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第14.1全等三角形的概念与性质（重点练）
1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
2．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图,在矩形ABCD中,AF⊥BD于E,AF交BC于点F,连接DF,则图中面积相等但不全等的三角形共有(
)
A．2对
B．3对
C．5对
D．4对
5．若△ABC≌△DEF，则下列说法不正确的是（ ）
A．和是对应角
B．AB和DE是对应边
C．点C和点F是对应顶点
D．和是对应角
6．三个全等三角形按如图的形式摆放，则_______________度．
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为，1，2，△ABP绕点B旋转至△CBP′，连结PP′，并延长BP与DC相交于点Q，则∠CPQ的大小为______
（度）
8．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG=
______
．
9．如图，AC，BD相交于点O，AC＝BD，AB＝CD，写出图中两对相等的角______．
10．如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为
．
11．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F.
（1）求证：EF=DF﹣BE；
（2）若△ADF的周长为，求EF的长.
12．如图，≌，，．
（1）求的长；
（2）若、、在一条
直线上，则与垂直吗？为什么？
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第14.1全等三角形的概念与性质（重点练）
1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
【答案】A
【解析】【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．
【详解】
解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
2．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识逐项判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF，
在△BCE与△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
故①正确；
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF，
∴∠DFB＝∠BCD＝90°，
∴BF⊥ED，
故②正确，
过点D作DM⊥CF，交CF的延长线于点M，
∵∠ECF＝90°，FC＝EC＝1，
∴∠CFE＝45°，
∵∠DFM+∠CFB＝90°，
∴∠DFM＝∠FDM＝45°，
∴FM＝DM，
∴由勾股定理可求得：EF＝，
∵DE＝，
∴由勾股定理可得：DF＝2，
∵EF2+BE2＝2BE2＝BF2，
∴DM＝FM＝，故③错误，
∵△BCE≌△DCF，
∴S△BCE＝S△DCF，
∴S四边形DECF＝S△DCF+S△DCE
＝S△ECF+S△DEF
＝S△AFP+S△PFB
＝
，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查四边形的综合问题，涉及正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】【分析】由D为BC中点可得BD=CD，利用SSS即可证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【详解】
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∵AB=AC，AD为公共边
∴△ABD≌△ACD（SSS），故①正确，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
4．如图,在矩形ABCD中,AF⊥BD于E,AF交BC于点F,连接DF,则图中面积相等但不全等的三角形共有(
)
A．2对
B．3对
C．5对
D．4对
【答案】D
【解析】【分析】根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，即可得出答案．
【详解】
∵S与S，底边为AD，高为AB，
∴S=S
∴S
?S
=S
?S
，
∴S
与S
，
∵S与S，底边为BF，高为AB，
∴S
=S
，
S与S，等底，等高，
∴S
=S
，
∴图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，
故选D.
【点评】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
5．若△ABC≌△DEF，则下列说法不正确的是（ ）
A．和是对应角
B．AB和DE是对应边
C．点C和点F是对应顶点
D．和是对应角
【答案】A
【解析】【分析】根据全等三角形的性质对各选项判断即可得解．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB和DE是对应边，点C和点F是对应顶点，∠B和∠E是对应角，∠A和∠B是相邻的角，不是对应角，
∴说法不正确的是A．
故选A．
【点评】本题考查全等三角形的性质，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应边和对应角是解题关键．
6．三个全等三角形按如图的形式摆放，则_______________度．
【答案】180°
【解析】【分析】如图所示，利用平角的定义结合三角形内角和性质以及全等三角形性质得出∠4+∠9+∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，然后进一步求解即可.
【详解】
如图所示，由图形可得：
∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7==540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6=180°，
∵∠5+∠7+∠8=180°，
∴540°?
180°?
180°=180°，
故答案为：180°.
【点评】本题主要考查了全等三角形性质以及三角形内角和性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为，1，2，△ABP绕点B旋转至△CBP′，连结PP′，并延长BP与DC相交于点Q，则∠CPQ的大小为______
（度）
【答案】45
【解析】【分析】△ABP绕点B旋转90°至△CBP′，可知∠PBP′=90°，BP′=BP故可求出PP′==，又△ABP≌△CBP′得CP′=AP=,故可利用勾股定理逆定理知△CPP′是直角三角形，得∠CPP′=90°，即可求出∠CPQ.
【详解】
△ABP绕点B旋转90°至△CBP′，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP
∴PP′==，
又△ABP≌△CBP′
则CP′=AP=,
又CP=2，PP′=
∴CP′?=CP?+PP′?，
∴△CPP′是直角三角形，得∠CPP′=90°，
∴∠CPQ=180°-∠CPP′-∠P′PB=45°
【点评】此题主要考察旋转的性质.
8．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG=
______
．
【答案】4cm
【解析】【分析】首先根据全等三角形对应边相等可得MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，再根据等式的性质可得FG-HG=MH-HG，即GM=FH，进而可得答案．
【详解】
解：∵△EFG≌△NMH，
∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，
∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1cm，
∵△EFG的周长为15cm，
∴HM=15-6-4=5cm，
∴HG=5-1=4cm
.
故答案为：4cm．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形对应边相等．
9．如图，AC，BD相交于点O，AC＝BD，AB＝CD，写出图中两对相等的角______．
【答案】∠A=∠D，∠ABO=∠DCO.
【解析】【分析】由已知条件，利用SSS判定△ABC≌△DCB，从而得出∠A=∠D，进而得到∠ABO=∠DCO．
【详解】
连接BC，
∵AC=BD，AB=CD，BC=BC
∴△ABC≌△DCB(SSS)
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，∠DBC=∠ACB
∴∠ABC?∠DBC=∠DCB?∠ACB
即∠ABO=∠DCO.
故答案为∠A=∠D，∠ABO=∠DCO.
【点评】考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键.
10．如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为
．
【答案】
【解析】试题分析：：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵，∴BD=CD．
如下图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=5m．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，∴，∴CK=CD，∴KD=CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（对顶角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD．
∵点H为AC中点，AC=4CM，∴．
∵MN∥AD，
∴，即，
∴．
考点：1、相似三角形的判定与性质；2、全等三角形的判定与性质；3、等腰三角形的判定与性质；4、平行四边形的判定与性质．
11．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F.
（1）求证：EF=DF﹣BE；
（2）若△ADF的周长为，求EF的长.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】分析：（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；
（2）设DF=a，AF=b，EF=DF-AF=a-b>0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a-b即可．
详解：（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，
∴∠DAF=∠ABE，
在△ADF和△BAE中，∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB，AD=AB，
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；
（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，
即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，
∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣，∴a﹣b=，即EF=.
【点评】正方形的性质,
全等三角形的判定与性质.
12．如图，≌，，．
（1）求的长；
（2）若、、在一条
直线上，则与垂直吗？为什么？
【答案】详见解析
【解析】【分析】（1）根据三角形全等，得出边相等即可求出的长；（2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答．
【详解】
（1）∵≌，∴，．
∴．
（2）
∵≌，∴．
又、、在一条直线上，∴．∴．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
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