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第14章
全等三角形
单元检测（2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是[来（
）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
2．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
4．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为( )
A．(－，1)
B．(－1，)
C．(，1)
D．(－，－1)
5．如图,在和中,BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于N,,给出下列结论：①；②CD=DN;③BE=CF；④△ACN≌△ABM．其中正确的结论是
(????)
A．①③④
B．②③④
C．①②③
D．①②④
6．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角,如图所示,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OD=OE,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与D,E重合,这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是(??)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝(
)
A．60°
B．55°
C．50°
D．无法计算
9．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论中正确的是( )
①△BCD为等腰三角形；②BF＝AC；③CE＝BF；④BH＝CE，
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
10．如图，∠ACB=900，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE=（
）
A．1cm
B．0.8cm
C．4.2cm
D．1.5cm
11．在△ABC
中，∠B=∠C，与△ABC
全等的三角形有一个角是
120°，那么在△ABC
中与这个
120°的角对应相等的角是（
）
A．∠A
B．∠B
C．∠C
D．∠B
或∠C
12．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______.
14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为____________．
15．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形．
16．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_____．
三、解答题
17．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D，
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
18．如图:
是的高，为上一点，交于,且有.
求证:.
19．已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD，求证：CF=DF．
20．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
21．如图，点A，C，D，B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．
22．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果?，?，那么?”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
23．如图，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°.
求证：BE＋DF＝EF.
24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,
CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
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第14章
全等三角形
单元检测（2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是[来（
）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
【解析】试题解析：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即∠QAE=∠PAE．
故选D．
2．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】【分析】先由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE，然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
∵AC=AD，
∴当AB=AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；
当BC=ED时，不能判断△ABC≌△AED；
当∠C=∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当∠B=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
3．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解析】【分析】【详解】
试题分析：运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=1+9=10，
∴b的面积为10，
故选C．
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
4．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为( )
A．(－，1)
B．(－1，)
C．(，1)
D．(－，－1)
【答案】A
【解析】试题分析：作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．∴点C的坐标为
（-，1）故选A．
考点：1、全等三角形的判定和性质；2、坐标和图形性质；3、正方形的性质．
5．如图,在和中,BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于N,,给出下列结论：①；②CD=DN;③BE=CF；④△ACN≌△ABM．其中正确的结论是
(????)
A．①③④
B．②③④
C．①②③
D．①②④
【答案】A
【解析】【分析】先证明△ABE≌△ACF，据此可进行判断．
【详解】
解：∵∠EAC=∠FAB
∴∠EAB=∠CAF
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴∠B=∠C，BE=CF．
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
6．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】【分析】【详解】
要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.
7．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角,如图所示,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OD=OE,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与D,E重合,这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是(??)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
【解析】【分析】由三边对应相等得△DOF≌△EOF，即由SSS判定两个三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【详解】
依题意知，
在△DOF与△EOF中，
，
∴△DOF≌△EOF（SSS），
∴∠AOF=∠BOF，
即OF即是∠AOB的平分线．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝(
)
A．60°
B．55°
C．50°
D．无法计算
【答案】B
【解析】试题解析：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠1=∠EAC，
在△BAD和△EAC中，
，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴∠2=∠ABD=30°，
∵∠1=25°，
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，
故选B．
9．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论中正确的是( )
①△BCD为等腰三角形；②BF＝AC；③CE＝BF；④BH＝CE，
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【解析】分析：
根据“等腰三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质”结合“已知条件”进行分析解答即可.
详解：
（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CDA=90°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，
∴BD=CD，
∴△BCD是等腰三角形，即结论①成立；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CDA=90°，
∴∠ABF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF=AC，即结论②成立；
（3）∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴∠BEA=∠BEC=90°，∠ABE=∠CBE，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE=AC，
∴CE=BF，即结论③成立；
（4）∵BD=CD，DH⊥BC，
∴BH=BC，
∵CE=AC，且不能确定AC=BC成立，
∴不能确定BH=CE成立，即结论④不一定成立.
综上所述，4个结论中成立的是①②③.
故选C.
【点评】这是一道综合考查“等腰三角形和全等三角形”的题目，熟悉“等腰三角形的判定方法和相关性质及全等三角形的判定方法和性质”是正确解答本题的关键.
10．如图，∠ACB=900，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE=（
）
A．1cm
B．0.8cm
C．4.2cm
D．1.5cm
【答案】B
【解析】【详解】
解：
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE=2.5cm，BE=CD，
∵CD=CE?DE=2.5?1.7=0.8cm，
∴BE=0.8cm.
故选B.
11．在△ABC
中，∠B=∠C，与△ABC
全等的三角形有一个角是
120°，那么在△ABC
中与这个
120°的角对应相等的角是（
）
A．∠A
B．∠B
C．∠C
D．∠B
或∠C
【答案】A
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是120°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
【详解】
解：在△ABC中，∵∠B=∠C，
∴∠B、∠C不能等于120°，
∴在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是∠A．
故选A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质，三角形的内角和等于180°，根据∠B=∠C判断出这两个角都不能是120°是解题的关键．
12．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．
【详解】
∵两个三角形全等，
∴∠α=50°．
故选：D．
【点评】此题考查全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．
二、填空题
13．如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______.
【答案】50
【解析】【分析】根据∠F=∠AGB=∠EAB=90°，证明∠FEA=∠BAG，再根据AAS证△FEA≌△GAB，推出AG=EF=6，AF=BG=2，同理CG=DH=4，BG=CH=2，求出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD－S△EFA－S△ABC－S△DHC和面积公式代入求出即可．
【详解】
∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，
∴∠FEA=∠BAG，
在△FEA和△GAB中，，
∴△FEA≌△GAB(AAS)，
∴AG=EF=6，AF=BG=2，
同理可证：△CBG≌△DCH(AAS)，
∴CG=DH=4，BG=CH=2，
∴FH=2+6+4+2=14，
∴梯形EFHD的面积=×(EF+DH)×FH=×(6+4)×14=70，
∴阴影部分的面积=S梯形EFHD?S△EFA?S△ABC?S△DHC
=70?×6×2?×(6+4)×2?×4×2
=50.
故答案为50.
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法及性质是解题关键.
14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为____________．
【答案】5
【解析】【分析】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知△CDF≌△EDG，从而有CF=EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，根据BC=BF+CF求解．
【详解】
解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，
由旋转的性质可知CD=ED，
∵∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°，
∴∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90°，
∴△CDF≌△EDG，∴CF=EG，
∵S△ADE=AD×EG=3，AD=2，
∴EG=3，则CF=EG=3，
依题意得四边形ABFD为矩形，∴BF=AD=2，
∴BC=BF+CF=2+3=5．
故答案为5．
15．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形．
【答案】3
【解析】试题分析：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为3．
考点：角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
16．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_____．
【答案】2
【解析】【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
【详解】
解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=8，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴12-8＜2AD＜12+8，
∴2＜AD＜10，
故答案为2＜AD＜10．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．
三、解答题
17．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D，
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠D=75°．
【解析】【分析】（1）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD；
（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
在△ABE和△DCF中，∠A＝∠D
∠C＝∠B
AE＝DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AB=CD．
解：（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，
∵AB=CF，
∴CD=CF．
∴△CDF是等腰三角形，
∵∠C=∠B=30°,
∴∠D=×(180°?30°)＝75°．
【点评】考核知识点：全等三角形，等腰三角形判定.
18．如图:
是的高，为上一点，交于,且有.
求证:.
【答案】见解析
【解析】【分析】由题中条件可得,得出对应角相等,再通过角之间的转化,进而可得出结论.
【详解】
证明:,
,
,
,
,
,
,
，
即.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
19．已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD，求证：CF=DF．
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】如图，连接AC，AD，先证明△ABC≌△AED，然后根据全等三角形的对应边相等可得AC=AD，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可证得．
【详解】
解：如图，连接AC，AD，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，
∵AF⊥CD，
∴CF=DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】AF=BF+EF，理由见解析．
【解析】【分析】DE＝BF＋EF，根据已知条件易证△ABF≌△DAE，由全等三角形的性质可得BF＝AE，AF＝DE，根据图中相关线段的和差关系得到DE＝BF＋EF．
【详解】
解：AF＝BF＋EF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠DAB＝∠ABC＝90°.
∵DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，
∴∠DEA＝∠DEF＝∠AFB＝90°，
∴∠ADE＋∠DAE＝90°.
∵∠DAE＋∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF.
在△ABF和△DAE中，
∵
∴△ABF≌△DAE(AAS)．
∴BF＝AE，AF＝DE.
∵AF＝AE＋EF，
∴AF＝BF＋EF
21．如图，点A，C，D，B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．
【答案】证明见解析
【解析】【分析】根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．
【详解】
∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
∴AD=BC，
在△AED和△BFC中，
，
∴△AED≌△BFC（ASA），
∴DE=CF.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
22．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果?，?，那么?”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
【答案】见解析
【解析】解：(1)命题1：如果①，②，那么③；命题2：如果①，③，那么②
(2)命题1的证明：
∵①AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵②AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，
AC＝DB，∴△AEC≌△DFB(AAS)，
∴CE＝BF③(全等三角形对应边相等)；
命题2的证明：
∵①AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△AEC和△DFB中，
∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，
③CE＝BF，∴△AEC≌△DFB(AAS)，
∴AC＝DB(全等三角形对应边相等)，则AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD②.
注：命题“如果②，③，那么①”是假命题．
23．如图，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°.
求证：BE＋DF＝EF.
【答案】证明见解析
【解析】【分析】延长CD到G，使DG=BE，利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AE，全等三角形对应角相等可得∠DAG=∠BAE，然后求出∠EAF=∠GAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后结合图形整理即可得证．
【详解】
证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG.
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，
所以∠ADG＝∠B.
在△ABE和△ADG中，,
所以△ABE≌△ADG(SAS)．
所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
因为∠EAF＝45°，
所以∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.
所以∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，,
所以△AEF≌△AGF(SAS)．
所以EF＝GF.
所以EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF，
即BE＋DF＝EF.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记三角形全等的判定方法和正方形的性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,
CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形
【解析】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．
∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．
∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．
又AB="AC"
，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
∴DE="AE+AD="
BD+CE．
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA
=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD
+∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE．
∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）△DEF为等边三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA
=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．
∴△DEF为等边三角形．
（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．
（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．
（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA
=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．
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精品试卷·第
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