)=cos
2x，则f(sin
15°)的值为_______.?
3.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-1，
2)，则
A.
B.1
C.
D.-
【题组训练】
【解析】1.因为11°+79°=90°，
所以sin
79°=cos
11°，
所以原式=sin211°+cos211°=1.
答案：1
2.因为sin
15°=cos
75°，所以f(sin
15°)=f(cos
75°)=cos
150°=
-
.
答案：-
3.选A.因为角α的终边经过点P(-1，2)，
所以r=|OP|=
=
，
所以sin
α=
，cos
α=-
，
原式=
【补偿训练】
已知
=2，则tan
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-5
【解析】选D.由
=2，
得
解得：tan
α=-5.
课堂检测·素养达标
1.下列与sin
的值相等的式子为
( )
A.sin
B.cos
C.cos
D.sin
【解析】选D.因为sin
=-sin
=-cos
θ，
对于A，sin
=cos
θ；
对于B，cos
=-sin
θ；
对于C，cos
=cos
=-cos
=-sin
θ；
对于D，sin
=sin
=-sin
=-cos
θ.
2.已知sin
40°=a，则cos
130°=
( )
A.a
B.-a
C.
D.-
【解析】选B.cos
130°=cos(90°+40°)=-sin
40°=-a.
3.若sin
<0，且cos
>0，则θ是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三角限角
D.第四象限角
【解析】选B.由于sin
=cos
θ<0，
cos
=sin
θ>0，所以角θ的终边落在第二象限.
4.(教材二次开发：练习改编)已知tan
θ=2，则
=( )
A.2
B.0
C.-2
D.
【解析】选C.
5.化简
A.-sin
θ
B.sin
θ
C.cos
θ
D.-cos
θ
【解析】选A.原式=
=
=-sin
θ.
诱导公式（二）
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求值
化简
证明
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
化简原则：负化正，大化小，异角化同角，异名化同名，切化弦
诱导公式应用时特别要注意符号和函数名的改变
数学运算：通过诱导公式的求值，培养数学运算的核心素养
逻辑推理：通过诱导公式的化简与证明，培养逻辑推理的核心素养
