北师大版2020年（秋季）九年级数学上册同步课时训练：1.2 矩形的性质与判定（Word版 含解析）

北师大版2020年（秋季）九年级数学上册同步课时训练
1.2
矩形的性质与判定
一．选择题
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等
B．对角线相互垂直
C．对角线相互平分
D．对角互补
2．如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（　　）
A．50
B．48
C．24
D．12
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，BD＝8cm，则CD的长度为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．8cm
D．6cm
5．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（　　）
A．4.2
B．4.5
C．5.2
D．5.5
6．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（　　）
A．4
B．
C．
D．2
7．如图，?ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（　　）
A．BE＝EO
B．EO＝AC
C．AC⊥BE
D．AE＝AF
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任意一点过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是（　　）
A．2
B．2.4
C．3
D．4
二．填空题
9．若直角三角形的两边长分别为1和2，则斜边上的中线长为　
　．
10．矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE＝OD，则∠AOB的度数为　
　．
11．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是　
　（填写一个即可）．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝1，∠BOC＝120°，则BC的长为　
　．
13．在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是　
　．
14．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，联结AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为　
　．
15．如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥12，12与边BC交于点P，若∠1＝36°，则∠BPD＝　
　°．
三．解答题
16．如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点．且DE＝AD．过点A作AF⊥DE交DE于点F．求证：AB＝AF．
17．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO＝1，BO＝2，AB＝．
求证：四边形OCED是矩形．
18．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝3，AD＝2，求四边形BCED的周长．
19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为　
　．
20．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：∵矩形具有的性质：对角线互相平分且相等，对角相等；菱形具有的性质：对角线互相垂直平分，对角相等；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：A．
2．解：∵△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°．
∵AD＝DB，
∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝6．
故选：D．
3．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为10，
∴（3x）2+（4x）2＝102，
解得：x＝2，
∴矩形的两邻边长分别为：6，8；
∴矩形的面积为：6×8＝48．
故选：B．
4．解：∵四边形ABD是矩形，
∴BD＝AC，OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝8cm，
∴OD＝4cm，
∵∠DOC＝∠AOB＝60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴CD＝OD＝4cm，
故选：B．
5．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
6．解：在矩形OABC中，
OB＝AC，
∵B（1，3），
∴OB＝＝，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；
B、EO＝AC时，EF＝AC，
∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；
C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；
D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；
故选：B．
8．解：连接CP，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠PEC＝∠ACB＝∠PFC＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝CP，
当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，
由三角形面积公式得：AC×BC＝AB×CP，
CP＝，
即EF的最小值是＝2.4，
故选：B．
二．填空题（共7小题）
9．解：当2是斜边时，斜边上的中线长为：2×＝1，
当2是直角边时，斜边长＝＝，
∴斜边上的中线长为，
故答案为：1或．
10．解：∵矩形ABCD，
∴OB＝OD，
∵AE⊥BD于点E，OE＝OD，
∴OE＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
故答案为：60°．
11．解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC＝BD或有个内角等于90度．
故答案为：AC＝BD或有个内角等于90度．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∴BC＝＝．
13．解：当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴∠ACB＝∠DCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故答案为：①③④．
14．解：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵CE＝BD，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E＝15°，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°，
∴∠AFB＝∠OBC+∠E＝30°+15°＝45°；
故答案为：45°．
15．解：∵l1∥l2，∠1＝36°，
∴∠ADP＝∠1＝36°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠ADP+∠BPD＝180°，
∴∠BPD＝180°﹣∠ADP＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144．
三．解答题（共5小题）
16．解：∵AD＝AE，
∴∠DAE＝∠AED，
在矩形ABCD中，
AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB，
∵AF⊥DE，AB⊥BC，
∴EA是平分∠BEF，
∴AB＝AF．
17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，AB＝CD＝，
∵将△ABO平移到△DCE，
∴AO＝DE＝1，BO＝CE＝2，
∴CO＝DE，DO＝CE，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵CO2+DO2＝1+4＝5，CD2＝5，
∴CO2+DO2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD．
∵CE＝AC，
∴AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠DAB＝90°，
∴BD＝＝＝，
由（1）得：四边形BCED是平行四边形，
∴DE＝BC＝2，CE＝BD＝，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（2+）＝4+2．
19．解：（1）∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）如图所示，连接CE，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，
∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即32+（6﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故答案为：．
20．（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝3，AD＝4，
∴BD＝5，
∵S△ABD＝AB?AD＝BD?AE，
∴3×4＝5AE，
∴AE＝，
∵AC＝BD＝5，
∴AO＝AC＝，
∵AE⊥BD，
∴OE＝＝＝，
∴△AEO的面积＝＝．