3.4.4 几何图形问题、分段计费问题与方案选择问题课件（35张PPT）

第三章 一元一次方程
3.4 实际问题与一元一次方程
课时4 几何图形问题、分段计费问题与方案选择问题
2020年秋人教版数学七年级上册精品课件
1.理解几何图形问题、分段计费问题和方案选择问题的原理，分清有关数量关系，能正确找出实际问题中蕴含的等量关系.（难点）
2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.（重点）
学习目标
新课导入
地球上的海洋面积为陆地面积的2.4倍，地球的
表面积为5.1亿平方公里，求地球上的陆地面积.设地
球上陆地面积为x亿平方公里，根据题意，可列方程
得________________.
2.4x+x=5.1
新课讲解
知识点1 几何图形问题
典例分析
例
1. 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形． 使长
方形的宽是长的 ，求这个长方形的长、宽．
(按长、宽的顺序填写)
解：设长方形的长为x厘米，则宽为 厘米．根据
题意，得 ．
解得x=18 ， ．
答：长和宽分别为18厘米，12厘米．
新课讲解
结论
本题中总量是周长，各部分量是长方形的四条边
长；按照“总量＝各部分量的和”的思路列出方程.
新课讲解
练一练
1. 一个长方形苗圃，长比宽多10 m，沿着苗圃走一圈要走
40 m，这个苗圃的占地面积为(　　)
A．400 m2 B．75 m2 C．150 m2 D．200 m2
2. 一个三角形的三条边的长度之比为2∶4∶5，最长的边比
最短的边长6 cm，求该三角形的周长．
B
解：设该三角形的边长分别为2x，4x，5x
5x－2x＝6，即x＝2.
该三角形的周长为2x＋4x＋5x＝22cm.
新课讲解
典例分析
例
2. 将装满水的底面直径为40 厘米，高为60 厘米的圆柱形水
桶里的水全部灌于另一个底面直径为50 厘米的圆柱形水桶
里，这时水面的高度是多少？
分析：本题中的相等关系为：底面直径为40 厘米，高为60 厘
米的圆柱形水桶中水的体积＝底面直径为50 厘米的圆
柱形水桶中水的体积，故可设这时水面的高度为x 厘米，
用含x的式子表示出水的体积即可．
当堂小练
解：设这时水面的高度为x 厘米，根据题意可得：
π× ×60＝π× ×x，
解得x＝38.4.
答：这时水面的高度为38.4 厘米.
新课讲解
结论
此类题目要熟记体积公式，
如 V圆柱＝πR2h，
V长方体＝abh，
V正方体＝a3.
新课讲解
典例分析
例
3. 一个长方形的养鸡场的一条长边靠墙，墙长14米，
其他三边需要用竹篱笆围成．现有长为35米的竹篱
笆，小王打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多
5米；小赵也打算用它围成上述养鸡场，其中长比
宽多2米，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计
养鸡场的面积是多少？
当堂小练
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为(x＋5)米．
根据题意，得2x＋(x＋5)＝35.解得x＝10.因此小王设计
的长为10＋5＝15(米)，而墙的长度只有14米，所以小王
的设计不符合实际．
根据小赵的设计可以设宽为y米，则长为(y＋2)米．
根据题意，得2y＋(y＋2)＝35.解得y＝11.
因此小赵设计的长为11＋2＝13(米)，而墙的长度是14米，
显然小赵的设计符合实际，按照他的设计养鸡场的面积
是11×13＝143(平方米)．
新课讲解
结论
养鸡场的其中一条长边是靠墙的，所以35米应
为三边之和，学生往往忽略靠墙的一边，误认为35米
是四边之和．
新课讲解
典例分析
例
4.
在长为10 m，宽为8 m的长方形空地中，沿平行于长方
形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，其
示意图如图所示．求小长方形花圃的长和宽．
解： 设小长方形的长为x m，
则宽为(10－2x)m.由题意得
x＋2(10－2x)＝8，
x＋20－4x＝8，－3x＝－12，
　 x＝4.所以10－2x＝2.
答： 小长方形花圃的长为4 m，宽为2 m.
新课讲解
结论
本题运用了数形结合思想，将图形中存在的等量关系，通过列一元一次方程反映出来，进而解决所求问题．注意挖掘图形中隐含的等量关系是解题的关键．
新课讲解
知识点2 分段计费问题
典例分析
例
5. 近几年我国部分地区不时出现的严重干旱，使我们认识到节水的重要性．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对自来水收费采用阶梯价格的调控手段以达到节水的目的．
新课讲解
该市自来水收费价格见价目表.
价目表
每月用水量
单价
不超出6 m3的部分
2元/m3
超出6 m3但不超出10 m3的部分
4元/m3
超出10 m3的部分
8元/m3
注：水费按月结算
新课讲解
(1)若某户居民2月份用水10.5 m3，应交水费多少元？
(2)若该户居民3，4月份共用水16 m3(4月份用水量超
过3月份)，共交水费44元，则该户居民3，4月份各
用水多少立方米？(结果精确到0.1 m3)
解：(1)由题意，得
2×6＋4×(10－6)＋8×(10.5－10=32(元)．
所以二月份应交水费32元．
新课讲解
(2)设三月份用水x m3，则四月份用水(16－x) m3.
①当x≤6时，16－x≥10，
依题意，得2x＋2×6＋4×4＋8(16－x－10)＝44.
整理，得6x＝32，所以x≈5.3，此时16－x≈10.7，符合题意．
②当6＜x≤10时，6≤16－x＜10，依题意，
得2×6＋4×(x－6)＋2×6＋4(16－x－6)＝44.
整理，得40＝44，此方程无解．所以6＜x≤10不可能成立．
③因为4月份用水量超过3月份，所以x不可能超过10.
综上所述，三月份用水约5.3 m3，四月份用水约10.7 m3.
新课讲解
知识点3 方案选择问题
典例分析
例
下表中有两种移动电话计费方式.
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/(元/min)
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
6.
新课讲解
考虑下列问题：
(1)设一个月内用移动电话主叫为tmin (t 是正整数).
根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，
按方式一和方式二如何计费.
(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据
主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法.
月使用费固定收；主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费；被叫免费.
新课讲解
分析: (1)由上表可知，计费与主叫时间相关，计费时首先要看主
叫是否超过限定时间.因此，考虑t的取值时，两个主叫
限定时间150 min和350 min 是不同时间范围的划分点.
当t在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费
如下页表：
新课讲解
主叫时间t/min
方式一计费/元
方式二计费/元
t小于150
58
88
t=150
58
88
t大于150且小于350
58+0.25(t-150)
88
t=350
58+0.25(350-150)=108
88
t大于350
58+0.25(t-150)
88+0.19(t-350)
新课讲解
(2)观察（1）中的表，可以发现：主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化.下面比较不同时间范围内方式一和方式二的计费情况.
①当t小于或等于150时，按方式一的计费少.
②当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而按方式二的计费一直是88元.因此，当t大于150并且小于350时，可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等.列方程58+0.25(t—150) = 88,
解得t=270.
新课讲解
因此，如果主叫时间恰是270 min，按两种方式的计费相等，
都是88元; 如果主叫时间大于150 min且小于270 min，
按方式一的计费少于按方式二的计费(88元)；如果主叫
时间大于270 min且小于350 min，按方式一的计费
多于按方式二的计费(88元).
③当t=350时，按方式二的计费少.
新课讲解
④当t大于350时，可以看出，按方式一的 计费为108元加上
超过350 min部分的超时费 (0.25(t-350))，按方式二的
计费为88元加上超 过350 min部分的超时费(0.19(t-350))，
按方式二的计费少.
综合以上的分析，可以发现：
___________时，选择方案一省钱；
___________时，选择方案二省钱.
选一些具体数字，通过计算验证你的
发现是否正确.
当t大于350 时，按方式一
的计费 58+0.25(t-150)
可变 形为 108 + 0.25(t - 350).对比按方式二 的计费，你能说明此 时按哪种方式的计费少吗？
t<270
t>270
新课讲解
结论
　解答这类问题的一般步骤：
1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解使方案值
相等的情况；
2．用特殊值试探去选择方案，取小于(或大于)一元一
次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论．
课堂小结
几何图形问题：
1. “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常
用的关系有：
(1)形状变了，体积没变；
(2)原材料体积＝成品体积．
2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方
程．
课堂小结
分段计费问题与方案选择问题：
1.根据已知的条件，看好分段点，然后根据分段点及
所求问题来列出一元一次方程。
2.解决问题时要合理的根据分段点来对未知数进行计
算。
当堂小练
1.有一个长、宽、高分别是15 cm、10 cm、30 cm的
长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形，且边
长为15 cm的长方体钢锭，求锻压后长方体钢的
高．(忽略锻压过程中的损耗)
解：设锻压后长方体钢锭的高为x cm，
由题意，得15×15×x＝15×15×30，
解得x＝20.
答：锻压后长方体钢锭的高为20cm.
当堂小练
2.参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表：
某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1 100元，那么此人住院的医疗费是(　　)
A．1 000元 B．1 250元
C．1 500元 D．2 000元
D
住院医疗费
报销率(%)
不超过500元的部分
0
超过500～1 000元的部分
60
超过1 000～3 000元的部分
80
当堂小练
3.张老师一家三口暑假准备参加旅游团去北京旅游，甲旅行社说：“如果父母买全票，小孩可半价优惠”；乙旅行社说：“全部按全票价的8折优惠”，若全票价为1 200元．则张老师应选择哪家旅行社？(　　)
A．选择甲 B．选择乙
C．选择甲、乙都一样 D．无法确定
B
拓展与延伸
某校准备为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1 500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．张老师经过计算，发现两家公司收费一样，则该校今年毕业生有________人．
500
谢谢
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