因式分解（二）
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
熟练的使用提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法进行多项式的因式分解；
熟练的使用因式分解进行简便运算；
了解使用配方法、添项（拆项）法、待定系数法来分解因式；
会利用因式分解解决有关的综合题目。
重点难点：
重点：熟练的运用十字相乘法、分组分解法、配方法进行多项式的因式分解；
难点：利用因式分解解决有关的综合题目。
学习策略：
在因式分解最基本的两种方法：提公因式法和公式法的基础上，继续学习根据多项式的特点，选择适当的方法进行因式分解，培养逆向思维的意识。
二、学习与应用
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
(
知识回顾
——
复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
)
（一）把一个多项式化成几个
的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式
.
（二）把多项式分解成两个因式的
的形式，其中一个因式是各项的公因式
，另一个因式是
，即
，而正好是
除以
所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．
（三）公式法因式分解
（1）用平方差公式因式分解：
两个数的
等于这两个数的
与这两个数的
的乘积．如：；
（2）用完全平方公式因式分解：
两个数（整式）的
加上（减去）这两个数（整式）的
的
倍，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：．
(
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者
其它补充填在右栏。
)
知识点一：十字相乘法
在二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a＝a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c＝c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到
，若它正好等于二次三项式
ax2＋bx＋c的一次项系数
，即a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式就可以分解为两个因式__________与__________之积，即ax2＋bx＋c＝_______________________.
要点诠释：
（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：
在上式中，竖向的两个数必须满足关系
，
；斜向的两个数必须满足关系a1c2＋a2c1＝b，分解思路为“看两端，凑中间.”
（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出
，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的
添上.
（3）形如x2＋px＋q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.这时只需考虑如何把常数项分解因数.
例如把x2＋2x－15分解因式，x2＋2x－15______________.
知识点二：分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用_______法和______法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
例如：如何将多项式a2＋2ab＋b2－1分解因式？
分析：多项式的前三项是
，可以先分解然后结合最后一项利用
公式来分解.
a2＋2ab＋b2－1＝
=
=
注：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
五项
六项
知识点三：配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如：x2+3x-40=x2+3x+-
-
40=
(x+)2
-
=
(x+)2
-=[(x+)+][(x+)-]=______________
要点诠释：
把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个多项式整数次幂的形式。其中，用的最多的是配成完全平方式.即公式，要会判断什么是：“”或“”，或“”，怎样从这两项去找出“”，或“从这两项去找出”，或“从去找出和”.
知识点四：添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+___+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(
)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
注意：添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
知识点五：待定系数法
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式的
，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该
，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母
的值，这种因式分解的方法叫做待定系数法.
注：运用待定系数法分解因式首先判断出分解因式的
，然后设出相应整式的字母
，求出字母系数，从而把多项式因式分解.
(
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：十字相乘法
例1．把2x2－7x＋3因式分解.
思路点拨：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的
和
，再分解常数项，分别写在十字交叉线的
和
，然后交叉相乘，求代数和，使其等于
次项系数.具体如下：
分解二次项系数（只取正因数）：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3＝1×3＝3×1＝(－3)×(－1)＝(－1)×(－3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
经过观察，第
种情况是正确有.这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数_______.
解析：
总结升华：
例2．把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
思路点拨：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之___的形式，只有先_______，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把_________看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十个字相乘法分解因式了.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】用十字相乘法分解因式
（1）x4＋6x2＋8
（2）(a＋b)2－4(a＋b)＋3
（3）(x2－3x＋2)(x2－3x－4)－72
（4）x2－3xy＋2y2
答案：
【变式2】用十字相乘法分解因式
（1）2x2－7x＋3
（2）6x2－7x－5
（3）5x2＋6xy－8y2
（4）(x－y)(2x－2y－3)－2
答案：
类型二：分组分解法分解因式
例3．用分组分解法分解因式
（1）a2－2ab＋b2－c2
（2）x3＋x2y－xy2－y3
（3）x5－x4＋x3－x2＋x－1
思路点拨：
（1）经过观察前三项是一个完全平方式，(a－b)2与－c2正好又构造为_______公式的形式，能继续分解；
（2）把第一、二项分为一组，第三、四项分为一组，它们分别提取公因式____和_____，它们的另一个因式都是________，能继续提公因式分解；
（3）这是一个___项式，很显然要先进行_____，此题可分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】对4x2＋2x－9y2－3y运用分组分解法分解因式，分组正确的是：（
）
A.
(4x2＋2x)＋(－9y2－3y)
B.
(4x2－9y2)＋(2x－3y)
C.
(4x2－3y)＋(－9y2＋2x)
D.
(4x2＋2x－3y)－9y2
答案：
【变式2】将x3－x2y－xy2＋y3分组分解，下列的分组方法不恰当的是（
）
A.
(x3－x2y)＋(－xy2＋y3)
B.
(x3－xy2)＋(－x2y＋y3)
C.
(x3＋y3)＋(－x2y－xy2)
D.
(x3－x2y－xy2)＋y3
答案：
【变式3】用分组分解法分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
答案：
类型三：配方法分解因式
例4．分解因式
思路点拨：第一、三项，第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式，进而两者又构成一平方差，因此拆常数项即可.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】分解因式
解：
【变式2】分解因式
解：
类型四：添、拆项法分解因式
例5．分解因式：x4＋4
思路点拨：题目是配完全平方，利用完全平方公式分解因式，在完全平方公式
（a±b）2＝a2±2ab
＋b2中，是配＋2ab呢，还是配－2ab呢？要因题而异.在因式分解中，我们有时根据需要，也可能添上仅符号不同的两项，使它能够使用公式法或提取公因式法继续分解.
解析：
例6．分解因式：x3－9x＋8.
思路点拨：本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧，（1）将常数项8拆成_________，（2）将一次项－9x拆成_____________，（3）将三次项x3拆成______________，（4）添加两项_________.
解法1：
解法2：
解法3：
解法4：
总结升华：
举一反三：
☆【变式】分解因式：
（1）x9＋x6＋x3－3；
（2）(m2－1)(n2－1)＋4mn；
（3）(x＋1)4＋(x2－1)2＋(x－1)4；
（4）a3b－ab3＋a2＋b2＋1.
解：
类型五：待定系数法分解因式
☆例7．分解因式2x2＋5xy－3y2－3x＋5y－2
思路点拨：多项式中的二次项2x2＋5xy－3y2，可以分解成_______________，因此，如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积.那么这两个因式是_______________________________的形式.
和原式对照从而求出m，n的值.
解析：
总结升华：
举一反三：
☆☆【变式1】因式分解2x3－13x2＋3
解析：
☆【变式2】分解因式：x2＋3xy＋2y2＋4x＋5y＋3.
解析：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
(
总结规律和方法
——
强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
)
（一）运用十字相乘法分解因式，可能要多次尝试才能确定二次项系数、常数项的分解形式.
（二）运用分组分解法分解因式时要预先观察和想到分组后各组是否有
．分组不是最后的目的，而是通过分组把问题转化到可以进行再分解因式，直到分到乘积形式且不能再分解为止.
（三）用待定法系数分解因式要先根据己知条件把原式假设为若干个因式的乘积,由这些因式的乘积与原式恒等,利用多项式恒等定理,求出各待定系数的值.该方法的关键是如何判断各因式的形式.
10让更多的孩子得到更好的教育
因式分解（一）
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；
会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。
重点难点：
重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。
难点：因式分解方法的综合应用。
学习策略：
通过观察，归纳出分解因式与整式乘法的关系，并能根据多项式的特点，选择适当的方法进行分解，培养逆向思维的意识。
二、学习与应用
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
(
知识回顾
---
复
习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
)
（一）写出平方差公式和完全平方公式：
平方差公式：．
完全平方公式：．
（二）乘法对加法的分配律：．
（三）分解质因数的概念：把一个数写成几个质数
的形式．
（四）计算下列各式：
（1）(m+4)(m－4)=
；
（2）(y－3)2=
；
（3）3x(x－1)=
；
（4）m(a+b+c)=
；
（5）a(a+1)
(a－1)=
（五）请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：
（1）2－a=
(a－2)；
（2）y－x=
(x－y)；
（3）b+a=
(a+b)；
（4）(b－a)2=
(a－b)2；
（5）－m－n=
(m+n)；
（6）－s2+t2=
(s2－t2).
(
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者
其它补充填在右栏。
)
知识点一：因式分解的概念
把一个多项式化成几个
的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式
，
如：，等。
要点诠释：
（1）因式分解的实质就是把加减形式化成
形式；
（2）因式分解的过程和
的过程正好相反，即因式分解和
是互逆的，可表示为：
多项式：几个因式的乘积；
______________
（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行
（不含有因式了）．
知识点二：公因式的概念
（一）公因式的定义：
在多项式中各项都有的
叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式
，则
就是这个多项式的公因式．
（二）公因式的特点：
（1）公因式的系数是原多项式各项系数的
；
（2）公因式中的字母是
中都含有字母；
（3）公因式字母的次数是相同字母的_____________．
也即：
知识点三：提公因式法分解因式
把多项式分解成两个因式的
的形式，其中一个因式是各项的公因式
，另一个因式是
，即
，而正好是
除以
所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．
要点诠释：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用
，即(ma＋mb＋mc)＝
；
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的
。
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为
，同时多项式的各项都要
。
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：
或
，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。
知识点四：公式法分解因式
（一）用平方差公式因式分解：
两个数的
等于这两个数的
与这两个数的
的乘积．如：
；
注：（1）它与整式乘法中的
公式正好相反．
（2）要注意公式的形式与结构特征：，等号左边两项
号，且每项（不算符号）都能化成一个数或整式的
；右边是这两个数（整式）的
与
的乘积．
（二）用完全平方公式因式分解：
即两个数（整式）的
加上（减去）这两个数（整式）的
的
倍，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：．
其中叫做
．
注：（1）与整式乘法中
正好相反．
（2）形式和结构特征：等号左边为
项式，有两项能化为两个数（整式）的
________；另一项正好是这两个数（整式）的
的
倍，两个平方项的符号
（同
或同
），等号右边是这两个数（整式）的
（
）的平方．
（三）用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，
完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公
式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
（四）理解公式中的字母a、b不仅可以表示
，而且还可以表示单项式，多项式等。
知识点五：分解因式的步骤
（一）如果多项式的各项有
，先提取
；
（二）如果各项没有公因式那就尝试用
；
（三）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其他方法来分解（以后会学到）．
知识点六：因式分解的注意事项
（一）因式分解的对象是
；
（二）最终把多项式化成__________形式；
（三）结果要彻底，即分解到不能再分解
．
(
经典例题-
—
自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：因式分解的概念
例1．下列各式中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？
（1）12x3y2＝3x3·4y2
（2）m(x＋y－z)＝mx＋my－mz
（3）ax＋bxy－xy＝ax＋xy(b－1)
（4）x3y＋xy＝y(x3＋x)
（5）
（6）a2－2ab＋b2＝(a－b)2
（7）a2－b2＝(a＋b)(a－b)
（8）x2－x－6＝(x＋2)(x－3)
思路点拨：由于因式分解的对象是
，而12x3y2是
，所以
不是；由于因式分解是把一个多项式化为几个
的形式，而
恰恰相反，它是把
与
的积化为一个多项式，所以
不是；由于(3)的
的形式，而是将原多项式进行了部分的
，所以
不是；(4)中等号右边的
还可以
，它还没有
，所以
不是；(5)采用的是
，但它提取的是
，这不是
，而我们要求提取的公因式应为
，即
或
，所以
也不是；
均符合因式分解的定义，并且将等式右边的乘积算出来，其结果等于原式，所以
是因式分解．
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】下列从左到右的变形，属于因式分解的有（
）
A、(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6
B、ax－ay－1＝a(x－y)－1
C、8a2b3＝2a2·4b3
D、x2－4＝(x＋2)(x－2)
答案：
总结升华：
【变式2】下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是(
)
A、a(a－b＋1)＝a2－ab＋b
B、a2－a－2＝a(a－1)－2
C、－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)
D、x2－4x－5＝(x－2)2－9
答案：
类型二：提公因式法分解因式
例2．用提公因式法分解下列因式．
(1)21x2y2＋7x2y
(2)－x3y2＋3xy2－12xy
(3)x(x－y)2＋y2(x－y)
思路点拨：（1）：当多项式的某一项和
相同时，注意不要漏掉
，即
。（2）这个多项式的第一项为
，而括号内多项式的首项应为
，所以公因式为
，注意括号内的每一项都要
．（3）把
当作一个因式，利用提公因式法进行分解因式，但注意最后结果应是
，能合并的一定要合并．
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】分解因式（1）
3x2y(x－y)2－6xy2(y－x)2，
（2）3x(x－y)＋2y(y－x)
思路点拨：要找出3x2y(x－y)2与－6xy2(y－x)2的
。因为(y－x)2＝[－(x－y)]2＝
2，所以要先把－6xy2(y－x)2化为
后再找出公因式：_
____________。（2）因为(y－x)＝
，所以公因式为
．
解析：
总结升华：
【变式2】分解因式
15a(a－b)2n＋1－10ab(b－a)2n(n为正整数)。
解析：
【变式3】
计算：（1）
（2）如果，那么代数式的值等于多少？
解析：
类型三：用平方差公式分解因式
例3．对下列多项式进行因式分解：
（1）x2－16
（2）1－25b2
（3）x2y2－z2
（4）
思路点拨:
以上各式均满足使用
分解因式的条件，所以可直接利用
进行因式分解。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】把下列各式分解因式：
（1）－49＋x
（2）4(x＋m)－(x－m)
（3）
x3－x
（4）
x4－y4
解析：
类型四：用完全平方公式分解因式
例4．把多项式（1）25p2＋10pq＋q2；（2）
－x2－4y2＋4xy；（3）9(p－q)2－6(q－p)＋1分解因式。
思路点拨：（1）此题目中含有
个字母，那么这两个字母同公式中的a、b含义是一样的，即25p2、q2是两个单项式且原式中是
与
的平方和的形式，中间一项是它们乘积的____倍．（2）此题没有明显的完全平方形式．但它是一个
次
项式，该式的前两项分别是
、4y2的
，因此如果把
提到前面来就可得
了．（3）解这个题目时，一种可能就是忽略了p－q与q－p的问题，直接把它们看成一个整体，从而错解。另一种可能是注意到了它们的区别，但在符号上出现了错误，如把q－p化成p－q时，没有提出负号，或者把(p－q)2变成(q－p)2的同时，又出现了变负的错误即写成－(q－p)2。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】分解因式:(x2－1)2＋6(1－x2)＋9。
解析：
类型五：提公因式法与公式法的综合应用
例8：因式分解
思路点拨:在分解因式时，一定先要认真观察，不要盲目下笔．通过观察发现多项式含有
，因此先提取公因式
，余下的因式
又可以利用
法继续分解.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】
分解因式
（1）x4－y4；
（2）a3b－ab．
解析：
【变式2】
（1）简便计算20042－4008×2005＋20052
☆（2）已知a2－2a＋b2＋4b＋5＝0，求(a＋b)2005的值。
解析：
【变式3】把–16x4y6＋24x3y5–9x2y4分解因式。
思路点拨：首先这是一个
项式；其次各项有公因式
；最后为了适应
的形式，各项还要
，为此提一个含有“___”的公因式
：
解析：
总结升华：分解因式时有公因式的要先提
，运用公式法分解因式时，首先从多项式的
上区分选择哪种
，然后再从形式上判断是否符合
的特点，进而正确地进行因式分解。
【变式4】已知，，求的值．
思路点拨：根据完全平方公式有，它体现了
，
，
的关系，由题中给出的条件，即可求出
，进一点求出
的值．
解：
总结升华：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
(
总结规律和方法
——
强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
：
)
（一）区分因式分解与整式的乘法
它们的关系是意义上正好
，结果的特征是因式分解是
的形式，整式的乘法是
的形式，抓住这一特征，就不容易混淆因式分解与整式的乘法。
（二）因式分解的两种方法的灵活应用
对于给出的多项式,首先要观察是否有
，有公因式的话，首先要
，然后再观察运用公式或其它方法。
1
11
