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第15章
轴对称图形与等腰三角形
单元检测（2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（ ）
A．32
B．64
C．128
D．256
2．将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列图形不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是
A．18cm
B．21cm
C．18cm或21cm
D．无法确定
5．如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连按PQ．下列结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；⑤DE＝DP．其中正确的有
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
6．如图，在△ABC中，∠A＞∠ABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC、BC于点D、E，则AD＋BD与BC的关系是
A．AD＋BD＞BC
B．AD＋BD＜BC
C．AD＋BD＝BC
D．不能确定
7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
8．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n＝( )
A．2
B．－2
C．0
D．3
9．如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形ABCD，∠ACB=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点，若AB=
6cm，点D′到BC的距离是（??
）
A．
B．
C．
D．
10．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边的距离相等，则点P应是△ABC的下列哪三条线段的交点（ ）
A．高
B．中线
C．垂直平分线
D．角平分线
11．已知等腰△ABC中，AD垂直于直线BC，垂足为点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为( )
A．45°
B．75°
C．45°或75°或15°
D．60°
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3
cm，则AB的长度是( )
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
二、填空题
13．在三角形纸片中，，，点（不与，重合）是上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若的长度为，则的周长为__________．（用含的式子表示）．
14．如图，直线与轴，轴分别交于两点，把沿着直线翻折后得到，则点的坐标是
___________
.
15．如图，AD是△ABC的中线，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面________cm2．
16．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．
三、解答题
17．已知：如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，且，垂足为点，过点作交的延长线于点，联结.
（1）求证：；
（2）连接，试判断的形状，并说明理由.
18．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？
19．如图，在△ABC中，∠A=90°，BC的垂直平分线交BC于E，交AC于D，且AD=DE
（1）求证：∠ABD=∠C；
（2）求∠C的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A1的坐标为
；
（2）将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，其中点B2的坐标为
．
21．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE。
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)如图1，当点D在线段BC上运动时，
①若∠BAC＝48°，则∠BCE＝______度；
②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，(2)②中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明；若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由。
22．如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED交于点D，过点D分别作DM⊥AB于点M，DF⊥AC，交AC的延长线于点F。
(1)猜想CF和BM之间有何数量关系，并说明理由；
(2)求证：AB－AC＝2CF。
23．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
24．如图，两个班的学生分别在C、D两处参加植树劳动，现要在道路AO、OB的交叉区域内(∠AOB的内部)设一个茶水供应点M，M到两条道路的距离相等，且MC＝MD，这个茶水供应点的位置应建在何处？请说明理由。(保留作图痕迹，不写作法)
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第15章
轴对称图形与等腰三角形
单元检测（2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（ ）
A．32
B．64
C．128
D．256
【答案】D
【解析】【分析】据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
【详解】
如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
…
∴△AnBnAn+1的边长为
2n-1，
∴△A9B9A10的边长为29-1=28=256．
故选D．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
2．将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】
严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．
故选A．
【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．
3．下列图形不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；．
故选C
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4．已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是
A．18cm
B．21cm
C．18cm或21cm
D．无法确定
【答案】C
【解析】【分析】解决本题要注意分为两种情况,5为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答.
【详解】
等腰三角形有两边分别是5cm和8cm，此题有两种情况：①5为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为5+8+8=21cm；②8为底边，那么5是腰，则等腰三角形的周长为5+5+8=18cm，∴等腰三角形的周长为21或18cm，故答案为C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及基本概念，利用等腰三角形的性质是解决本题的关键.
5．如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连按PQ．下列结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；⑤DE＝DP．其中正确的有
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】C
【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知④正确；
⑤根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知⑤错误.
【详解】
①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
故①正确；
②∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ；
故②正确；
③∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故③正确；
④∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故④正确；
⑤∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE；
故⑤错误；
综上所述，正确的结论有：①②③④，
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．
6．如图，在△ABC中，∠A＞∠ABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC、BC于点D、E，则AD＋BD与BC的关系是
A．AD＋BD＞BC
B．AD＋BD＜BC
C．AD＋BD＝BC
D．不能确定
【答案】B
【解析】【分析】首先利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD，进而得出AC=AD+BD，进而利用在同一三角形中大角对大边得出即可．
【详解】
∵边BC的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，
∴DB=DC，
∴DB+AD=AC，
∵∠A＞∠ABC，
∴BC＞AC，
∴AD+BD＜BC，
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及同一三角形中角边关系，得出DB+AD=AC是解题关键．
7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【解析】【分析】先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°即可．
【详解】
如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
则AO=OB，AO=OC，
所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC＞90°．
即△ABC是钝角三角形．
故选C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BAC＞∠ABC+∠ACB是解答此题的关键，用了数形结合思想．
8．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n＝( )
A．2
B．－2
C．0
D．3
【答案】C
【解析】【分析】根据关于直线x=m的对称点的横坐标的中点在直线上，纵坐标相等；关于直线y=n的对称点的纵坐标的中点在直线上，横坐标相等，即可得出m，n的值，从而得出结论．
【详解】
点P（2，3）关于直线x=m的对称点的坐标为（－4，3），∴2m=2－4，解得：m=－1，
关于直线y=n的对称点的坐标为（2，－5），∴2n=3－5，解得：n=－1，∴m-n=－1－（－1）=0．
故选C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解题的关键．
9．如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形ABCD，∠ACB=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点，若AB=
6cm，点D′到BC的距离是（??
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分析：连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′，于是得到∠D′BG＝45°，D′G＝GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．
详解：连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，
∵AC垂直平分线ED′，
∴AE＝AD′，CE＝CD′，
∵AE＝EC，∴AD′＝CD′＝4，
在△ABD′和△CBD′中，
AB＝BCBD′＝BD′AD′＝CD′，
∴△ABD′≌△CBD′（SSS），
∴∠D′BG＝45°，
∴D′G＝GB，
设D′G长为xcm，则CG长为（6?x）cm，
在Rt△GD′C中
x2＋（6?x）2＝（4）2，
解得：x1＝3?6，x2＝3＋6（舍去），
∴点D′到BC边的距离为（3?6）cm．
故选C．
【点评】此题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及等边三角形的判定与性质等知识，利用垂直平分线的性质得出点E，D′关于直线AC对称是解题关键．
10．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边的距离相等，则点P应是△ABC的下列哪三条线段的交点（ ）
A．高
B．中线
C．垂直平分线
D．角平分线
【答案】D
【解析】分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．
详解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
11．已知等腰△ABC中，AD垂直于直线BC，垂足为点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为( )
A．45°
B．75°
C．45°或75°或15°
D．60°
【答案】C
【解析】【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数．
【详解】
①如图1，当AB=AC时，
∵AD⊥BC，∴BD=CD，
∵AD=BC，∴AD=BD=CD，∴底角为45°；
②如图2，当AB=BC时，
∵AD=BC，∴AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75°．
③如图3，当AB=BC时，
∵AD=BC，AB=BC，∴AD=AB，∴∠DBA=30°，∴∠BAC=∠BCA=15°；
∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．
故选C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3
cm，则AB的长度是( )
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
【答案】D
【解析】【分析】先求出∠ACD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
【详解】
在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B=30°．
∵AD=3cm．
在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm，
∴AB的长度是12cm．
故选D．
【点评】本题主要考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
二、填空题
13．在三角形纸片中，，，点（不与，重合）是上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若的长度为，则的周长为__________．（用含的式子表示）．
【答案】3a.
【解析】【分析】【详解】
由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，
∴BF=2a，
∵∠B=30°，
∴DF=BF=a，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含30°的直角三角形三边的关系：在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
14．如图，直线与轴，轴分别交于两点，把沿着直线翻折后得到，则点的坐标是
___________
.
【答案】(，3)
【解析】
如图，过点O'作O'C⊥OA，垂足为C.
∵点A是直线与x轴的交点，
又∵当y=0时，，
∴，
∴点A的坐标为(,
0)，
∴OA=.
∵点B是直线与y轴的交点，
又∵当x=0时，，
∴点B的坐标为(0,
2)，
∴OB=2.
∴在Rt△AOB中，.
∵在Rt△AOB中，AB=4，OB=2，即，
∴∠OAB=30°.
∵△AOB沿直线AB翻折得到△AO'B，
∴△AOB≌△AO'B，
∴∠O'AB=∠OAB=30°，O'A=OA=.
∴∠OAO'=∠OAB+∠O'AB=60°，即∠CAO'=60°，
∴在Rt△O'CA中，∠AO'C=90°-∠CAO'=90°-60°=30°，
∴在Rt△O'CA中，，，
∴OC=OA-AC=-=.
∵OC=，O'C=3，
∴点O'的坐标为(,
3).
故本题应填写：(,
3).
【点评】本题综合考查了一次函数和轴对称的相关知识.
在本题中，含30°角的直角三角形是解题的关键.
由轴对称而引入的全等三角形是解决本题的重要条件.
在求解点的坐标的相关题目中，作垂直于坐标轴的线段是常用的辅助线作法.
求解点的坐标常常与求解这些垂直于坐标轴的线段密切相关，要注意这种解题的思路.
15．如图，AD是△ABC的中线，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面________cm2．
【答案】15
【解析】因为AD是△ABC的中线，所以
和
的面积相等，又因为点E，F是AD的三等分点，则
面积相等，所以图中阴影部分的面积为的面积=
.
16．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．
【答案】5
种
【解析】【分析】根据轴对称图形的性质分别得出即可．
【详解】
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1，3，7，6，5，选择的位置共有5处.
三、解答题
17．已知：如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，且，垂足为点，过点作交的延长线于点，联结.
（1）求证：；
（2）连接，试判断的形状，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析.
【解析】【分析】（1）由和证明△DBF=等腰直角三角形，再证明，得，从而证明；
（2）证明，可得，再由（1）知，从而证明，即可说明△ACF的性质.
【详解】
（1）证明：，，
，
∵，
∴∠FEB=90°，
∴∠BFE=45°，
∴△DBF=等腰直角三角形，
∴DB=BF，
∵为的中点，
∴DC=BD，
∴DC=FB，
在△ACD和△CBF中
，
，
，
；
（2）连接，
由（1）知△DBF等腰直角三角形，
，
∴DE=FE，
在△ADE和△AFE中
，
，
由（1）知，
，
，
是等腰三角形.
【点评】本题是对全等三角形的综合考查，熟练掌握全等三角形知识是解决本题的关键，难度适中.
18．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？
【答案】（1）8
（2）56°
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，CE=AE，求出△ADE的周长=BC，即可得出答案；
（2）由∠BAC=118°，即可得∠B+∠C=62°，又由DA=DB，EA=EC，即可求得∠DAE的度数．
【详解】
（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=EC，
∵BC=8，
∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）∵∠BAC=118°，
∴∠B+∠C=62°，
∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠BAD+∠EAC=62°，
∠DAE=
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
19．如图，在△ABC中，∠A=90°，BC的垂直平分线交BC于E，交AC于D，且AD=DE
（1）求证：∠ABD=∠C；
（2）求∠C的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）30°
【解析】【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质可知DB=DC，故此可得到∠C=∠DBC，然后利用角平分线的性质定理的逆定理可得到BD平分∠ABC，故此可证得∠ABD=∠C；
（2）依据∠C+∠ABC=90°求解即可．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，∠A=90°即DA⊥AB且AD=DE，
∴BD平分∠ABC．
∴∠ABD=∠DBC．
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD．
∴∠DBC=∠C．
∴∠ABD=∠C．
（2）∵∠ABC+∠C=90°，∠ABD=∠CBD=∠C，
∴3∠C=90°．
∴∠C=30°．
【点评】本题主要考查的是线段垂直平分线和角平分线的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A1的坐标为
；
（2）将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，其中点B2的坐标为
．
【答案】（1）作图见解析
（-1，2）
（2）作图见解析
（-2，-1）
【解析】【分析】（1）作出A，B，C关于y轴对称点A1，B1，C1，即可解决问题；
（2）作出A1，B1，C1的对称点A2，B2，C2，即可解决问题.
【详解】
（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，其中点A1的坐标为（-1，2）；
故答案为（-1，2）；
（2）△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，B2（-2，-1）；
故答案为（-2，-1）
【点评】本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE。
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)如图1，当点D在线段BC上运动时，
①若∠BAC＝48°，则∠BCE＝______度；
②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，(2)②中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明；若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）证明见解析；（2）①∠BCE=132°；②∠BAC+∠BCE=180°；（3）不成立，∠BAC=∠BCE．
【解析】【分析】（1）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE；
（2）①△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据三角形的内角和可得出结论；
②方法同（1）；
（3）结论不成立，当点D在射线BC的反向延长线上时，∠BAC=∠BCE，画出图形正的答案即可．
【详解】
（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①∵△ABD≌△ACE，∠BAC=48°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BAC=∠BCE+∠BCA=180°，
则∠BCE=132°；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°；
（3）不成立．
如图：
当点D在射线BC的反向延长线上时，∠BAC=∠BCE．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
【点评】本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．
22．如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED交于点D，过点D分别作DM⊥AB于点M，DF⊥AC，交AC的延长线于点F。
(1)猜想CF和BM之间有何数量关系，并说明理由；
(2)求证：AB－AC＝2CF。
【答案】（1）CF=BM，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）连接CD，BD，根据中垂线的性质就可以得出CD=BD，由角平分线的性质就可以得出DF=DM，就可以得出Rt△CDF≌Rt△BDM就可以得出结论；
（2）由条件可以得出Rt△AFD≌Rt△AMD，就可以得出AF=AM，由AB-AC=AB-（AF-CF）=AB-AF+CF，就可以得出结论．
【详解】
（1）CF=BM．
理由：连接CD，DB，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM．∠AFD=∠DMB=90°．
∵DE垂直平分BC，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDM中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM，
∴CF=BM；
（2）在Rt△AFD和Rt△AMD中，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD，
∴AF=AM．
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AF+BM，
∴AB=AC+CF+CF，
∴AB-AC=2CF．
【点评】本题考查了中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
23．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．
【解析】【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
【详解】
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
24．如图，两个班的学生分别在C、D两处参加植树劳动，现要在道路AO、OB的交叉区域内(∠AOB的内部)设一个茶水供应点M，M到两条道路的距离相等，且MC＝MD，这个茶水供应点的位置应建在何处？请说明理由。(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】作图见解析，理由见解析.
【解析】【分析】因为M到两条道路的距离相等，且使MC=MD，所以M应是∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点．
【详解】
如图，
∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点即为茶水供应点的位置．理由是：因为M是∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点，所以M到∠O的两边OA和OB的距离相等，M到C、D的距离相等，所以M就是所求．
【点评】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键．
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精品试卷·第
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