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15.4角的平分线（重点练）
1．如图：∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶3∶4，射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝90°，则∠AOB为（
）
A．20°
B．30°
C．40°
D．45°
【答案】B
【解析】【分析】首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的性质列出方程，即可求出∠AOB的度数．
【详解】
解：设∠AOB=2x°则∠BOC=3x°∠COD=4x°，
∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，
∴∠BOM=∠AOB=x°，
∠CON=∠COD=2x°，
又∵∠MON=90°，
∴x+3x+2x=90，
x=15，
∴∠AOB=15°×2=30°．
故选B．
2．已知，如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为（
）
A．
B．3cm
C．
D．2cm
【答案】D
【解析】【分析】过D点作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理得出CD=DE，代入求出即可．
【详解】
如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD=2cm，
∴DE=2cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是(
)
A．
B．AD平分
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】由在△ABC中，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，根据线段垂直平分线的判定与性质以及等腰三角形的判定及性质求解即可求得答案．
【详解】
A.根据题意知，AD是BC边上的垂直平分线，故AB=AC，故A正确；
B.根据A知AB=AC，故△ABC是等腰三角形，且AD是BC边上的垂直平分线，故AD平分∠BAC，故B正确；
C.无法证明AB=BC，故C错误；
D.由于AD⊥BC，AD=BD=CD，故∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，故∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，故D正确.
故选：C.
【点评】此题考查了线段垂直平分线的判定与性质与等腰三角形的性质．掌握相应性质的应用是解此题的关键．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，若AB=8cm，AC=6cm，S△ABC=14cm2，则DF的长为（ ）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
【答案】B
【解析】【分析】根据角平分线的性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵AB=8cm，AC=6cm，S△ABC=14cm2，
∴×8×DF+×6×DE=14，
解得，DF=2，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE??③DE=BE??④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC=EF=BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC=DF，∠FDE=∠CDE，也可得到AD=AF+FD=AB+DC，∠AED=∠AEF+∠FED=
∠BEC=90°，即可判断出正确的结论．
【详解】
过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．
6．已知，如图所示，三条直线AB．CD．EF相交于点O，且，，若OG平分，则___________．
【答案】
【解析】【分析】根据对顶角相等得出∠BOD=20°，根据垂直的定义及角平分线得出∠BOG，从而得出∠DOG．
【详解】
解：∵
∴∠AOC=∠BOD=20°，
∵CD⊥EF，
∴∠DOF=90°
∴∠BOF=∠DOF
-∠BOD
=70°，
∵OG平分∠BOF，
∴∠BOG=35°，
∴∠DOG=55°．
故答案为：55°
【点评】本题利用垂直的定义，对顶角的性质及角平分线的定义计算，难度适中．
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC=7，DE=4，则△ADC的面积等于______．
【答案】14
【解析】【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=4，
∴△ADC的面积=AC?DF=×7×4=14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出AC边上的高是解题的关键．
8．如图，，OC是的平分线，是的平分线，是的平分线……是的平分线，则的度数为________.
【答案】×60°．
【解析】【分析】根据角平分线的定义依次求∠AOC、∠AOC1、∠AOC2、∠AOC3的度数并发现规律，得出结论
【详解】
解：当n=1时，∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB，
∵OC1平分∠AOC，∠AOB=60°，
∴∠AOC1=∠AOC=∠AOB=×60°，
当n=2时，∵OC2是∠AOC1的平分线，
∴∠AOC2=∠AOC1=×60°=×60°，
当n=3时，∵OC3是∠AOC2的平分线，
∴∠AOC3=∠AOC2=×60°，
…
∴∠AOCn=×60°，
故答案为：×60°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线将一个角平分为两个相等的角，并注意书写时的三种表达方式，同时本题还是代数式的规律题，利用依次求出的角的表达式总结规律．
9．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
【答案】1
【解析】【分析】由Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，可得S△ABC=AC?BC=(AC+BC+AB)?r，继而可求得答案．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=AC?BC=(AC+BC+AB)?r，
∴3×4=(3+4+5)×r，
解得：r=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握S△ABC=AC?BC=(AC+BC+AB)?r．
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：AB=_____.
【答案】1：1.5
【解析】【分析】根据角平分线的性质和等腰三角形的性质可求证AD=CD，然后即可得出AD∶AB.
【详解】
解：∵AB∥CD
∴∠DCA=∠CAB
∵AC平分∠DAB
∴∠CAB=∠CAD
=∠DCA
∴AD
=
CD
∵DC∶AB=1∶1.5
∴AD∶AB=1∶1.5
【点评】角平分线的性质和等腰三角形的性质是本题的考点，证明AD=CD是解题的关键.
11．已知，如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，：，
（1）试判断OF与OE的位置关系，并说明理由．
（2）求的度数．
【答案】（1），证明详见解析；（2）105°
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质结合平角的定义得出答案；
（2）利用邻补角的定义，结合角平分线的性质求出即可．
【详解】
（1）结论：．
∵OE平分，OF平分，
∴,
∵直线AB，CD相交于点O，∴．
∵，
．
∴．
（2）∵，
∴设，
则，．
∵，
∴，∴．
∴
∵，
∴
【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键．
12．已知AB//CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E(不与B，D点重合).，.
(1)若点B在点A的左侧，求∠BED的度数(用含的代数式表示).
(2)将线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变.若改变，请求出的度数(用含的代数式表示)；若不变，请说明理由.
【答案】(1)∠BED=
n°+40°；(2)的度数改变，或.
【解析】【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质推出，，根据角平分线的定义得出，，代入可得．
（2）分类讨论，分点E在直线AB，CD之间时，点E在直线AB上方，点E在直线CD的下方三种情况，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义表达出角，代入即可．
【详解】
(1)如图(1)，过点E作.
∵，
∴，
∴，.
∵BE平分，DE平分，，，
∴，，
∴.
(2)的度数改变，或.
当点E在直线AB，CD之间时，过点E作，如图2.
∵BE平分，DE平分，，，
∴，
∵，∴，
∴，，
∴
当点E在直线AB上方时，如图(3)，
此时的平分线与的平分线BF的反向延长线相交于点E，
过点E作.
同理得，.
∵，∴，
∴，，
∴.
当点E在直线CD的下方时，如图(4)，
此时的分线与∠ADC的平分线的反向延长线相交于点E，过E作，
同理得.
综上所述，的度数改变，或
【点评】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，利用平行线的性质及角平分线的定义对角进行替换，进而表达出待求角，因此，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键，对于题（2）要考虑三种情况，注意不能漏解．
13．如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,请说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
【答案】见解析
【解析】先作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,利用角平分线的性质得出CG=CH，再利用面积间的等量代换即可推出结论.
证明：如图,作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,
因为AC为∠BAD的平分线,
所以CG=CH.
因为AB=AD,
所以S△ABC=S△ACD.
又因为AE=DF,
所以S△AEC=S△CDF.
因为S△BCE=S△ABC-S△AEC,S△ACF=S△ACD-S△CDF,
所以S△BCE=S△ACF.
因为S四边形AECF=S△AEC+S△ACF,
所以S四边形AECF=S△AEC+S△BCE.
所以S四边形AECF=S△ABC.
所以四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
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15.4角的平分线（重点练）
1．如图：∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶3∶4，射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝90°，则∠AOB为（
）
A．20°
B．30°
C．40°
D．45°
2．已知，如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为（
）
A．
B．3cm
C．
D．2cm
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是(
)
A．
B．AD平分
C．
D．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，若AB=8cm，AC=6cm，S△ABC=14cm2，则DF的长为（ ）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
5．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE??③DE=BE??④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，如图所示，三条直线AB．CD．EF相交于点O，且，，若OG平分，则___________．
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC=7，DE=4，则△ADC的面积等于______．
8．如图，，OC是的平分线，是的平分线，是的平分线……是的平分线，则的度数为________.
9．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：AB=_____.
11．已知，如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，：，
（1）试判断OF与OE的位置关系，并说明理由．
（2）求的度数．
12．已知AB//CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E(不与B，D点重合).，.
(1)若点B在点A的左侧，求∠BED的度数(用含的代数式表示).
(2)将线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变.若改变，请求出的度数(用含的代数式表示)；若不变，请说明理由.
13．如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,请说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
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