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15.3等腰三角形（重点练）
1．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③等腰三角形是特殊的等边三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，在△ABC和△A′B′C中，△ABC≌△A′B′C，AA′∥BC，，，则，满足关系(
)
A．
B．
C．
D．
3．如图，直线a||b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直b上，把△ABC沿BC方向平移BC长度的一半得到△A'B'C'（如图①）：持续以上的平移得到图②，再持续平移以上的图案得到③，…第2019个图形中等边三角形的个数（ ）
A．8076
B．6058
C．4038
D．2019
4．如图,，，，是的中点的中点，那么下列结论中不正确的是（
）.
A．
B．
C．
D．
5．如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则等于（
）．
A．
B．
C．5
D．4
6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°
，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC=______．
7．如图，是的边上的高，是边上的中线，且，则______°.
8．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是________．
9．如下图，已知S△ABC=12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是_______________
10．边长为2的正三角形的一边在x轴的正半轴上,一个顶点为坐标原点,则第三个顶点的坐标为
________.
11．如图，在中，已知是的中点，，求证：．
12．如图，在已知中，，点在上，过点的直线分别交于点，交的延长线于点，且．求证：．
13．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．
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15.3等腰三角形（重点练）
1．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③等腰三角形是特殊的等边三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定一一判断即可．
【详解】
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的分类，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，在△ABC和△A′B′C中，△ABC≌△A′B′C，AA′∥BC，，，则，满足关系(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】根据△△，证得,=,再利用∥BC得到=，再根据三角形内角和定理即可得到结论.
【详解】
∵△△，
∴,∠ACB=,
∴,=,
∵∥BC,
∴=,
∴,
故选：C.
【点评】此题考查旋转图形的性质，等腰三角形的性质，两直线平行内错角相等，三角形的内角和定理.
3．如图，直线a||b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直b上，把△ABC沿BC方向平移BC长度的一半得到△A'B'C'（如图①）：持续以上的平移得到图②，再持续平移以上的图案得到③，…第2019个图形中等边三角形的个数（ ）
A．8076
B．6058
C．4038
D．2019
【答案】A
【解析】【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第2019个图形中等边三角形的个数．
【详解】
如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，
∴B′O＝AB，CO＝AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第2019个图形中等边三角形的个数是：2×2019+2×2019＝8076．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．
4．如图,，，，是的中点的中点，那么下列结论中不正确的是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】已知EA=AB=2BC，且D是AB中点，那么AD=BC，进而可证得△AED、△BAC全等，可根据这个条件进行判断．
【详解】
∵EA=AB=2BC，AB=2AD，
∴AD=BC；
又∵EA⊥AB，BC∥EA，即∠EAD=∠B=90°，
∴Rt△EAD≌Rt△ABC，
∴DE=AC；
又∠EAF、∠ADF同为∠FAD的余角，
∴∠EAF=∠ADE；
故A、B、D的结论都正确；
Rt△CAB中，AB=2BC，而不是AC=2BC（含30度角的直角三角形，直角边等于斜边的一半），所以∠CAB≠30°，因此C的结论是错误的；
故选：C．
【点评】此题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，解题关键在于掌握各性质定义．
5．如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则等于（
）．
A．
B．
C．5
D．4
【答案】D
【解析】【分析】过P作PH⊥MN，垂足为H，根据等腰三角形的性质可求得MH的长，然后在直角△OPH中利用30°角的性质可得OH的长，问题即得解决.
【详解】
解：过P作PH⊥MN，垂足为H，
∵PM=PN，MN=2，∴MH=1，
∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴HO=PO，
∵OP=10，∴HO=5，∴MO=4.
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键.
6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°
，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC=______．
【答案】6cm
【解析】【分析】根据∠C＝90°，∠A＝30°，易求∠ABC＝60°，而BD是角平分线，易得∠ABD＝∠DBC＝30°，根据△BCD是含有30°角的直角三角形，易求BD，然后根据等角对等边可得AD＝BD，从而可求AC．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
在Rt△BCD中，BD＝2CD＝4cm，
又∵∠A＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BD＝4cm，
∴AC＝6cm．
故答案为6cm．
【点评】本题考查了角平分线定义、等角对等边、直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，解题的关键是求出BD，难度适中．
7．如图，是的边上的高，是边上的中线，且，则______°.
【答案】30
【解析】【分析】过E作EF⊥BC于F，证出△ADC≌△EDC，得到AD=DE，根据CE是AB边上的中线，得到AE=BE，根据角平分线的性质得到EF=DE，由可得结论.
【详解】
如图，过E作EF⊥BC于F，
∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠EDC=90°，
在△ADC与△EDC中,
∴△ADC≌△EDC（ASA），
∴AD=DE，
∵CE是AB边上的中线，
∴AE=BE，
∵∠DCE=∠ECB，
∴EF=DE，
∵DE=AE=BE=EF，
∵在直角三角形BEF中，
EF=BE
∴∠B=30°
故答案为：30°.
【点评】本题考查了三角形中角平分线，中线的性质，根据角平分线的性质作出辅助线，利用直角三角形中直角边与斜边的关系推出角度是关键.
8．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是________．
【答案】150°
【解析】【分析】首先由OA=OB=OC，得出∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=140°，进而由四边形内角和定理得出，∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°，再利用四边形内角和从而可得出答案．
【详解】
解：∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，
∵∠ABC=∠OBA+∠OBC=70°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=140°，即∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°，
又∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，即∠ABC+∠OCB+∠OCD+∠ADC+∠DAO+∠OAB=360°，
∵∠ADC=70°，∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°，
∴∠DAO+∠DCO=360°-140°-70°=150°．
故答案为：150°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是得出∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°，进而求出∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°是解决问题的关键．
9．如下图，已知S△ABC=12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是_______________
【答案】6
【解析】【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．
【详解】
如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC=×12=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键．
10．边长为2的正三角形的一边在x轴的正半轴上,一个顶点为坐标原点,则第三个顶点的坐标为
________.
【答案】(1,
)
【解析】【分析】根据△ABO是等边三角形,边长为2,即OA=OB=2,根据点A在x轴的正半轴上,
过点B作BC⊥OA于C,由等边三角形三线合一的性质可求得OC的长,在Rt△BOC中,根据勾股定理可求出BC的长;结合点B的第一象限,OC,BC已知,即可解答.
【详解】
解:根据题意画出示意图,过点B作BC⊥x轴交x轴正半轴于点C.
∵
△ABO是等边三角形,且边长为2
∴
OA=OB=2
(等边三角形各边都相等)
∵
BC⊥OA
∴
BC是△ABO的中线
(三线合一)
∴
AC=OC=1
∵
在Rt△BOC中,OC=1,OB=2
∴
BC=
=
(直角三角形勾股定理求值)
∵
点B在第一象限
∴
点B的坐标为(1,
)
∴
第三个顶点即点B的坐标为(1,
)
故答案为(1,).
【点评】此题考查等边三角形的性质，解题关键在于画出图形.
11．如图，在中，已知是的中点，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】【分析】延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM.构造出两三角形全等，可得MD=DF，三角形EFM中，ED⊥MF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分线，可得EM=EF，最后根据三角形三边的关系即可证明.
【详解】
证明：延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM.
∵是的中点，
∴．
在与中，
，
∴≌（SAS）
∴．
在中，．
又∵，，
∴．
∴，即．
【点评】本题考查了全等三角形和三角形三边关系；做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.
12．如图，在已知中，，点在上，过点的直线分别交于点，交的延长线于点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】【分析】过点作交于，根据平行的性质可得，，再根据等边对等角可得，进而得到，再根据等角对等边可得BE=GE，从而得到GE=CF，利用AAS证得≌，根据全等三角形的性质可得DE=DF.
【详解】
证明：过点作交于
∴，
∵
∴
∴
∴．
又∵
∴．
∵在和中
，
∴≌（AAS）．
∴．
【点评】本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.
13．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】【分析】连结、，根据等腰三角形得到，利用SAS证明△BEF与△CFG全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.
【详解】
证明：连接、
∵
∴．
在与中，
，
∴≌（SAS）．
∴．
∵是的中点，
∴．
【点评】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.
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