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第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元检测（1）
一、单选题
1．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（
）
A．11
B．5
C．2
D．1
2．如图，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD为(
)
A．边AC上的高
B．边BC上的高
C．边AB上的高
D．不是△ABC的高
3．三角形三条高的交点在一边上，则这个三角形是?
（?????
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
4．任何一个三角形的三个内角中，至少有_____
A．一个锐角
B．两个锐角
C．一个钝角
D．一个直角
5．如图，若∠1>∠2，则∠1，∠2，∠3用“<”号连接，正确的是(
)
A．∠3<∠2<∠1
B．∠2<∠3<∠1
C．∠2<∠1<∠3
D．以上都不对
6．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线
B．三角形的中线
C．三角形的高
D．以上皆不对
7．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）
A．14
B．10
C．3
D．2
8．下列命题：
①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．在△ABC中，AD是中线，AB＝12
cm，AC＝10
cm，则△ABD和△ACD的周长差为(
)
A．7
cm
B．6
cm
C．2
cm
D．14
cm
10．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于（
）
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
11．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．有下列三个命题：（1）两点之间线段最短（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直
（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题
13．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______．
14．命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题________
15．“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是____________________，它是一个________命题
(填“真”或“假”)．
16．如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________?．
三、解答题
17．证明三角形的内角和定理：
已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180°
18．请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．
19．如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA.
（1）求证:∠EAC=∠B；（2）若∠B=50°，∠CAD:∠E=1:3，求∠E的度数.
20．在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
21．如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB
22．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图①，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积
_△ACD的面积(选填“>”“<”或“＝”)．
（2）如图②，若CD，BE分别是△ABC的AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：
，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为
.
（3）如图③，AD∶DB＝1∶3，CE∶AE＝1∶2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
23．如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
24．如图，在△DBC中，BD⊥CD，BA平分∠DBC，∠BAC＝124°，求∠C的度数．
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精品试卷·第
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（共
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第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元检测（1）
一、单选题
1．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（
）
A．11
B．5
C．2
D．1
【答案】B
【解析】试题分析：由三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选B．
考点：三角形三边关系．
2．如图，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD为(
)
A．边AC上的高
B．边BC上的高
C．边AB上的高
D．不是△ABC的高
【答案】C
【解析】试题分析：根据三角形的中高的定义即可判断.
由图可知，线段CD为边AB上的高，故选C.
考点：本题考查的是三角形的高
【点评】解答本题的关键是熟练掌握三角形的高就是自一个顶点向对边所作的垂线段.
3．三角形三条高的交点在一边上，则这个三角形是?
（?????
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
【答案】B
【解析】锐角三角形的三条高线交于三角形内部，钝角三角形的三条高线交于三角形外部，直角三角形的高线交于三角形的直角顶点．故选B
4．任何一个三角形的三个内角中，至少有_____
A．一个锐角
B．两个锐角
C．一个钝角
D．一个直角
【答案】B
【解析】三角形内角和=180°，故三个内角中，至少有两个锐角．故选B
5．如图，若∠1>∠2，则∠1，∠2，∠3用“<”号连接，正确的是(
)
A．∠3<∠2<∠1
B．∠2<∠3<∠1
C．∠2<∠1<∠3
D．以上都不对
【答案】C
【解析】分析：由三角形外角的性质知,
∠3>∠1,
∠3>∠2,结合已知条件∠1>∠2，可求出结论.
详解：∵∠3>∠1,
∠3>∠2,
∠1>∠2，
∴∠2<∠1<∠3.
故选C.
【点评】本题考查了三角形外角的性质：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，熟练掌握这一性质是解答本题的关键..
6．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线
B．三角形的中线
C．三角形的高
D．以上皆不对
【答案】C
【解析】试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
7．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）
A．14
B．10
C．3
D．2
【答案】B
【解析】【详解】
设第三边是x,由三角形边的性质可得：8-5∴3所以选B.
8．下列命题：
①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】①两点确定一条直线，正确，是真命题；
②两点之间，线段最短，正确，是真命题；
③对顶角相等，正确，是真命题；
④两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；
正确的有3个，
故选C.
9．在△ABC中，AD是中线，AB＝12
cm，AC＝10
cm，则△ABD和△ACD的周长差为(
)
A．7
cm
B．6
cm
C．2
cm
D．14
cm
【答案】C
【解析】分析：由三角形中线的定义推知BD=DC；然后根据三角形的周长的定义知△ABD与△ADC的周长之差为（AB-AC）．
详解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
∵△ABD的周长=AB+AD+BD，△ADC的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD，
∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB-AC=12-10=2．
故选C.
【点评】本题考查了三角形的中线的定义，三角形周长的计算．解题时，根据三角形的周长的计算方法得到：△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差是解答本题的关键．
10．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于（
）
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
【答案】C
【解析】试题分析：设∠A=3x°，则∠B=4x°，∠C=5x°，根据三角形内角和定理可得：3x+4x+5x=180°，则x=15，则∠C=5x=75°.
【点评】三角形内角和定理
11．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】只要说明且∠1=∠2，据此逐项判断即可．
【详解】
解：A、满足且∠1=∠2，能说明原命题是假命题，本选项符合题意；
B、，不满足，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、，满足但不满足∠1=∠2，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意；
D、，不满足，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了真假命题的知识，属于常考题型，举反例是判断命题真假的常用方法．
12．有下列三个命题：（1）两点之间线段最短（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直
（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】D
【解析】试题分析：利用线段公理、垂线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：（1）两点之间线段最短，正确，是真命题；
（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题，
故选D．
二、填空题
13．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______．
【答案】：270°
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理算出∠3+∠4的度数，再根据四边形内角和为360°，计算出∠1+∠2的度数．
【详解】
∵在直角三角形中，
∴∠5=90°，
∴∠3+∠4=180°?90°=90°，
∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°?90°=270°，
故答案是：270°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和为360°，是解题的关键．
14．命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题________
【答案】如果两个三角形全等，那么对应的三边相等
【解析】【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
【详解】
∵原命题的条件是：三角形的三边分别相等，结论是：该三角形是全等三角形．
∴其逆命题是：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
故答案为如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
【点评】本题考查逆命题的概念，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知原命题的题设和结论．
15．“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是____________________，它是一个________命题
(填“真”或“假”)．
【答案】有两个角是锐角的三角形是直角三角形；
假
【解析】本题考查写逆命题的能力以及判断真假命题的能力.逆命题就是原来的命题的题设和结论互换，写出“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题并用反例证明它是假命题
解：“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“有两个锐角的三角形是直角三角形”假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但不是直角三角形．故是假命题．
故答案为有两个锐角的三角形是直角三角形；假．
16．如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________?．
【答案】4
【解析】【分析】首先根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得AG的长度是AD的长度的；然后根据分数乘法的意义，用AD的长度乘以，求出AG的长度是多少即可．
【详解】
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
∴AG=AD×
=6×
=4．
故答案为：4．
三、解答题
17．证明三角形的内角和定理：
已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180°
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
【详解】
证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即三角形内角和等于180°．
【点评】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质及平角的定义进行证明．
18．请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．
【答案】见解析.
【解析】【分析】将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．
【详解】
条件：两个角分别是两个相等角的余角；?
结论：这两个角相等.
这个命题是真命题，
已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角.
求证：∠3=∠4，
证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角
∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，
又∠1=∠2,
∴∠3=∠4．
【点评】本题考查了命题与定理的相关知识．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．
19．如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA.
（1）求证:∠EAC=∠B；（2）若∠B=50°，∠CAD:∠E=1:3，求∠E的度数.
【答案】证明见解析
【解析】解：（1）相等.理由如下：
……1分
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
……2分
又∠EAD＝∠EDA
∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD
＝∠EDA－∠BAD
＝∠B
……4分
（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3
x°，
……5分
由（1）有：∠EAC＝∠B＝50°
∴∠EAD＝∠EDA＝（x＋50）°
在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°
∴3
x＋2（x＋50）＝180
……6分
解得：x＝16
……7分
∴∠E＝48°
……8分
（用二元一次方程组的参照此标准给分）
（1）利用角平分线和等角求证
（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3
x°，利用三角形的内角和求解
20．在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
【答案】AB=AC=8，BC=11或AB=AC=10，BC=7．
【解析】【分析】根据中线的定义得到AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x，分类讨论：①x+2x=12，BC+x=15；②
x+2x=15，BC+x=12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长．
【详解】
如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD=CD．设AD=CD=x，则AB=2x．分两种情况讨论：
①x+2x=12，BC+x=15，解得：x=4，BC=11，此时△ABC的三边长为：AB=AC=8，BC=11；
②x+2x=15，BC+x=12，解得：x=5，BC=7，此时△ABC的三边长为：AB=AC=10，BC=7．
综上所述：AB=AC=8，BC=11或AB=AC=10，BC=7．
【点评】本题考查了三角形的中线．掌握三角形的中线的定义是解答本题的关键．
21．如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB
【答案】见解析；
【解析】【分析】灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．
【详解】
证明：∵
DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴
∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴
DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴
∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵
∠1=∠2（已知），∴
∠1=∠ACD（等量代换），
∴
EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴
∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵
EF⊥AB（已知），∴
∠AEF=90°（垂直的定义），
∴
∠ADC=90°（等量代换）.
∴
CD⊥AB（垂直的定义）．
【点评】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．
22．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图①，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积
_△ACD的面积(选填“>”“<”或“＝”)．
（2）如图②，若CD，BE分别是△ABC的AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：
，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为
.
（3）如图③，AD∶DB＝1∶3，CE∶AE＝1∶2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
【答案】（1）＝；（2），20；（3）S四边形ADOE＝13.
【解析】分析：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以S△ABD=S△ACD；
（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；
（3）连结AO，由AD：DB=1：3，得到S△ADO=S△BDO，同理可得S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得列方程组即可得到结果．
详解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，∴S△ABD＝BD·AH，
S△ACD＝CD·AH，∴S△ABD＝S△ACD；
（2）列方程组解方程组得
∴S△AOD＝S△BOD＝10，∴S四边形ADOE＝S△AOD＋S△AOE＝10＋10＝20；
（3）如图3，连接AO，∵AD∶DB＝1∶3，
∴S△ADO＝S△BDO，∵CE∶AE＝1∶2，
∴S△CEO＝S△AEO，
设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，
可列方程组为解得
∴S四边形ADOE＝S△ADO＋S△AEO＝x＋2y＝13.
【点评】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，列二元一次方程组解决几何问题，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．
23．如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
【答案】见解析.
【解析】分析：依据题意，一共能组成2个命题，它们是：题设：DE//BC，∠1=∠2，结论：∠B=∠C；题设：DE//BC，∠B=∠C，结论：∠1=∠2；可根据“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”来写出证明过程即可．
详解：已知,DE∥BC，∠1＝∠2.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C.
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
24．如图，在△DBC中，BD⊥CD，BA平分∠DBC，∠BAC＝124°，求∠C的度数．
【答案】∠C＝22°.
【解析】分析：首先根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求得∠DBA的度数，再根据角平分线的概念求得∠DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求解．
详解：在△ABD中，∠BAC＝∠D＋∠DBA.
∵BD⊥CD，∴∠D＝90°.
又∵∠BAC＝124°
，∴∠DBA
＝34°.
∵BA平分∠DBC，
∴∠DBC＝2∠DBA＝68°，
∠C＝180°－(∠D＋∠DBC)＝22°.
点睛：本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，根据外角的性质求出∠DBA
＝34°是解答本题的关键.
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