北师大版九年级数学上册同步课时训练：1.1 菱形的性质与判定（含答案）

北师大版2020年（秋季）九年级数学上册同步课时训练
1.1 菱形的性质与判定
一．选择题
1．关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．四个角相等 D．对角线互相平分
2．如图，丝带重叠的部分一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
3．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
4．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（　　）
A．96 B．48 C．24 D．12
5．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（　　）
A．2 B．2 C． D．
8．菱形ABCD的周长为40，一条对角线的长为16，则另一条对角线的长为（　　）
A．5 B．10 C．32 D．12
9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．4
二．填空题
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是　 　（只需填一个即可）．
11．已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为　 　cm2．
12．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果菱形ABCD的周长是16，那么EF的长是　 　．
13．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是　 　．
14．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为　 　．
三．解答题
15．如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
16．如图5，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若AC＝2，求菱形ABCD的面积．
17．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连结CE．
（1）求证：∠ECB＝90°；
（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．
18．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．
（1）求证：△BEF≌△DGF；
（2）证明四边形DEBG是菱形．
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．若EC平分∠BEF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若AC＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
20．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在边AB、BC上，△DEF是等边三角形．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若DG⊥AB，AD＝6，AE＝4，求EF的长．
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．解：∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴四个角相等不是菱形的性质，
故选：C．
2．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．又AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC＝90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S＝×6×8＝24．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，
∵∠D＝130°，
∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，
∴∠1＝∠DAB＝25°．
故选：B．
6．解：连接AC，
∵AE垂直平分边BC，
∴AB＝AC，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°，
又∵AF垂直平分边CD，
∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣120°＝60°．
故选：B．
7．解：过点A作AE⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝2，AE＝2．
即边AD与BC之间的距离为2．
故选：B．
8．解：∵菱形ABCD的周长等于40，
∴边长AB＝40÷4＝10，
∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，BD＝16，
∴BO＝8，
∴OA＝＝＝6，
∴AC＝12，
故选：D．
9．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积是：AE?BC＝2．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
10．解：∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）
11．解：连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB＝BC＝2cm，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC＝60°，
∴AM＝ABsin60°＝，
∴此菱形的面积为：2×＝2（cm2）．
故答案为：2．
12．解：在菱形ABCD中，周长为16，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF＝BC＝2，
故答案为：2
13．解：连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，
∵村庄C到公路l1的距离为4千米，
∴CF＝4千米，
∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴CE＝CF＝4千米，
即C到公路l2的距离是4千米．
故答案是：4千米．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，
∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，
∴∠DOA＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OE＝BD＝OD，
∴∠OED＝∠ODE＝20°，
故答案为：20°．
三．解答题（共6小题）
15．证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
16．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝8；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
∴形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×2＝2．
17．证明：（1）∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝90°；
（2）如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AE═ED＝1，
∴∠DAE＝∠EDA，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，
∴BE＝2AE＝2，
∴BD＝BE+DE＝3，
∴BH＝DH＝，
∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，
∴AB＝2AH，BH＝AH，
∴AH＝，AB＝2AH＝，
∴菱形的边长为．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，
∵F是BD的中点，
∴BF＝DF，
在△BEF和△DGF中，，
∴△BEF≌△DGF（AAS）；
（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，
∴BE＝DG，
∵BE∥DG，
∴四边形DEBG是平行四边形，
∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝BE，
∴四边形DEBG是菱形．
19．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE．
∵EC平分∠BEF，
∴∠BEC＝∠FEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
又∵EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵AC＝8，D是AC的中点，
∴EC＝AC＝8＝4．
∵∠BCF＝120°，
∴∠ECB＝∠BCF＝120°＝60°，
又∵在菱形BCEF中，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝CE，
过点E作EG⊥BC于点G，如图：
∴BG＝BC＝4＝2，
∴EG＝＝，
∴S菱形BCFE＝BC?EG＝4×＝．
20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，DC＝DB，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°，DF＝DE，
∴∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF≌△BDE（SAS），
∴BE＝CF；
（2）∴△ABD是等边三角形，DG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝AD＝3，
∴DG＝AG＝3，
∴EG＝AE﹣AG＝1，
在Rt△DGE中，根据勾股定理，得
DE＝＝2，
∴EF＝DE＝2．