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15.2线段的垂直平分线（重点练）
1．如图，在中，垂直平分，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则，；②若，，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若，，则AB垂直平分PE；④若，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；⑤若，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，D是线段AB，BC垂直平分线的交点，若，则的大小是（
）．
A．
B．
C．
D．
5．如图，在中，，平分交于点，垂直平分交于点．若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是(
)
A．
B．AD平分
C．
D．
7．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED⊥CB于D，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AE=BE
B．CE=AB
C．∠CEB=2∠A
D．AC=AB
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC=61°．
其中正确的有（
）.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图所示，D是线段AB，BC的垂直平分线的交点若，则的度数为________．
10．如图所示，在△ABC中，∠B=80°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C=____
11．和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有______个．
12．如图，是线段的垂直平分线，若，，则四边形的周长是______．
13．如图，在中，，点、在上，且垂直平分，垂直平分．
（1）求的度数；
（2）若，则的度数能否用含的式子来表示？
14．如图，四边形中，，边的垂直平分线经过点，求证：点在的垂直平分线上．
15．如图,中,,,AD平分交OB于D,交AB于E,垂足为F.
(1)求证:;?
(2)若,求的值.
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15.2线段的垂直平分线（重点练）
1．如图，在中，垂直平分，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】先根据DE垂直平分BC，得到∠BDC=，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解．
【详解】
解：∵DE垂直平分BC
∴∠BDC=2∠CDE=2=
∵
∴∠BDC-
故选：A．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线性质和三角形的外角性质，熟练运用性质是解题关键．
2．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则，；②若，，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若，，则AB垂直平分PE；④若，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；⑤若，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】【分析】运用垂直平分线的定理，线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，即可判断①是否正确；运用垂直平分线的逆定理，到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可判断②③④⑤是否正确.
【详解】
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；
②若，，则直线PE是线段AB的垂直平分线；符合性质定理，正确：
③若，，则AB垂直平分PE；不符合性质定理，是错误的;
④若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；
⑤若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的；
故选C.
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的定理对选项进行判断.
3．如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理解答即可．
【详解】
如图：
∵点D为边AB，AC的垂直平分线的交点，
∴DA=DB=DC，
∴∠DAB=∠DBA，∠DAC=∠DCA，
∴∠DBA+∠DCA=∠A，
在△ABC中，∠DBC+∠DCB=180°-（∠DAB+∠DBA+∠DAC+∠DCA）=180°-2∠A，
在△DBC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（180°-2∠A）=2∠A，
即∠BDC=2∠A=100°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．
4．如图所示，D是线段AB，BC垂直平分线的交点，若，则的大小是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】连接BD．根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD=CD，根据等边对等角，得∠A=∠ABD，∠C=∠CBD．根据∠ABC=150°和四边形的内角和定理，即可求得∠ADC的度数．
【详解】
连接BD.
∵D是线段AB、BC垂直平分线的交点，
∴AD=BD，BD=CD.
∴∠A=∠ABD，∠C=∠CBD.
又∠ABC=150°，
∴∠ADC=360°?150°×2=60°.
故选A.
【点评】本题主要考察线段垂直平分线的性质，解题关键是连接BD根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD=CD.
5．如图，在中，，平分交于点，垂直平分交于点．若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】由条件可知AD=3，通过垂直平分线的性质定理可知BD=AD，再由角平分线的性质定理可知DE=DC，即可求得BC的长.
【详解】
解：∵，
∴，
∵垂直平分交于点，
∴，
∵平分交于点，，垂直，
∴，
∴，
故选：D.
【点评】本题主要考查了角平分线性质定理以及垂直平分线的性质定理.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是(
)
A．
B．AD平分
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】由在△ABC中，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，根据线段垂直平分线的判定与性质以及等腰三角形的判定及性质求解即可求得答案．
【详解】
A.根据题意知，AD是BC边上的垂直平分线，故AB=AC，故A正确；
B.根据A知AB=AC，故△ABC是等腰三角形，且AD是BC边上的垂直平分线，故AD平分∠BAC，故B正确；
C.无法证明AB=BC，故C错误；
D.由于AD⊥BC，AD=BD=CD，故∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，故∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，故D正确.
故选：C.
【点评】此题考查了线段垂直平分线的判定与性质与等腰三角形的性质．掌握相应性质的应用是解此题的关键．
7．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED⊥CB于D，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AE=BE
B．CE=AB
C．∠CEB=2∠A
D．AC=AB
【答案】D
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质及三角形的内角和即可推得．
【详解】
∵CE=EB，∴∠B=∠BCE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠A+∠B=90°．
∴∠A=∠ACE．
∴AE=CE=EB．
故选项A、B都正确；
∵∠ACB=90°，ED⊥CB，
∴AC∥ED．
则∠A=∠DEB，∠CED=∠ACE．
又∠A=∠ACE，
∴∠CEB=2∠A．
故选项C正确；
当∠B=30°或∠A=60°时，选项D才成立．
故选D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定、平行线的判定和性质等知识点，难度不大．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC=61°．
其中正确的有（
）.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据直角三角形的高的定义可得②正确，然后计算出∠CAD=∠DAB=29°，可得AD≠BD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此③错误，根据三角形内角和可得④正确．
【详解】
解：根据作法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，
∴CD是△ADC的高，故②正确；
∵∠C=90°，∠B=32°，
∴∠CAB=58°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠DAB=29°，
∴AD≠BD，
∴点D不在AB的垂直平分线上，故③错误；
∵∠CAD=29°，∠C=90°，
∴∠CDA=61°，故④正确；
共有3个正确，
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的做法和线段垂直平分线的判定定理．
9．如图所示，D是线段AB，BC的垂直平分线的交点若，则的度数为________．
【答案】100°
【解析】【分析】连接BD延长到点E，根据线段垂直平分线的性质可得出，再利用三角形外角定理得出即可得出答案．
【详解】
解：连接BD延长到点E，
∵D是线段AB，BC的垂直平分线的交点
∴BD=AD，BD=DC，
∴
∴
∴
故答案为：100．
【点评】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，根据题意作出合理的辅助线是解此题的关键．
10．如图所示，在△ABC中，∠B=80°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C=____
【答案】40°
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=CD，根据等边对等角的性质可得∠DAC=∠C，由∠BAD：∠BAC=1：3可知∠BAC=∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠C的度数即可．
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C，
∵∠BAD：∠BAC=1：3，∠BAD+∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠C+∠DAC
+∠B=180°，
∵∠B=80°，
∴∠C+∠C+80°=180°，
解得：∠C=40°，
故答案为：40°
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的内角和为180°；熟练掌握相关性质和定理是解题关键．
11．和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有______个．
【答案】2
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得和已知线段的两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，分别讨论定长m>PO、m=PO和m
【详解】
如图，直线CD为相等AB的垂直平分线，过定点P作PO⊥CD，设定长为m，
∵已知线段的两端点距离相等的点在AB的垂直平分线上，
∴所求的点在直线CD上，
∴当m>PO时，与CD有2个交点，
当m=PO时，与CD有1个交点，
当m∴已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有2个，
故答案为：2
【点评】本题考查本题考查的是点的轨迹，熟练掌握线段垂直平分线的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键.
12．如图，是线段的垂直平分线，若，，则四边形的周长是______．
【答案】7.8
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BC＝AC＝1.6cm，AD＝BD＝2.3cm，即可计算四边形的周长．
【详解】
解：∵CD垂直平分线段BA
∴AD＝DB＝2.3，BC＝AC＝1.6
∴四边形ABCD的周长＝AD＋DB＋BC＋CA＝7.8cm．
故答案为：7.8．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13．如图，在中，，点、在上，且垂直平分，垂直平分．
（1）求的度数；
（2）若，则的度数能否用含的式子来表示？
【答案】（1）；（2）．
【解析】【分析】（1）设∠ADC＝x，∠BEC＝y．则由AF垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得出AC＝AD，由等边对等角得到∠ADC＝∠ACD＝x，同理∠BEC＝∠BCE＝y．在△ACD中，由三角形内角和定理得出2x＋∠CAD＝180°①，同理，2y＋∠CBE＝180°②，①＋②，得2x＋2y＋∠CAD＋∠CBE＝360°③，而∠CAD＋∠CBE＝90°④，④代入③得出x＋y＝135°，再利用三角形内角和定理得出∠ECD＝180°?（x＋y）＝45°；
（2）同（1）求解即可．
【详解】
解：（1）设∠ADC＝x，∠BEC＝y．
∵AF垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝x，
同理∠BEC＝∠BCE＝y．
在△ACD中，∵∠ADC＋∠ACD＋∠CAD＝180°，
∴2x＋∠CAD＝180°①，
同理，2y＋∠CBE＝180°②，
①＋②，得2x＋2y＋∠CAD＋∠CBE＝360°③，
∵∠CAD＋∠CBE＋∠ACB＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠CBE＝90°④，
④代入③，得2x＋2y＋90°＝360°，
∴x＋y＝135°，
∴∠ECD＝180°?（x＋y）＝45°；
（2）由（1）可得2x＋2y＋∠CAD＋∠CBE＝360°，
∵∠CAD＋∠CBE＝180°?∠ACB＝180°?α，
∴2x＋2y＋180°?α＝360°，
∴x＋y＝90°＋α，
∴∠ECD＝180°?（x＋y）＝180°?（90°＋α）＝90°?α．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，难度适中，熟练掌握各知识点并学会综合运用是解答本题的关键．
14．如图，四边形中，，边的垂直平分线经过点，求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析.
【解析】【分析】连接AC，根据垂直平分线的性质求得AB＝AC，进而求得AC＝AD，根据垂直平分线性质定理的逆定理即可证得结论．
【详解】
连接，
∵垂直平分，∴．
∵，∴．∴点在的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，作出辅助线构建等腰三角形是本题的关键．
15．如图,中,,,AD平分交OB于D,交AB于E,垂足为F.
(1)求证:;?
(2)若,求的值.
【答案】（1）见解析；（2）AD-OE=
2.
【解析】【分析】（1）由题意可证△EAF≌△OAF，连接DE，可证AD为EO的垂直平分线，则ED=DO，又可证△BED为等腰直角三角形，则可证得BE=OD；
（2）在AD上截AM=OE，可证得△AMO≌△OEB，可得OD=OM，又因为AD⊥EO，则可得MF=FD，则可得AD-OE=2DF=2.
【详解】
（1）证明：连接DE，
∵OE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFO=90°，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAF=∠OAF，
在△EAF和△OAF中
，
∴△EAF≌△OAF（ASA），
∴AE=AO，∠AEO=∠AOE，
∵AD⊥OE，
∴EF=FO，
∴DE=DO，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠AEO=∠AOE，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠EDB=∠AEO-∠B=90°-45°=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴OD=BE；
（2）解：在AD上截AM=OE，连接OM，
∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAM=22.5°，
∵OD=DE，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠EDB=45°=∠DEO+∠DOE，
∴∠EOB=22.5°=∠OAM，
在△AMO和△OEB中，
，
∴△AMO≌△OEB（SAS），
∴MO=BE=OD，
∵OE⊥AD，
∴DF=MF，
?∴AD-OE=DM=2DF=2.
【点评】往往出现线段和差的时候都需要用到截长补短法，而证明线段相等通常用全等证.
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