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15.3等腰三角形（基础练）
1．如图所示，已知，等边的顶点B在直线n上，，则∠2的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】先根据平行线的性质得出，，再根据等边三角形的性质和∠1的度数求出∠2的度数即可．
【详解】
过点C作
∵，
∴
∵
∴
∵是等边三角形
∴
∴
∴
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质和平行线的性质，掌握等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
2．如图所示，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是（
）．
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
【答案】D
【解析】【分析】先设
，得到
，
，
，求和即可得到答案．
【详解】
设
∵
∴
∴
∵
∴根据等边三角形的性质得
∴
∴
∴在四边形ABCD中，
，
，
即：∠BCD是最大角，等于150°
故答案为：D．
【点评】本题考查了四边形的角度问题，掌握等边三角形的性质求出各角的度数是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC
的垂直平分线交AB于E，垂足为D，如果
ED＝5，则EC的长为（
）
A．5
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE,故可得出∠B=∠DCE,再由直角三角形的性质即可得出结论.
【详解】
∵在△ABC中,∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED=5，
∴BE=CE，
∠B=∠DCE=30°，
在Rt△CDE中，
∵∠DCE=30°，ED=5,
∴CE=2DE=10.
故答案选D.
【点评】本题考查垂直平分线和直角三角形的性质，熟练掌握两者性质是解决本题的关键.
4．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（
）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．①
B．②
C．③
D．①②③
【答案】D
【解析】【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确．
【详解】
∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是边BC上的中垂线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC，
∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D．
【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．
5．在中，，、是斜边上的高和中线，，则长为（
）.
A．25cm
B．5cm
C．15cm
D．10cm
【答案】C
【解析】【分析】根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE=AE，可求得DE，则可求得BD．
【详解】
∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线，
∴AE=BE=CE=AC=10cm，
∴△ACE为等边三角形，
∵CD⊥AE，
∴DE=AE=5cm，
∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm，
故选：C．
【点评】此题考查直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键．
6．已知等腰三角形的两边长是6cm和10cm，则它的周长为________cm，
【答案】22或26．
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6cm时，②当腰长为10cm时，解答出即可；
【详解】
根据题意，
①当腰长为6cm时,周长=6+6+10=22(cm)；
②当腰长为10cm时,周长=10+10+6=26(cm).
故答案为：22或26.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据性质分情况讨论是解题的关键．
7．已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是_________
【答案】3
【解析】【分析】设腰长为a，则底边长为8-2a，根据三角形三边关系即可求出a的取值范围，从而得出答案．
【详解】
设腰长为a，则底边长为，
根据三角形三边关系定理，有，得：．
因为边长为整数，所以，即腰长为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边的关系，难度不大，关键是根据三角形三边关系求出a的取值范围．
8．已知三角形三个内角的度数之比3:2:1，若它的最大边长是18，则最小边长是______.
【答案】9
【解析】【分析】由三角形内角和定理和三个角的度数比，可求出角度，然后利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可得出结论.
【详解】
根据题意，设三个内角分别为3x，2x，x，
则3x+2x+x=180°
解得x=30°，
∴此三角形的三个内角分别为30°，60°，90°，30°所对的边是最短的边
∴最小边长为最大边长的一半，18÷2=9，
故答案为9.
【点评】本题考查三角形内角和定理以及直角三角形的性质，熟记直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半是关键.
9．已知：，是钝角，，，则__________度.
【答案】30
【解析】【分析】作出图形,过点B作于D,根据三角形的面积求出BD,再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答.
【详解】
解:如图,过点B作于D,
,
,
解得,
,
.
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,三角形的面积,作辅助线并利用三角形的面积求出AC边上的高是解题的关键,作出图形更形象直观.
10．在中，若，则是一个_______三角形.
【答案】等腰
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数即可作出判断.
【详解】
∵∠A=46°，∠B=67°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-46°-67°=67°
，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，
故答案为等腰.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理以及等腰三角形的判定方法是解题的关键.
11．如图所示，在中，，，AD与BE相交于点P，于点Q．
求证：（1）．
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】【分析】（1）先根据推出是等边三角形，则有，然后利用SAS即可证明全等；
（2）由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则，根据含30°的直角三角形的性质即可证明结论．
【详解】
（1），
是等边三角形．
．
，
．
（2），
，
．
．
，
．
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
12．的三边a、b、c有如下关系式：，求证：这个三角形是等腰三角形．
【答案】详见解析．
【解析】【分析】根据平方差公式和提取公因式法将等式的左侧因式分解，然后根据两个式子乘积为0，则必有一个式子为0和a、b、c的实际意义即可得出结论．
【详解】
解：，
．
．
、、是C的三条边，
．
，即，
∴为等腰三角形．
【点评】此题考查的是因式分解的应用，掌握用平方差公式、提取公因式法因式分解和两个式子乘积为0，则必有一个式子为0是解决此题的关键．
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15.3等腰三角形（基础练）
1．如图所示，已知，等边的顶点B在直线n上，，则∠2的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是（
）．
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC
的垂直平分线交AB于E，垂足为D，如果
ED＝5，则EC的长为（
）
A．5
B．8
C．9
D．10
4．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（
）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．①
B．②
C．③
D．①②③
5．在中，，、是斜边上的高和中线，，则长为（
）.
A．25cm
B．5cm
C．15cm
D．10cm
6．已知等腰三角形的两边长是6cm和10cm，则它的周长为________cm，
7．已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是_________
8．已知三角形三个内角的度数之比3:2:1，若它的最大边长是18，则最小边长是______.
9．已知：，是钝角，，，则__________度.
10．在中，若，则是一个_______三角形.
11．如图所示，在中，，，AD与BE相交于点P，于点Q．
求证：（1）．
（2）．
12．的三边a、b、c有如下关系式：，求证：这个三角形是等腰三角形．
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