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14.2
全等三角形的判定（重点练）
1．下列选项所给条件能画出唯一的是（
）
A．，，
B．，，
C．，
D．，，
2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（
）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3．如图，AB，CD表示两根长度相等的铁条，若O是AB，CD的中点，经测量AC＝15cm，则容器的内径长为（ ）
A．12cm
B．13cm
C．14cm
D．15cm
4．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=40°，则∠P的度数为（
）
A．100°
B．110°
C．80°
D．90°
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝4，AE＝6，则CH的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，下面几个答案：①AE＝DF，②AE∥DF；③AB∥DC，④∠A＝∠D．其中正确的是_____．
7．如图，已知AB＝12米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于点B，点P从点B出发沿BA方向往点A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿BD方向运动，每秒走2米，若点P、Q同时从点B出发，出发t秒后，在线段MA上有一点C，使由点C、A、P组成的三角形与△PBQ全等，则t的值是_____．
8．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“_____”．
9．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QPA全等．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．
11．如图，点四点在一条直线上，，.老师说：再添加一个条件就可以使.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加；乙说：添加；丙说：添加.
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明.
12．如图，的对角线相交于点分别为的中点．求证：．
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精品试卷·第
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（共
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14.2
全等三角形的判定（重点练）
1．下列选项所给条件能画出唯一的是（
）
A．，，
B．，，
C．，
D．，，
【答案】B
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【详解】
解：A、3+4<8，不能构成三角形，故A错误；
B、，，，满足ASA条件，能画出唯一的三角形，故B正确；
C、，，不能画出唯一的三角形，故C错误；
D、，，，不能画出唯一的三角形，故D错误；
故选：B.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（
）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
【答案】B
【解析】试题分析：先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°．
故选B．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．
3．如图，AB，CD表示两根长度相等的铁条，若O是AB，CD的中点，经测量AC＝15cm，则容器的内径长为（ ）
A．12cm
B．13cm
C．14cm
D．15cm
【答案】D
【解析】【分析】只要证明△AOC≌△BOD，即可推出BD=AC=15cm．
【详解】
解：∵O是AB，CD的中点，AB=CD，
∴OA=OB=OD=OC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴BD=AC=
15cm，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
4．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=40°，则∠P的度数为（
）
A．100°
B．110°
C．80°
D．90°
【答案】A
【解析】∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
∴△AMK≌△BKN(SAS)，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠MKN=40?，
∴∠P=180??∠A?∠B=180°?40°?40°=100°，
故选A.
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKN是解题的关键.
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝4，AE＝6，则CH的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】【分析】根据“AD⊥BC，CE⊥AB”可得∠ADC=∠AEH=∠BEC=90°，从而可以得出∠BAD=∠BCE，从而可以证明△HEA≌△BEC，进而可以得出AE=EC，即可得出答案.
【详解】
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC=∠AEH=∠BEC=90°
∵∠AHE=∠CHD
∴∠BAD=∠BCE，
在△HEA和△BEC中
∴△HEA≌△BEC（AAS）
∴AE=EC
则CH=EC-EH=AE-EH=6-4=2
故答案选B.
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，灵活选用判定方法证明△HEA≌△BEC是解题的关键.
6．如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，下面几个答案：①AE＝DF，②AE∥DF；③AB∥DC，④∠A＝∠D．其中正确的是_____．
【答案】①③．
【解析】【分析】先求出BE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEB＝∠DFC，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】
∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
即BE＝CF，
①在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SSS），故①正确；
②∵AE∥DF，
∴∠AEB＝∠DFC，
根据AB＝CD，BE＝CF和∠AEB＝∠DFC不能推出△ABE≌△DCF，故②错误；
③∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），故③正确；
④根据AB＝CD，BE＝CF和∠A＝∠D不能推出△ABE≌△DCF，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
7．如图，已知AB＝12米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于点B，点P从点B出发沿BA方向往点A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿BD方向运动，每秒走2米，若点P、Q同时从点B出发，出发t秒后，在线段MA上有一点C，使由点C、A、P组成的三角形与△PBQ全等，则t的值是_____．
【答案】4秒
【解析】【分析】分两种情况考虑：当△APC≌△BQP时与当△APC≌△BPQ时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【详解】
当△APC≌△BQP时，AP＝BQ，即12﹣t＝2t，
解得：t＝4；
当△APC≌△BPQ时，AP＝BP＝AB＝6米，
此时所用时间为6秒，AC＝BQ＝12米，不合题意，舍去；
综上，出发4秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
故答案为：4秒．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
8．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“_____”．
【答案】HL
【解析】分析:
需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证△BCD≌△CBE的依据是HL.
详解:
∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为HL.
【点评】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的HL定理.
9．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QPA全等．
【答案】5或10
【解析】【分析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【详解】
解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况：
①当AP=BC=5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP=CA=10时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为5或10．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．
【答案】45
【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．
【详解】
∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
即∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为45．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
11．如图，点四点在一条直线上，，.老师说：再添加一个条件就可以使.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加；乙说：添加；丙说：添加.
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明.
【答案】（1）乙、丙；（2）以添加为例，证明见解析.
【解析】【分析】（1）由AB∥DE可得∠B=∠DEF，结合AB=DE，可知一角一边对应相等，根据三角形全等的判定方法进行判断三个同学的说法即可；
（2）如果选AC∥DF，可得∠F=∠ACB，依据AAS证明全等即可；如果选BE=CF，先证明BC=EF，再根据SAS证明全等即可.
【详解】
（1）根据分析可得乙、丙两位同学说法正确；
（2）如果添加：
证明：
在和中
；
添加条件BE=CF，
证明：
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．如图，的对角线相交于点分别为的中点．求证：．
【答案】见解析
【解析】【分析】利用平行四边形得到，由E、F分别为OC、OA的中点得到OE=OF，由此证明△OBE≌△ODF，得到BE=DF.
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵分别是的中点，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
【点评】此题考查平行四边形的对角线相等的性质，线段中点的性质，利用SAS证明三角形全等，将所证明的等量线段放在全等三角形中证明三角形全等的思路很关键，解题中注意积累方法.
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