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13.2命题与证明（重点练）
1．下列命题的逆命题错误的是（
）.
A．对顶角相等
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．在一个三角形中，等边对等角
D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c
D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c
3．如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形中两个锐角互补
B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补，两直线平行
D．若，则
5．能说明命题“对于任何实数a，a2≥a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．写出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例____.
7．有观察下列等式：①，②，③……若字母n表示为正整数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：_________.
8．一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后_____将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）
9．要证明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题可以举的反例是________.
10．本学期,我们做过“抢30”的游戏,如果将游戏规则中“不可以连说三个数,谁先抢到30谁就获胜”,改为“每次可以连说三个数,谁先抢到33谁就获胜”,那么采取适当策略,其结果_________者胜.
11．如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
12．如图，四边形四边的中点分别为、、、．度量四边形的边和角，你会发现什么结论？你得出的结论正确吗？再画一个与四边形不一样的四边形，这个结论成立吗？并用一句话来概括这个结论．
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13.2命题与证明（重点练）
1．下列命题的逆命题错误的是（
）.
A．对顶角相等
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．在一个三角形中，等边对等角
D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
【答案】A
【解析】【分析】根据互逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据相关定理判断即可．
【详解】
A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；
B、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的任意一点在线段垂直平分线上，逆命题正确；
C、在一个三角形中，等边对等角的逆命题是在一个三角形中，等角对等边，逆命题正确；
D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角平分线上，逆命题正确；
故选：A．
【点评】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
2．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c
D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c
【答案】B
【解析】【分析】根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解．
【详解】
解：A、，是真命题，故本选项不符合题意；
B、，应为a∥c，故本选项是假命题，故本选项符合题意；
C、，是真命题，故本选项不符合题意；
D、，是真命题，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】根据直角三角形的性质，分析判断即可得到答案.
【详解】
解：A、直角三角形两个锐角度数不明确，不能比较大小，故本项错误；
B、由两边和大于第三边，得到，本项正确；
C、由，则，本项正确；
D、由勾股定理可知，，本项正确；
故选择：A.
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质.
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形中两个锐角互补
B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补，两直线平行
D．若，则
【答案】C
【解析】【分析】分别利用直角三角形的性质、对顶角和平行线的判定方法以及绝对值的性质分析得出答案．
【详解】
解：A、直角三角形中两个锐角互余，故此选项错误；
B、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
C、同旁内角互补，两直线平行，正确；
D、若|a|=|b|，则a=±b，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
5．能说明命题“对于任何实数a，a2≥a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】根据题意、乘方的意义举例即可．
【详解】
解：当a=0.2时，a2=0.04，
∴a2＜a，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确举出反例是解题的关键．
6．写出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例____.
【答案】（答案不唯一）
【解析】【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一个满足条件却不满足结论的a，b的值即可.
【详解】
当时，满足，
∵-5<1，不满足，
∴可作为说明命题“若，则”是假命题的反例.
故答案为：a=-5，b=1（答案不唯一）
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
7．有观察下列等式：①，②，③……若字母n表示为正整数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：_________.
【答案】
【解析】【分析】假设中间项为2n，根据平方差公式，计算它的后一项与前一项的平方差即可.
【详解】
解，设中间项为2n，前一项为：（2n-1），后一项为：（2n+1），则
根据平方差公式有：
=
=.
故答案为：.
【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算.
8．一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后_____将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）
【答案】不能．
【解析】【分析】根据按灯开关的要求，可得出不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，进而得出答案．
【详解】
解：∵一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，
∴第一次按下后有两盏电灯亮着，有一盏电灯不亮，
这样再继续按两个开关，不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，故最后不能将3盏电灯都开亮．
故答案为：不能．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意得出不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮是解题关键．
9．要证明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题可以举的反例是________.
【答案】a=-2，b=1（答案不唯一）
【解析】【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】
∵当a=-2，b=1时，（-2）2＞12，但是-2＜1，
∴a=-2，b=1是假命题的反例．
故答案为a=-2，b=1（答案不唯一）．
【点评】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
10．本学期,我们做过“抢30”的游戏,如果将游戏规则中“不可以连说三个数,谁先抢到30谁就获胜”,改为“每次可以连说三个数,谁先抢到33谁就获胜”,那么采取适当策略,其结果_________者胜.
【答案】先报数
【解析】此题考查了游戏的公平性问题，关键是得到需抢到的数字．
为了抢到30，那就必须抢到27，这样无论对方叫“28”或“29”，你都获胜．而为了抢到27，也可以此类推．游戏的关键是报数先后顺序，并且每次报的个数和对方合起来是三个，即对方报a（1≤a≤2）个数字，你就报（3-a）个数．抢数游戏，它的本质是一个是否被“3”整除的问题．改为“每次可以连说三个数，谁先抢到33谁就获胜”它的本质是一个是否被“4”整除的问题．
解：谁先抢到29，对方无论叫“30”或“31”或“32”你都获胜．为抢到29，甲先报1，甲每次报的个数和对方合起来是4个，（29-1）÷4=7，先报数者胜．
11．如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；
（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．
【详解】
解：（1）由，，得到；
由，，得到；
由，，得到；
故能组成3个命题．
（2）由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，∴，
，．
由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，，
．
由，，得到，是真命题．理由如下：
∵，，．
，，
．
【点评】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
12．如图，四边形四边的中点分别为、、、．度量四边形的边和角，你会发现什么结论？你得出的结论正确吗？再画一个与四边形不一样的四边形，这个结论成立吗？并用一句话来概括这个结论．
【答案】四边形是平行四边形．成立.
【解析】【分析】利用中位线的相关性质进行求解.
1、由于E、F、G、H均为中点,因此可以猜想利用中位线的相关知识进行判断;
2、分别连接AC和BD,由题可以得出EH是△ABD的中位线,FG是△BCD的中位线,GH是△ACD的中位线,EF是△ABC的中位线;
3、根据中位线的相关性质即可判断四边形EFGH是平行四边形。
【详解】
解：连接AC和BD;
可以看出四边形EFGH是平行四边形,证明过程如下:
∵
H是AD的中点,G是CD的中点
∴
GH是△ADC的中位线
(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线)
∴
GH∥AC
(三角形的中位线平行于第三边)
∵
E是AB的中点,F是BC的中点
∴
EF是△ABC的中位线
(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线)
∴
EF∥AC
(三角形的中位线平行于第三边)
由∵GH∥AC
∴
GH∥EF
(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行)
同理可证EH∥GF
∴
四边形EFGH是平行四边形
换任意的一个四边形结论同样成立,证明过程同上。
此结论可概括为:任意四边形的中点连线所形成的四边形是平行四边形。
【点评】本题考查了三角形中位线定义，平行四边形的判定等知识点，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
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