4.3.2 角的比较与运算课件（26张PPT）

第四章 几何图形初步
4.3 角
第2课时 角的比较与运算
2020年秋人教版数学七年级上册精品课件
学 习 目 标
3
1
2
了解角的平分线的概念. (重点)
掌握角的大小的比较方法. (重点)
理解角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题. (重点、难点)
线段长短的比较
AB>CD
ABAB=CD
复习回顾
AB=BC+AC
BC=AB－AC
AC=AB－BC
线段的和、差
线段中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则
AC = BC
AC = BC = AB
AB = 2 AC = 2 BC
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
知识讲解
角的比较
1
1. 度量法
用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.
1
2
∠1>∠2
?
B
A
O
1.将两个角的顶点及一边重合;
2.两个角的另一边落在重合一边的同侧;
3.由两个角的另一边的位置确定两个角的大小。
2. 叠合法
C
D
E
∠ECD＞∠AOB
∠ABC<∠DEF
B
C
A
E
D
F
DE边在∠ABC的外部,则
∠ABC=∠DEF
B
A
C
E
D
F
DE与AB边重合,则
图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
它们的关系：
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB= .
∠BOC
A
B
O
C
角的和差
2
即学即练
1. 如图，∠AOB=______+_______+_______，∠AOD=_______+_______=_______-_______.
∠AOC
∠COD
∠BOD
∠AOC
∠COD
∠AOB
∠BOD
2.如果∠AOB=∠COD， 那么∠AOC与∠DOB相等吗？
解：相等. 因为∠AOB=∠COD，由等式的性质，得∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则 ∠AOC＝ °．
3.(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝ °．
75
20
A
B
O
C
A
B
O
C
图① 图②
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝ °．
30或90
O
B
A
C
C
提示：无图条件下要分类讨论，全面考虑图形位置。当两角有公共边时，要考虑两角在公共边的同侧和异侧。
O
B
A
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
应用格式：
O
B
A
C
∵ OC 是∠AOB 的角平分线，
∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
∵ OC 是∠AOB 的角平分线，
∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
角的平分线
3
解题时灵活选用
例1 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解： ∵ OB 平分∠AOC，
∠AOC=80°，
O
A
B
C
D
E
∴ ∠BOC= ∠AOC
= ×80°=40°.
(2) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
解：∵ ∠COD=30°，
OD 平分∠COE，
∴ ∠COE=2∠COD=60°，
∴ ∠AOC=∠AOE–∠COE=140°– 60°= 80°.
又∵ OB 平分∠AOC，
O
A
B
C
D
E
∴ ∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
例2 如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数.
解：设∠AOB=x，则∠BOC=2x，∠AOC=3x.
又OD平分∠AOC，
所以∠AOD=32x.
所以∠BOD=∠AOD-∠AOB= 32?x-x=14°.
所以x=28°，即∠AOB=28°.
?
规律总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
1．已知∠MON＝40°，∠NOP＝15°，则∠MOP等于(　)
A．55°　　B．25°　C．55°或25°　 D．40°
2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是(　)
A．25° B．40° C．50° D．65°
C
A
随堂训练
3.如图，若∠AOC=∠BOD，则∠AOD与∠BOC的关系是( )
A. ∠AOD>∠BOC B. ∠AOD<∠BOC
C. ∠AOD=∠BOC D. 无法确定
C
4. 如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且
∠AOB=60°，则∠COD为 ( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 20°
A
5. 按图填空：
(1)∠AOB＋∠BOC＝______________；
(2)∠AOC＋∠COD＝______________；
(3)∠BOD－∠COD＝______________；
(4)∠AOD－______________＝∠AOB.
∠AOC
∠AOD
∠BOC
∠BOD
6.如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
75°
15°
7．如图，∠AOB是直角，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
(1)求∠MON的大小；
(2)当∠AOC=α时，∠MON等于多少度？
(3)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？
解：(1)因为∠AOB是直角，∠AOC=50°，
所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°.
因为ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
所以∠COM=12∠BOC= 12?×140°=70°，∠CON= 12∠AOC= 12?×50°=25°.
所以∠MON=∠COM-∠CON=70°-25°=45°.
?
(2)当∠AOC=α时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α，
因为ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
所以∠COM= 12?∠BOC= 12(90°+α)，
∠CON= 12?∠AOC= 12?α.
所以∠MON=∠COM-∠CON= 12?(90°+α)- 12α=45°.
?
(3)不会发生变化，由(2)知∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半．
角的大小比较
角的平分线
度量法
叠合法
角的运算
角的和、差、倍分关系
课堂小结
谢谢
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