(共44张PPT)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
必备知识·自主学习
1.正弦曲线
(1)正弦曲线
正弦函数y=sin
x，x∈R的图象叫正弦曲线.
(2)正弦函数图象的画法
①几何法：
(ⅰ)利用正弦线画出y=sin
x，x∈[0，2π]的图象；
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②“五点法”：
(ⅰ)画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，______，
(π，0)，_______，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
(3)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函数的一种直观表示.
(4)应用：根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正弦函数，进而根据正弦
曲线，推导正弦函数的一些常用性质.
【思考】
在作y=2+sin
x的图象时，应抓住哪些关键点？
提示：作正弦函数y=2+sin
x，x∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以
下五个：(0，2)，
，(π，2)，
，(2π，2).
2.余弦曲线
(1)余弦曲线
余弦函数y=cos
x，x∈R的图象叫余弦曲线.
(2)余弦函数图象的画法
①要得到y=cos
x的图象，只需把y=sin
x的图象向___平移
个单位长度即
可.
②用“五点法”画余弦曲线y=cos
x在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键
点分别为(0，1)，
，_________，
，_________，再用光滑的曲线
连接.
左
(π，-1)
(2π，1)
【思考】
y=cos
x(x∈R)的图象可由y=sin
x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
提示：因为cos
x=sin
，所以y=sin
x(x∈R)的图象向左平移
个单位
长度可得y=cos
x(x∈R)的图象.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五
点.( )
(2)余弦函数y=cos
x的图象与y=sin
x的图象形状和位置都不一样.( )
(3)函数y=sin
x与y=sin(-x)的图象完全相同.
( )
提示：(1)×.取的五个点的横坐标分别为0，
，π，
π，2π.
(2)×.函数y=cos
x的图象与y=sin
x的图象形状一样，只是位置不同.
(3)×.二者图象不同，关于x轴对称.
2.以下对正弦函数y=sin
x的图象描述不正确的是
( )
A.在x∈[2kπ，2(k+1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
【解析】选C.画出y=sin
x的图象(图略)，根据图象可知A，B，D三项都正确.
3.(教材二次开发：例题改编)函数y=-xcos
x的部分图象是
( )
【解析】选D.因为y=-xcos
x是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A，
C项；当x∈
时，y=-xcos
x<0，所以排除B项.
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数、余弦函数图象的初步认识(数学抽象)
【题组训练】
1.用“五点法”作y=sin
2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
( )
A.0，
，π，
，2π
B.0，
，
，
，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，
，
，
，
2.下列图象中，是y=-sin
x在[0，2π]上的图象的是
( )
3.下列函数图象相同的是
( )
A.f(x)=sin
x与g(x)=sin(π+x)
B.f(x)=sin
与g(x)=sin
C.f(x)=sin
x与g(x)=sin(-x)
D.f(x)=sin(2π+x)与g(x)=sin
x
【解析】1.选B.分别令2x=0，
，π，
，2π，可x=0，
，
，
，π.
2.选D.函数y=-sin
x的图象与函数y=sin
x的图象关于x轴对称.
3.选D.A中g(x)=-sin
x；B中f(x)=-cos
x，g(x)=cos
x；C中g(x)=-sin
x；
D中f(x)=sin
x.
【解题策略】
利用正弦、余弦函数图象解题
(1)熟练掌握正余弦函数的图象，必要时用“五点法”作出图象观察.
(2)熟练应用诱导公式变形，通过函数解析式的关系确定图象关系.
(3)掌握常见的图象变换，如-f(x)，f(-x)，f(|x|)等.
【补偿训练】
函数y=sin
|x|的图象是
( )
【解析】选B.y=sin
|x|=
故选B.
类型二 用“五点法”作三角函数的图象(直观想象)
【典例】用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=1-sin
x(0≤x≤2π)；
(2)y=2+cos
x，x∈[0，2π].
【思路导引】求作三角函数的图象，需要先列表，再描点，最后用平滑曲线连线.
【解析】(1)①列表：
②描点连线，如图所示.
(2)①列表：
②描点连线，如图所示.
【解题策略】
“五点法”画函数y=Asin
x+b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤
(1)列表
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，
，
(π，y3)，
，(2π，y5).
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
【跟踪训练】
请补充完整下面用“五点法”作出y=-sin
x(0≤x≤2π)图象的列表.
①_______；②_______；③_______.?
【解析】用“五点法”作y=-sin
x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0，
0)，
，(π，0)，
，(2π，0)，故①为π，②为0，③为1.
答案：①π ②0 ③1
类型三 正弦、余弦函数图象的应用(逻辑推理)
角度1 零点个数问题?
【典例】在同一坐标系中，作函数y=sin
x和y=lg
x的图象，根据图象判断出方程sin
x=lg
x的解的个数.
【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y=sin
x，x∈R的图
象.
描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y=lg
x的图象，如图所示.
由图象可知方程sin
x=lg
x的解有3个.
【变式探究】
根据函数图象求方程根的个数问题，是常见的考查模式；将典例中问题改
为：方程sin
x=
的根的个数是
( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选A.在同一坐标系内画出y=
和y=sin
x的图象如图所示.
根据图象可知方程有7个根.
角度2 利用正、余弦函数的图象解不等式?
【典例】在[0，2π]内，不等式2sin
x-1≥0的解集为
( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】在[0，2π]上，作出y=sin
x的图象，再在这个平面直角坐标系
中作出直线y=
，观察图象，找到满足sin
x≥
的x的取值范围.
【解析】选D.因为2sin
x-1≥0，所以sin
x≥
.
在同一坐标系下，作函数y=sin
x，x∈[0，2π]的图象以及直线y=
.
由函数的图象知，sin
=sin
π=
.
所以根据图象可知，sin
x≥
的解集为
【解题策略】
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出正弦函数在[0，2π]或
的图象，余弦函数在[0，2π]或
[-π，π]上的图象.
(2)写出适合不等式在给定区间上的解集.
【题组训练】
1.方程x2-cos
x=0的实数解的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.使不等式
-2sin
x≥0在[-π，π]上成立的x的取值范围是
( )
A.
B.
C.
∪
D.
3.在(0，2π)内，使sin
x>cos
x成立的x的取值范围是_______.?
【解析】1.选B.作函数y=cos
x与y=x2的图象，如图所示，
由图象可知，原方程有两个实数解.
2.选C.不等式可化为sin
x≤
.
作图，正弦曲线及直线y=
如图所示.
又x∈[-π，π]，结合图象可知x的解集为
3.在同一坐标系中画出y=sin
x，x∈(0，2π)与y=cos
x，x∈(0，2π)的图
象如图所示，
由图象可观察出当x∈
时，sin
x>cos
x.
答案：
【补偿训练】
y=1+sin
x，x∈[0，2π]的图象与直线y=
交点的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.用“五点法”作出函数y=1+sin
x，x∈[0，2π]的图象，作出
直线y=
的图象如图所示，
由图可知，这两个函数的图象有2个交点.
1.用“五点法”画函数y=2-3sin
x的图象时，首先应描出五点的横坐标是
( )
A.0，
，
，
，π
B.0，
，π，
，2π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，
，
，
，
【解析】选B.所描出的五点的横坐标与函数y=sin
x的五点的横坐标相同，即
0，
，π，
，2π，故选B.
课堂检测·素养达标
2.函数y=cos
x与函数y=-cos
x的图象
( )
A.关于直线x=1对称
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】选C.由解析式可知y=cos
x的图象过点(a，b)，则y=-cos
x的图象必过点(a，-b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称.
3.(教材二次开发：练习改编)在同一平面直角坐标系内，函数y=sin
x，x∈[0，2π]与y=sin
x，x∈[2π，4π]的图象
( )
A.重合
B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称
D.形状不同，位置不同
【解析】选B.根据正弦曲线的作法可知函数y=sin
x，x∈[0，2π]与y=
sin
x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.
4.如图是下列哪个函数的图象
( )
A.y=1+sin
x，x∈[0，2π]
B.y=1+2sin
x，x∈[0，2π]
C.y=1-sin
x，x∈[0，2π]
D.y=1-2sin
x，x∈[0，2π]
【解析】选C.把
这一点代入选项检验，即可排除A、B、D.
5.在[0，2π]内，不等式sin
x<-
的解集是
( )
A.(0，π)
B.
C.
D.
【解析】选C.画出y=sin
x，x∈[0，2π]的图象如图：
因为sin
=
，所以sin
=-
，
sin
=-
.
即在[0，2π]内，满足sin
x=-
的是x=
或x=
.
可知不等式sin
x<-
的解集是
.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
正弦函数的图象
几何法
五点法
余弦函数的图象
平移法
五点法
利用五点法作图：（1）列表；（2）描点；（3）画图
正、余弦曲线形状相同，位置不同
直观想象：通过正、余弦函数图象的运用，培养直观想象的核心素养
正弦函数、余
弦函数的图象(共40张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
必备知识·自主学习
正弦函数、余弦函数的性质
(1)图象与性质
(2)本质：函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.
(3)应用：求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.
【思考】
从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y=sin
x在(0，π)上单调递增.
( )
(2)存在x∈R满足sin
x=
.
( )
(3)在区间[0，2π]上，函数y=cos
x仅当x=0时取得最大值1.
( )
提示：(1)×.y=sin
x在
上单调递增，在
上单调递减.
(2)×.正弦函数y=sin
x的值域为[-1，1]，所以sin
x=
无解.
(3)×.当x=2π时，cos
x=1也成立.
2.(教材二次开发：例题改编)函数y=2-sin
x取得最大值时，x的取值集合为
_______.?
【解析】当sin
x=-1时，ymax=2-(-1)=3，
此时x=2kπ-
，k∈Z.
答案：
3.若cos
x=m-1有意义，则m的取值范围是_______.?
【解析】因为-1≤cos
x≤1，要使cos
x=m-1有意义，
则-1≤m-1≤1，所以0≤m≤2.
答案：[0，2]
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数、余弦函数的单调区间(数学运算)
【题组训练】
1.下列函数，在
上单调递增的是
( )
A.y=sin
x
B.y=cos
x
C.y=sin
2x
D.y=cos
2x
2.函数y=sin
，x∈
的单调递减区间为_______.?
3.求函数y=1+sin
，x∈[-4π，4π]的单调递减区间.
【解析】1.选D.对于A，B，C，在
上显然都不是单调递增的，对于函
数y=cos
2x，令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ(k∈Z)，即
+kπ≤x≤π+kπ(k∈
Z)，故y=cos
2x的单调递增区间是
(k∈Z)，则当k=0时，单调
递增区间为
2.由
+2kπ≤3x+
≤
+2kπ(k∈Z)，
得
又x∈
所以函数y=sin
，x∈
的单调递减区间为
.
答案：
3.y=1+sin
=-sin
+1.
由2kπ-
≤
x-
≤2kπ+
(k∈Z).
解得4kπ-
≤x≤4kπ+
π(k∈Z).
又因为x∈[-4π，4π]，
所以函数y=1+sin
的单调递减区间为
【解题策略】
单调区间的求法
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A>0时，把ωx+φ整体代入y=sin
x或y=cos
x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间.
(2)当A<0时，把ωx+φ整体代入y=sin
x或y=cos
x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y=sin
x或y=cos
x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间.
提醒：求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时，把ωx+φ看作一个整体，借助y=sin
x的单调区间来解决.当A<0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y=
sin
x的单调性的关系.
【补偿训练】
1.函数y=cos
x在区间[-π，a]上单调递增，则a的取值范围是_______.?
2.已知函数y=cos
，则它的单调递减区间为_______.?
【解析】1.因为y=cos
x在[-π，0]上是单调递增的，在[0，π]上单调递
减，所以只有-π
答案：(-π，0]
2.y=cos
=cos
，
由2kπ≤2x-
≤2kπ+π，k∈Z，
得kπ+
≤x≤kπ+
k∈Z，所以单调递减区间是
答案：
(k∈Z)
类型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(直观想象)
【典例】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
1.cos
，cos
2.cos
1，sin
1.
3.sin
164°与cos
110°.
【思路导引】先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函
数的单调性比较.
【解析】1.cos
=cos
，cos
=cos
，
因为0<
<
<π，而y=cos
x在[0，π]上单调递减，所以cos
>cos
，
即cos
>cos
.
2.因为cos
1=sin
，而0<
<1<
且y=sin
x在
上单调递增，
所以sin
1，即cos
11.
3.sin
164°=sin(180°-16°)=sin
16°，
cos
110°=cos(90°+20°)=-sin
20°.
因为正弦函数在
上单调递增，
所以-sin
20°16°，即cos
110°164°.
【解题策略】
三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到
或
内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[-π，0]或[0，π]内.
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函
数的单调性来比较大小.
【跟踪训练】
1.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是
( )
A.sin
αβ
B.cos
αβ
C.cos
αβ
D.cos
α>cos
β
【解析】选B.α，β为锐角三角形的两个内角，α+β>
，α>
-β，
α∈
，
-β∈
，
所以cos
α=sin
β.
2.将cos
150°，sin
470°，cos
760°按从小到大排列为_______.?
【解析】cos
150°<0，sin
470°=sin
110°=cos
20°>0，cos
760°=
cos
40°>0且cos
20°>cos
40°，所以cos
150°760°470°.
答案：cos
150°760°470°
类型三 正弦函数、余弦函数的值域、最值问题
角度1 正弦函数、余弦函数的值域问题?
【典例】函数y=cos2x+2sin
x-2，x∈R的值域为_______.?
【思路导引】先用平方关系转化，即cos2x=1-sin2x，再将sin
x看作整体，转化为二次函数的值域问题.
【解析】y=cos2x+2sin
x-2
=-sin2x+2sin
x-1=-(sin
x-1)2.
因为-1≤sin
x≤1，所以-4≤y≤0，
所以函数y=cos2x+2sin
x-2，x∈R的值域为[-4，0].
答案：[-4，0]
【变式探究】
将典例中题目改为：求函数f(x)=sin2x+
cos
x-
的最大值.
【解析】因为f(x)=sin2x+
cos
x-
f(x)=1-cos2x+
cos
x-
，
令cos
x=t且t∈[0，1]，
则y=-t2+
t+
=-
+1，
则当t=
时，f(x)取最大值1.
角度2 正弦函数、余弦函数在固定区间上求值域问题?
【典例】已知函数f(x)=asin
+b(a>0).当x∈
时，f(x)的最大
值为
，最小值是-2，求a和b的值.
【思路导引】先由x∈
，求2x-
的取值范围，再求sin
的取值
范围，最后表示出f(x)min，f(x)max，列方程组求解.
【解析】因为
因为a>0，所以f(x)max=a+b=
，
f(x)min=-
a+b=-2.
【解题策略】
求y=sin(ωx+φ)型三角函数的值域的方法
令t=ωx+φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin
t的最值(值域).
1.函数f(x)=-2sin
x+1，x∈
的值域是
( )
A.[1，3]
B.[-1，3]
C.[-3，1]
D.[-1，1]
【解析】选B.因为x∈
，所以sin
x∈[-1，1]，所以-2sin
x+1∈
[-1，3].
2.函数y=3-4sin
x
-4cos2x的值域为
_______.?
【解析】y=3-4sin
x-4cos2x
=3-4sin
x-4(1-sin2x)
=4sin2x-4sin
x-1，
令t=sin
x，则-1≤t≤1.
所以y=4t2-4t-1=4
-2(-1≤t≤1).
所以当t=
时，ymin=-2，
当t=-1时，ymax=7.
即函数y=3-4sin
x-4cos2x的值域为[-2，7].
答案：[-2，7]
3.若函数y=a-bcos
x(b>0)的最大值为
，最小值为-
，则函数的解析式
为y=_______.?
【解析】因为y=a-bcos
x(b>0)，所以ymax=a+b=
，ymin=a-b=-
.
所以y=
-cos
x.
答案：
-cos
x
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发：练习改编)函数y=sin
2x的单调递减区间是
( )
A.
(k∈Z)
B.
(k∈Z)
C.[π+2kπ，3π+2kπ](k∈Z)
D.
(k∈Z)
【解析】选B.令
+2kπ≤2x≤
+2kπ，k∈Z，
得
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z，则y=sin
2x的单调递减区间是
2.y=2sin
的值域是
( )
A.[-2，2]
B.[0，2]
C.[-2，0]
D.[-1，1]
【解析】选A.因为sin
∈[-1，1]，
所以y∈[-2，2].
3.下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是
( )
A.y=|cos
x|
B.y=cos|-x|
C.y=sin
D.y=-sin
【解析】选C.y=|cos
x|在
上单调递减，排除A；
y=cos
|-x|=cos
|x|在(0，π)上单调递减.排除B；y=sin
=-sin
=-cos
x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y=-sin
在(0，π)
上是单调递减的，排除D.
4.若y=asin
x+b的最大值为3，最小值为1，则ab=_______.?
【解析】当a>0时，
当a<0时，
所以ab=±2.
答案：±2
5.sin
1，sin
2，sin
3按从小到大排列的顺序为_______.?
【解析】因为1<
<2<3<π，
sin(π-2)=sin
2，sin(π-3)=sin
3.
y=sin
x在
上单调递增，且0<π-3<1<π-2<
，所以sin(π-3)1
即sin
312.
答案：sin
312
正弦函数、余弦函数的性质（二）
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求函数的单调区间时，注意x的系数的正负
逻辑推理：通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
整体思想：利用正、余弦函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用
周期性
奇偶性
单调性
最值(共37张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
必备知识·自主学习
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，
使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函
数，非零常数T叫做这个函数的周期
.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_____，
那么这个最小_____就叫做f(x)的最小正周期.
(3)本质：随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.
(4)应用：函数的周期性是函数重要性质，是高考的常见考查知识点，在生
活中也有很多的应用.
正数
正数
【思考】
周期函数都有最小正周期吗？
提示：周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x)=c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y=sin
x
y=cos
x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
____
____
奇偶性
___函数
___函数
2π
2π
奇
偶
【思考】
正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？
提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若
，则
是函数y=sin
x的一个周期.
( )
(2)若存在正数T，使f(x+T)=-f(x)，则函数f(x)的周期为2T.
( )
(3)函数y=
是奇函数.
( )
提示：(1)×.因为对任意x，sin
与sin
x并不一定相等.
(2)√.f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x)，所以f(x)的周期为2T.
(3)×.函数y=
的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z}，不关于原点
对称，故非奇非偶.
2.函数f(x)=
sin
2x为
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
【解析】选A.f(x)=
sin
2x的定义域为R，f(-x)=
sin
2(-x)=
-
sin
2x=-f(x)，所以f(x)是奇函数.
3.(教材二次开发：例题改编)函数f(x)=cos
的最小正周期是_____.?
【解析】令u=
，则cos
=cos
u是周期函数，且最小正周期为
2π.
所以cos(u+2π)=cos
u，
所以f(x)=
的最小正周期为4π.
答案：4π
关键能力·合作学习
类型一 求函数的周期(数学运算)
【题组训练】
1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=-1，则f(x)的周期为
( )
A.2
B.4
C.6
D.1
2.函数f(x)=sin
的周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
3.函数f(x)=|cos
x|的周期为_______.?
【解析】1.选B.因为f(x+2)f(x)=-1，
所以函数f(x)是周期函数，4是一个周期.
2.选C.因为
所以周期为π.
3.y=|cos
x|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y=|cos
x|的周期为π.
答案：π
【解题策略】
求三角函数周期方法
(1)定义法：找一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都有f(x+T)=
f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)公式法：将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式，再利
用T=
求得；
(3)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.
【补偿训练】
下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是
( )
【解析】选D.对于D，x∈(-1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函
数.
类型二 三角函数奇偶性的判断(逻辑推理)
【典例】1.函数y=sin
的图象
( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线
对称
2.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=lg(1-sin
x)-lg(1+sin
x)；
(2)f(x)=
【思路导引】1.依据f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)推导函数的奇偶性，再根据奇偶函数的性质判断即可.
2.先求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则用定义判断函数的奇偶性.
【解析】1.选B.因为y=sin
=cos
x，
又因为cos(-x)=cos
x，为偶函数，
所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称.
2.(1)由
得-1x<1，解得定义域为
所以f(x)的定义域关于原点对称.
又因为f(x)=lg(1-sin
x)-lg(1+sin
x)，
所以f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]
=lg(1+sin
x)-lg(1-sin
x)=-f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(2)因为1+sin
x≠0，所以sin
x≠-1，
所以x∈R且x≠2kπ-
，k∈Z.
因为定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数.
【解题策略】
函数奇偶性的判断方法
(1)判断函数奇偶性应把握两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(-x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
【跟踪训练】
1.函数f(x)=cos
是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
【解析】选A.因为f(x)=cos
=cos
=sin
，
所以f(-x)=sin
=-sin
=-f(x).
所以f(x)是奇函数.
2.若函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于
( )
A.0
B.
C.
D.π
【解析】选C.因为f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，所以φ=
+kπ，k∈Z.
又因为0≤φ≤π，所以φ=
.
类型三 三角函数周期性、奇偶性的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 三角函数周期性、奇偶性的判断?
【典例】下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
( )
A.y=cos
|2x|
B.y=|sin
2x|
C.y=sin
D.y=cos
【思路导引】根据函数的图象判断选项A，B中函数的奇偶性，化简选项C，D
中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性.
【解析】选D.y=cos
|2x|是偶函数，y=|sin
2x|是偶函数，y=sin
=cos
2x是偶函数，
y=cos
=-sin
2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T=π.
【变式探究】
设函数f(x)=sin
，x∈R，则f(x)是
( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为
的奇函数
D.最小正周期为
的偶函数
【解析】选B.因为sin
=-sin
=-cos
2x，所以f(x)=-cos
2x.
又f(-x)=-cos(-2x)=-cos
2x=f(x)，
所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.
角度2 三角函数周期性、奇偶性的应用?
【典例】定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，若f(x)的最小正
周期为π，且当x∈
时，f(x)=sin
x，则f
=
( )
A.-
B.
C.-
D.
【思路导引】先依据函数的周期为π化简f
；再依据f(x)是奇函数及当
x∈
时f(x)=sin
x求值.
【解析】选C.因为f(x)的最小正周期为π，
所以f
=f
=f
=f
=f
，
因为f(x)为奇函数，
所以f
=-f
，
又因为当x∈
时，f(x)=sin
x，
所以f
=-f
=-sin
=-
.
【解题策略】
利用周期性、奇偶性求函数值
利用周期函数的性质求函数值时，先把函数加减正数个周期，把函数化简，再结合函数的奇偶性求解.
【题组训练】
1.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)=3，则f(5)=
_______.?
2.若函数f(x)是以
为周期的偶函数，且f
=1，则f
=
_______.?
【解析】1.由已知得f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x)，
所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.
答案：-3
2.f
=
答案：1
【补偿训练】
定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f
=1，则f
的值为
( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
【解析】选B.f
=f
=f
=-f
=-1.
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=
sin
，x∈R的最小正周期为
( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】选D.T=
=4π.
2.(教材二次开发：练习改编)函数y=cos
(x∈R)是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.无法确定
【解析】选A.y=cos
=-sin
x，所以此函数为奇函数.
3.函数y=4sin(2x+π)的图象关于
( )
A.x轴对称
B.原点对称
C.y轴对称
D.直线x=
对称
【解析】选B.y=4sin(2x+π)=-4sin
2x，所以原函数为奇函数，所以原函数
图象关于原点对称.
4.函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=3，则f(8)=_______.?
【解析】因为f(x)的周期为2，
所以f(x+2)=f(x)，
所以f(8)=f(2+3×2)=f(2)=3.
答案：3
5.若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=sin
x，则f(x)的解析式为
_______.?
【解析】当x<0时，-x>0，所以f(-x)=sin(-x)=-sin
x，
又f(-x)=f(x)，所以f(x)=-sin
x，
即f(x)=
答案：f(x)=(共46张PPT)
5.4.3 正切函数的性质与图象
必备知识·自主学习
正切函数的图象与性质
(1)图象与性质
(2)本质：根据正切函数的解析式、图象，总结正切函数的性质.
(3)应用：画正切函数的图象，解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
【思考】
正切函数在整个定义域上都是增函数吗？
提示：不是.正切函数在每一个区间
(k∈Z)上是单调递增的.
但在整个定义域上不是增函数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.
( )
(2)正切函数是中心对称图形，对称中心是原点.
( )
(3)存在某个区间，使正切函数在该区间上是单调递减的.
( )
提示：(1)×.正切函数的值域为R，而定义域是
(2)×.正切函数的对称中心是
(k∈Z).
(3)×.正切函数在每一个区间
(k∈Z)上都是单调递增的.
2.函数y=tan
3x的最小正周期是_______.?
【解析】函数y=tan
3x的最小正周期是
.
答案：
3.(教材二次开发：例题改编)函数y=tan
的定义域为_______.?
【解析】因为2x-
≠kπ+
，k∈Z，所以x≠
k∈Z，所以函数
y=tan
的定义域为
答案：
关键能力·合作学习
类型一 正切函数的定义域、周期性、奇偶性(数学抽象)
【题组训练】
1.已知函数f(x)=tan
，则函数f(x)的最小正周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
2.函数f(x)=cos
+tan
x为
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
3.函数y=
的定义域为_______.?
【解析】1.选B.方法一：由诱导公式可得tan
所以周期为T=
.
方法二：函数y=tan(ωx+φ)的周期T=
2.选A.f(x)=cos
+tan
x=sin
x+tan
x，
定义域为
关于原点对称，
因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin
x-tan
x=-f(x)，所以它是奇函数.
3.根据题意，得
所以函数的定义域为
答案：
【解题策略】
1.判断函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还
要保证正切函数y=tan
x有意义即x≠
+kπ，k∈Z.
2.怎样求正切类函数的奇偶性
判断正切类函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若
不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.
【补偿训练】
1.函数y=tan
的最小正周期是
( )
A.4
B.4π
C.2π
D.2
2.求函数y=
+lg(1-tan
x)的定义域.
【解析】1.选D.T=
=π·
=2.
2.由题意得
即-1≤tan
x<1.
在
内，满足上述不等式的x的取值范围是
又y=tan
x的周期
为π，
所以函数的定义域是
(k∈Z).
类型二 正切函数的单调性及应用(数学运算)
角度1 正切函数的单调区间?
【典例】函数f(x)=tan
的单调区间为_______.?
【思路导引】把
看作一个整体，根据正切函数的单调性求出f(x)的单
调区间.
【解析】由题意知，
k∈Z，即
k∈Z，
所以
故单调递增区间为
(k∈Z).
答案：
(k∈Z)
【变式探究】
如果将本例中函数变为y=tan
，求该函数的单调区间.
【解析】y=
得2kπ-
π，k∈Z，
所以函数y=tan
的单调递减区间是
，k∈Z.
角度2 利用正切函数比较大小?
【典例】1.比较大小：
①tan
32°_______tan
215°；?
②tan
_______tan
?
2.tan
1，tan
2，tan
3，tan
4从小到大的排列顺序为_______.?
【思路导引】运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；再运
用单调性比较大小关系.
【解析】1.①tan
215°=tan(180°+35°)=
tan
35°，
因为y=tan
x在(0°，90°)
上单调递增，32°<35°，
所以tan
32°35°=
tan
215°.
②
因为y=tan
x在
上单调递增，
答案：①< ②<
2.因为y=tan
x在区间
上单调递增，且tan
1=tan(π+1)，
又
<2<3<4<π+1<
，
所以tan
2341.
答案：tan
2341
【补偿训练】
下列不等式中，成立的是
( )
【解析】选D.
角度3 求正切函数的值域、最值?
【典例】1.函数y=
的值域是
( )
A.(-1，1)
B.(-∞，-1)∪(1，+∞)
C.(-∞，1)
D.(-1，+∞)
2.函数y=tan2x+4tan
x-1的值域是_______.?
【思路导引】1.根据正切函数的图象与性质，求出y=
的值域即可.
2.换元，把函数变为二次函数，根据二次函数的性质求函数的值域；注意，
换元时一定要求出新元的取值范围.
【解析】1.选B.当-
x<0，所以
<-1；
当0时，0x<1，所以
>1.
即当x∈
时，函数y=
的值域是(-∞，-1)∪(1，+∞).
2.令t=tan
x，则t∈R，故y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5，所求的值域为[-5，+∞).
答案：[-5，+∞)
【解题策略】
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y=tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代
换”的思想，令kπ-
<ωx+φ(k∈Z)，求得x的范围即可.
(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]
=-Atan(-ωx-φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求
得x的范围即可.
2.比较正切值的大小
第一步：运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上；
第二步：运用正切函数的单调性比较大小.
3.求与正切函数相关的值域的方法
(1)对于y=tan
x在不同区间上的值域，可以结合图象，利用单调性求值域.
(2)对于y=A
tan(ωx+φ)的值域，可以把ωx+φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域.
(3)对于与y=tan
x相关的二次函数，可以把tan
x看成整体，利用配方法求值域.
【补偿训练】
已知f(x)=tan2x-2tan
x
求f(x)的值域.
【解析】令u=tan
x，因为|x|≤
，
所以u∈
，所以函数化为y=u2-2u.对称轴为u=1∈
.
所以当u=1时，ymin=12-2×1=-1.
当u=-
时，ymax=3+2
.
所以f(x)的值域为[-1，3+2
].
类型三 正切函数图象、性质的综合应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】设函数f(x)=tan
.
(1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式-1≤f(x)≤
的解集；
(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.
【思路导引】(1)根据正切函数y=tan
x的性质，结合函数图象找出f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心.
(2)根据正切函数的单调性解不等式.
(3)利用三点两线法作出正切型函数的图象.
【解析】(1)由
≠
+kπ(k∈Z)
得x≠
+2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的定义域是
因为ω=
，所以周期T=
=2π.
由-
+kπ<
<
+kπ(k∈Z)，
得-
+2kπ+2kπ(k∈Z).所以函数f(x)的单调递增区间是
由
(k∈Z)得x=kπ+
π，故函数f(x)的对称中心是
(k∈Z).
(2)由-1≤tan
≤
，
得
解得
+2kπ≤x≤
+2kπ(k∈Z).
所以不等式-1≤f(x)≤
的解集是
(3)
所以函数y=tan
的图象与x轴的一个交点坐标是
在这个交点
左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是
从而得函数y=f(x)
在一个周期
内的简图(如图).
【解题策略】
正切函数型综合题解题方法
对于形如y=tan(ωx+φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解.如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.
【补偿训练】
画出函数y=|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
【解析】由y=|tan
x|，得y=
其图象如图所示.
由图象可知，函数y=|tan
x|是偶函数，单调递增区间为
单调递减区间为
(k∈Z)，周期为π.
课堂检测·素养达标
1.与函数y=tan
的图象不相交的一条直线是
( )
【解析】选D.当x=
的正切值不存在，所以直线x=
-
与函数的图象不相交.
2.在(0，2π)内，使tan
x>1成立的x的取值范围为
( )
【解析】选D.因为x∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使tan
x>1成立的
x的取值范围为
3.(教材二次开发：练习改编)函数f(x)=|tan
2x|是
( )
A.周期为π的偶函数
B.周期为π的奇函数
C.周期为
的偶函数
D.周期为
的奇函数
【解析】选C.f(-x)=|tan(-2x)|=|tan
2x|=f(x)为偶函数，T=
.
4.比较大小：tan
_______tan
?
【解析】因为tan
=tan
，tan
=tan
，又0<
y=tan
x在
内单调递增，
答案：<
5.函数y=tan
的单调递增区间是_______.?
【解析】令kπ-
<2x+
，k∈Z，
解得
答案：
k∈Z
正切函数的
性质与图象
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求函数的单调区间时，注意x的系数的正负
整体思想：利用正切函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用
正切函数的图象
正切函数的性质
周期性
奇偶性
单调性
定义域、值域、最值
逻辑推理：通过正切函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
直观想象：通过正切函数图象的运用，培养直观想象的核心素养