商不变的规律
教学目标：
1、通过猜测、探究引导学生发现并掌握被除数、除数和商的变化规律，并能运用规律解决问题。
2、引导学生经历猜测—验证—结论的一般研究过程，培养学生研究问题、解决问题的能力。
3、培养学生善于观察、勇于发现、积极探索的好习惯。
教学重点：
通过猜测、探究引导学生发现并掌握被除数、除数和商的变化规律，并能运用规律解决问题。
教学难点：
引导学生经历猜测—验证—结论的一般研究过程，培养学生研究问题、解决问题的能力。
教学过程：
一、回顾旧知、大胆猜测。
1.和不变的规律：通过儿歌复习和不变的规律。
师：我们在一年级数学课堂中学了很多的儿歌，这首你听过吗？
儿歌：一九一九好朋友，
二八二八手拉手，
三七三七真亲密，
四六四六一起走，
五五凑成一双手。
师：今天我们再听这首儿歌时，你能发现其中的规律吗？
生：儿歌每句前两个数相加都可以凑成十。
师：也就是说它们的和都没变。要想保证和不变，两个加数应怎样变化呢？
生1：两个数相加，一个加数加几，另一个加数减去相同的数，和不变。
生2：两个数相加，一个加数减几，另一个加数加上相同的数，和不变。
师：我们来看看是不是这样：
1
+
9
=10
+1
-1
2
+
8
=10
3
+
7
=10
4
+
6
=10
5
+
5
=10
2.找规律:老师这还有两组算式,仔细观察,你有什么发现?
(1).
差不变的规律：
师:我们先来看这组算式.要想保证它们的差不变,被减数和减数又是怎样变化的呢?如果我们以第一个算式为标准,谁来说说它们的变化.
16-6=10
20-10=10
19-9=10
18-8=10
(2).积不变的规律：回顾乘法中积不变规律。
师：在乘法里，要想积不变，两个因数又是怎样变化的呢？
4.猜测是否有商不变的规律。
师：加法中有和不变的规律，减法中有差不变的规律，乘法中有积不变的规律，接这往下想,你又有什么疑问呢？
生：有没有商不变的规律。
师:你们认为呢?(有)
是的,的确有商不变的规律,今天这节课我们就一起研究它.
板书:商不变的规律
师:根据我们的研究经验,我们知道:要想算式中最终的结果不变,算式中的两个变量的变化规律是非常重要的.你认为被除数和除数怎样变化,才能保证除法算式中的商不变呢?
师:请你来猜一猜(贴板条:猜测)
学生进行大胆猜测。（学生边说，边记录在黑板上）
二、合作交流，验证猜测。
合作验证
师：这几位同学对被除数和除数的变化进行了大胆猜测，到底谁的猜想正确呢,需要我们进行验证.
（二）交流验证
1.小组汇报：举例验证
第一组：
生：我们组验证的是第二条：
师：你们小组验证之后，得到了什么结论？
生：被除数除以几，除数除以相同的数（0除外），商不变。
如果接着往下写,还能不能写?÷5,行不行?
第二组：
（学生之间解读作品）
生：我们组验证的是第一条：被除数乘几，除数乘相同的数，商不变。
56÷7
=8
×2
×2
112÷14
=8
×4
×4
224÷28
=8
×8
×8
448÷56
=8
师：往下写还能不能写？是不是还有很多？
师：经过验证，我们发现第几条也是成立的？
生：第一条。
师：你们小组验证之后，得到了什么结论？
生：被除数乘几，除数乘相同的数，商不变。
师：我们所选择的标准不同，被除数和除数的变化规律就不同，但商都是不变的。
第三组:
推理验证：还有其它验证方法吗？（除法与乘法有关系，从乘法的变化规律中找商不变的规律）
还有的同学写了这样一组算式：2×5=10
4×5=20
8×5=40
16×5=80
师小结：看来知识之间是有联系的，这个同学用过去学过的一个因数不变的规律推理得出了商不变的规律。
三、应用规律：
1．我们学习商不变的规律有什么用呢？我们来看一组口算：请你拿出口算条，准备，开始。
问：你怎么算的这么快？
看来应用商不变的规律可以使有的题目计算得更简便。
大家都会使用了吗？我们再来看一组口算，直接说出得数。
2.生活中的商不变规律：
生活中哪又有商不变规律呢？商不变的性质
教学目标：
1、通过观察、分析、比较，使学生理解和掌握“在除法里，被除数和除数同时乘或者除以相同的数（0除外），商不变”的性质。
2、在猜想和验证过程中培养学生的问题意识、探究、概括能力。
3、在引导学生发现商不变的性质过程中，通过“变”与“不变”，向学生渗透“透过现象看本质”的思想。
教学重点：理解并掌握商不变的性质的具体内容。
教学难点：真正理解“同时”、“相同的数（0除外）”，会应用商不变的性质。
学生能用举例验证猜想。
教学关键：通过探究、猜想、验证，真正理解商不变性质的内容
教学过程
一、激发兴趣引入，产生商不变的猜想
（一）猜数游戏、激发兴趣
师：同学们，我们来玩个猜数游戏，好吗？我出第一个数是20，你猜第二个是几？一起看！第三个呢？看！第四个？
（课件依次出示）20、40、80、160……
问：你发现了什么？
（20×2就得到了40,40×2就得到了80,80×2就得到了160，160乘2还能得到一个新的数，也就是前一个数乘2就得到了后一个数）
（接着出示）10000、1000、100、10
问：你又发现了什么？（10000÷10就等得到了1000,1000÷10就得到了100,100÷10就得到了10，也就是前一个数÷10就得到了后一个数）
师：在游戏中，我们发现了第一组数是乘2的规律，第二组数是除以10的规律，发现了规律就能很快猜到下一个数。规律在数学学习中还有很广泛的应用呢！一起看这组加法算式。
（二）观察和、差、积不变的规律，产生商不变的猜想
1.（课件出示）
11+4=15
10+5=15
9+6=15
8+7=15
（1）读一读，你发现了什么？（和都是15）
（2）其他同学你发现了什么？（没有，师引导，观察第一个加数）
师小结：在加法算式中，一个加数依次减1，另一个加数依次加1，和不变。
2．
（课件）20-1=19
25-6=19
30-11=19
35-16=19
（1）这是一组减法算式，读读，你又发现了什么？
（2）其他同学你发现了什么？（没有，师引导，先观察被减数）
师小结：在减法算式中，被减数依次加1，减数也依次加1，差不变。
3.（课件）
猜下组该出什么算式了？没有得数，咱一块算算吧！
5×8=
10×4=
20×2=
40×1=
师：我们发现积都是40，第一个因数由5变成10，是怎样变化的？由10到20呢？20到40？也就是依次乘2。另一个因数是依次除以2，积不变
4.总结，产生猜想
师：通过观察这三组算式，我们发现和有不变的规律，差有不变的规律，积也有不变的规律，由此你想到了什么？
（引导学生猜想：我想到了商也有不变的规律）（板书：商不变）
评：你真会猜想！很多的发明与创造都源自于猜想。真了不起！
二、通过猜想、验证，经历探究“商不变的性质”的过程
（一）举例验证猜想—被除数和除数同乘一个相同的数，商不变。
1．验证猜想
（1）问：怎么证明你的猜想是正确的呢？可以用什么方法？（举例验证）
（2）举个除法算式试试吧！谁来？
预设：学生出的除法算式是6÷2=3
你看他出的算式被除数是6，除数是2，商是3，很好算，方便我们研究，真棒！
你打算让被除数6和除数2怎么变化呢？（说不出，引导：是都加上一个数，还是减去一个数……）
都加1。
（6+1）÷（2+1）=2……1
商变了
都减1。
（6-1）÷（2-1）=5
商变了
被加1、除减1。（6+1）÷（2-1）=7
商变了
被减1、除加1。（6-1）÷（2+1）=1……2
商变了
都乘2.
（6×2）÷（2×2）=3
商不变
都乘3
（6×3）÷（2×3）=3
商不变
随机拓开……
（6×10）÷（2×10）=3
商不变
……师：被除数6和除数2都乘2、乘3、乘10、乘100，商都是3，不变。你能用一句话概括我们的发现吗？
都乘同一个数商不变，被除数6和除数2还可以都怎么变化呢？
都除2
（6÷2）÷（2÷2）=3
商不变
都除1
（6÷1）÷（2÷1）=3
商不变
总结：被除数6和除数2怎么变化，商不变？
师小结：通过举例验证，我们发现了当被除数6和除数2都乘或除以同一个数，商不变。
2.举例验证：由特殊到一般
思考：我们研究的这个例子，能不能代表所有的除法算式呢？
师：还应该再看看其他的算式有没有这个规律。
（课件）要求：
（1）四人一组，第一组至第五组验证24÷4=6，第五组至第十组验证80÷20=4
（2）看看你研究的除法算式中的被除数和除数怎么变化，商不变。
（3）汇报：每个算式各展示两组
师巡视教学生说：我让24和4都乘2，也就是（24×2）÷（4×2）=48÷8=6
问：你们组得出了什么结论？
（4）师总结：通过分组验证，我们发现了这个例子的被除数24和除数4都乘或除以同一个数，商不变；这个例子80和20都乘或除以同一个数，商不变。
（5）谁能概括出：任意一个除法算式，被除数和除数怎么变，商不变？
生：被除数和除数都乘或除以同一个数，商不变。
（6）考虑0
问：你们为什么不出同时乘0或除以0的例子呢？
生：0不能当除数，没有意义。
师：看来这条规律，需要把谁除外？
3.总结规律
刚才我们共同发现的这条规律，数学家给它取名叫商不变的性质（课件
）
大家一起读一读
三、闯关练习，强化认识
过渡：今天我们学习了商不变的性质，我们运用所学的知识，进行一个智慧大闯关怎么样？
第一关
我会判断
下面哪个算式的商与42÷6的商相同。请大家用手势判断
（出示）（42
÷
2）
÷
（6÷
2）说说你是怎么想的？（计算出结果比较和运用上不变的性质比较，都是非常的方法）
（42+4）
÷
（6+4）
（42
×3）
÷
（6×3）不好口算，算出结果对于大家来说比较困难，
利用商不变的性质就很容易了
（42×6）
÷
（6
÷6）
第二关
我会填空
根据“200÷40=5”，填符号或数（）
（200
×2
）
÷（40×
）=
5
为什么想到填2？
（200÷ ）÷（40
÷
６
）=
5
理由是什么？
（200×
）÷（40
×
）=
5
可以填几？还可以填几？？哪个数除外？
学生独立完成填空
集体对证。说说你是怎么想的？
四、商不变的性质的应用
过渡：大家已经闯过两关了，对商不变的性质又有了更深的认识。你们知道吗，商不变的性质在我们的生活和学习中还有很广泛的应用呢。
联系生活
师：在我们买东西的过程中，就用到这个知识。比如买悠悠球
悠悠球（个）
2
3
5
11
总价（元）
10
单价（元）
学生独立填空
能看懂这个表格吗？请把它填写完整
汇报
生：买两个球总结是10元，单价5元……
（课件）10÷2=5
15÷3=5
25÷5=5
55÷11=5
师：购买悠悠球的数量变大了，总价也变大了，而单价却是不变的。用总价除以数量就是单价，这个单价就是我们所说的商，它是不变的。
联系学习
在学习中，也用到了这个知识。
1.（出示）24÷8=3
240÷80=3
2400÷800=3
24000÷8000=3
你发现了吗？我们在口算时，用的就是商不变的性质。
从上往下看，被除数和除数都依次乘10、100、1000，商不变。
从下往上看，被除数和除数都依次除以10、100、1000，商不变。
商不变的性质其实就在我们的生活和学习中，课下请大家留心观察，还有哪些地方用到了商不变的性质。
四、机动题
利用商不变的性质，把下面的算式改写成另外一个算式。
÷
=
a÷b=c
拓展练习
240÷8=（
）÷4=60÷（
）=120÷（
）=（
）÷（
）
（
）÷12=36÷4=18÷（
）=（
）÷（
）
四、课堂小结：
今天我们学习了什么知识？商不变的性质，谁来说说这条性质？
作业：完成数学书63页的练一练。《
商的变化规律
》教学设计
教学目标：??
1、探索并发现商的变化规律，并且知道这个规律在计算和解决实际问题中的具体应用。
2、在探索规律的活动中，经历观察、比较、综合、归纳等思维活动，获得一些探索的经验，发展思维能力。
3、在学习活动中感受数学内在的规律与联系，体会发现的乐趣，进一步产生对数学的好奇心和兴趣。
教学重点：?通过计算引导学生总结商的变化规律
教学难点：?理解和应用商的变化规律
教学过程：
一、学前准备
1、谈话引入
同学们，我们前面一直在学习除法的笔算。今天我们学习的内容和前面有所不同，今天所学的内容更需要同学们认真观察、分析，看你们能发现什么。好，下面我们先进行课前练习。
2、口算
??50÷10=
40÷2=
240÷80=
200÷40=
80÷4=
420÷60=
500÷100=
100÷50=
180÷30=
二、探究新知
??1、先口算，再观察算式，你发现了什么，与同伴交流
???????????16?????????=
???????????160??÷???8??=
???????????320????????=
⑴、这组题目中，什么数发生了变化？什么数没有发生变化？从上往下看，被除数和商的变化有什么特点？（小组讨论汇报）
⑵、小结：
除数不变，被除数扩大多少倍，商就扩大相同的倍数
⑶、如果从下往上看，这组题目又有什么特点？
生回答，师小结：
除数不变，被除数缩小多少倍，商就缩小相同的倍数
⑷、板书规律，学生齐读
在除法算式中，当除数不变时，被除数乘（或除以）几，商就同时乘（或除以）相同的数。
⑸、练习
除数不变，被除数扩大5倍，商是如何变化的？
除数不变，被除数乘以8，商是如何变化的？
2、先口算，再观察算式，你发现了什么，与同伴交流
????????
2???=
200??÷??20???=
?
40???=
⑴、这组题目中，什么数发生了变化？什么数没有发生变化？从上往下看，除数和商的变化有什么特点？（小组讨论汇报）
⑵、小结：
被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数
⑶、如果从下往上看，这组题目又有什么特点？
生回答，师小结：
被除数不变，除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数
⑷、板书规律，学生齐读
在除法算式中，当被除数不变时，除数乘（或除以）几，商反而除以（或乘）相同的数。
3.计算并观察下面的题。
6÷3=
60÷30=
600÷300=
6000÷3000=
先从上往下观察，再从下
往上观察，你发现了什么？
被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
三、板书设计
商的变化规律
被除数????????除数??????????商?
不变?????????扩大（缩小）??????缩小（扩大）相同的倍数?
扩大（缩小）几倍???不变??????????扩大（缩小）相同的倍数?
同时扩大(缩小)相同的倍数???????????不变?
四、巩固练习
1.
下面的说法对吗？对的在（
）里画“√”。
（1）一个除法算式，被除数乘15，要使商不变，除数也要乘15。（
）
（2）两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4，商就变成32。（
）
（3）一个除法算式的被除数、除数都除以3以后，商是20，那么
原来的商是60。
（
）
2.思维拓展
1.根据476÷17=28，你能写出多少个商是28的除法算式？
2.找规律“？”处填什么数最合适
1
3
7
15
？
63
A.30
B.31
C.20
D.47
3.运用所学的规律口算下面各题。
64÷8=
63÷7=
100÷25=
640÷8=
630÷7=
100÷5=
6400÷800=
630÷70=
200÷25=
64÷4=
6300÷70=
2000÷250=
五、课堂小结
同学们，我们今天学习了两个规律，一个是商的变化规律，当除数不变时，被除数和商应该是同时扩大或缩小相同的倍数；被除数不变时，除数和商一个扩大一个反而缩小相同的倍数。另一个是商不变的规律，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。同学们要会用语言表述这两个规律，并且要运用到口算当中，已达到提高口算的正确率和速度的目的。
六、布置作业
作业：第89页练习十七，第1题、第3题。
第90页练习十七，第6题。
