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15.2线段的垂直平分线（基础练）
1．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（
）
A．7
B．8
C．12
D．13
【答案】B
【解析】【分析】根据题意可以知道MN为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=5，因此可以求出BC的长度．
【详解】
解：∵顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧
∴MN为AB的垂直平分线
∴AD=BD=5
∵BC=BD+CD
∴BC=AD+CD=5+3=8
故选B．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的画法以及垂直平分线的性质，能够准确的将线段进行转化是解决本题的关键．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC＝（ ）
A．25cm
B．45cm
C．50cm
D．55cm
【答案】C
【解析】【分析】由垂直平分线的性质可求得AD＝BD，则△ACD的周长可化为AC+CD+BD，即AC+BC，可求得答案．
【详解】
解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝50，
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC
的垂直平分线交AB于E，垂足为D，如果
ED＝5，则EC的长为（
）
A．5
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE,故可得出∠B=∠DCE,再由直角三角形的性质即可得出结论.
【详解】
∵在△ABC中,∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED=5，
∴BE=CE，
∠B=∠DCE=30°，
在Rt△CDE中，
∵∠DCE=30°，ED=5,
∴CE=2DE=10.
故答案选D.
【点评】本题考查垂直平分线和直角三角形的性质，熟练掌握两者性质是解决本题的关键.
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（
）
A．?ABC三条角平分线的交点
B．?ABC三条中线的交点
C．?ABC三条垂直平分线的交点
D．?ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】【分析】由于凉亭到草坪三个顶点的距离相等,所以根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,可知是三条边的垂直平分线的交点.由此即可确定凉亭位置.
【详解】
∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条垂直平分线的交点．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
5．平面内到不在同一条直线上的三个点、、的距离相等的点有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】B
【解析】【分析】平面内不在同一条直线的三个点组成一个三角形．到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，而三角形三边的垂直平分线交于一点．
【详解】
解：到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，
到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，
到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，
而三角形三边的垂直平分线交于一点．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线交于一点．
6．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】根据，得∠A＝∠ACB＝75°，根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，求得∠DCE＝∠B＝30°，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB＝BC，∠B＝30°，
∴∠A＝∠ACB＝75°，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∴∠DCE＝∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠DCB＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
7．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】【分析】本题考察等腰三角形的判定，全等三角形的判定，若对概念很熟悉则可快速选出正确答案.
【详解】
由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A可以；
由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B可以；
由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC，AB=BC或AC=BC，故C不可以；
由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D可以；
故选C．
【点评】等腰三角形往往考查的比较多的就是三线合一，而由三线证等腰也是常考题型.
8．如图，中，∠ACB=90°,∠B=22.5°,的垂直平分线交于，则下列结论不正确的是（?）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】由垂直平分线可得，AD=DB，∠B=∠DAB=22.5°，∴∠CDA=45°，∴
△ACD为等腰直角三角形.则可选出正确答案.
【详解】
∵∠ACB=90°，∠B=22.5，
∴∠BAC=180°-90°-22.5°=67.5°，
又AB的垂直平分线交BC于D，
∴DB=DA，故选项C正确；
∴∠BAD=∠B=22.5°，
∴∠DAC=67.5°-22.5°=45°，选项B正确，
∠ADC=22.5°+22.5°=45°，选项A正确，
在直角三角形ACD中，
∵AD＞CD，又AD=BD，
∴BD＞CD，选项D错误，
则不正确的选项为D．
故选D．
【点评】垂直平分线往往都伴随着考查等腰三角形.
9．如图，△ABC
中，∠BAC＝108°，E，G
分别为
AB，AC
中点，
且
DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．
【答案】36
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，得到∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，计算即可．
【详解】
∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∵DE、FG分别垂直平分线段AB、AC，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAE＋∠FAC＝72°，
∴∠DAF＝∠BAC?（∠DAE＋∠FAC）＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若与的周长分别是，，则______．
【答案】
【解析】【分析】根据周长的定义和垂直平分线的性质计算．
【详解】
解：∵AB＝AC，△ABC周长是26cm
∴2AC＋BC＝26
∵E在AB的垂直平分线上
∴AE＝BE
∵△BCE的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝18
∴AC＝26?18＝8cm．
故答案为：8
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等是解题的关键．
11．如图，直线MN⊥线段AB，交点为O，AO＝BO，则MN是AB的_______．
【答案】垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的定义即可解答.
【详解】
∵直线MN⊥线段AB，交点为O，AO＝BO，
∴MN是AB的垂直平分线.
故答案为：垂直平分线.
【点评】本题考查了线段垂直平分线的定义，熟知经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线是解决问题的关键.
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为________cm。
【答案】24
【解析】【分析】根据DE是AC的垂直平分线知AD=CD,AE=EC=5cm,由△ABD的周长为14cm得AB+BD+AD=14，再利用等量代换可求出△ABC的周长.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD,AE=EC=5cm,
∴AC=10cm
∵△ABD的周长为14cm
∴AB+BD+AD=14，
△ABC的周长为AB+BC+AC=
AB+
BD+
CD+AC=
AB+BD+AD+AC=14+10=24cm.
【点评】此题主要考察垂直平分线的应用，准确找到等量替换是关键.
13．如图，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A．求证：点M在BN的垂直平分线上．
【答案】证明见解析
【解析】【分析】先利用两角互余的性质得出，，再由对顶角相等可得出，因为可知，故，由此可得出结论.
【详解】
证明：∵∠B＋∠A＝90°，∠N＋∠CPN＝90°，
又∵∠CPN＝∠MPA＝∠A，
∴∠B＝∠N，
∴BM＝MN，
∴点M在BN的垂直平分线上．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
14．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥CD，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。
证明：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD。
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【详解】
（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC＋AD（等量代换）．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15．如图，M村、N村坐落在笔直的公路上，一条小河l在M村，N村同侧沿直线流过，现要在小河边修一座灌溉水坝P，要求水坝到M村、N村的距离相等，你认为水坝P应该修在什么位置，请在图中将P点画出来．
【答案】见解析
【解析】分析：作线段MN的垂直平分线与l的交点即为P点．
详解：
如图所示：
点P就是所求的点．
【点评】本题主要考查的是线段中垂线的作法与性质，属于基础题型．要使得到两个点的距离相等，只要连接两点，然后作线段的中垂线即可．
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15.2线段的垂直平分线（基础练）
1．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（
）
A．7
B．8
C．12
D．13
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC＝（ ）
A．25cm
B．45cm
C．50cm
D．55cm
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC
的垂直平分线交AB于E，垂足为D，如果
ED＝5，则EC的长为（
）
A．5
B．8
C．9
D．10
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（
）
A．?ABC三条角平分线的交点
B．?ABC三条中线的交点
C．?ABC三条垂直平分线的交点
D．?ABC三条高所在直线的交点
5．平面内到不在同一条直线上的三个点、、的距离相等的点有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
6．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．
B．，
C．，
D．，
8．如图，中，∠ACB=90°,∠B=22.5°,的垂直平分线交于，则下列结论不正确的是（?）
A．
B．
C．
D．
9．如图，△ABC
中，∠BAC＝108°，E，G
分别为
AB，AC
中点，
且
DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．
10．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若与的周长分别是，，则______．
11．如图，直线MN⊥线段AB，交点为O，AO＝BO，则MN是AB的_______．
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为________cm。
13．如图，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A．求证：点M在BN的垂直平分线上．
14．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥CD，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。
证明：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD。
15．如图，M村、N村坐落在笔直的公路上，一条小河l在M村，N村同侧沿直线流过，现要在小河边修一座灌溉水坝P，要求水坝到M村、N村的距离相等，你认为水坝P应该修在什么位置，请在图中将P点画出来．
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