人教版 数学 八年级上册13.3等腰三角形教案

等腰三角形
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
通过观察发现等腰三角形的性质；
掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；
理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；
能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；
掌握等边三角形的特征和识别方法；
掌握一般文字命题的解题方法．
重点难点：
重点：等腰三角形的性质与判定．
难点：比较复杂图形、题目的推理证明．
学习策略：
通过轴对称的特征，探索出等腰三角形的性质及判定方法；在等腰三角形的基础上，探索等边三角形的性质和判定，并在此基础上体会“含30°角的直角三角形的性质”．
二、学习与应用
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
(
知识回顾
——
复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
)
（一）由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做
．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看成由另一个图形经过
后得到．
（二）轴对称变换的性质：
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的
、
完全一样．
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于
的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被
垂直平分．
（三）作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：
（1）作出一些关键点或特殊点的
．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．
（四）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是
；
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是
；
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是
．
（五）点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是
；
点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是
．
(
知识
要
点
梳理
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．
)
知识点一：等腰三角形、腰、底边
有两边
的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫
，第三条边叫
，两腰的夹角叫
，底边和腰的夹角叫
．
如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫
三角形，其中AB、AC为
，BC为
，∠A是
，∠B、∠C是
．
知识点二：等腰三角形的性质
（一）性质1：等腰三角形的两个底角
（简称“
”）．
性质2：等腰三角形的顶角
、底边上的
、底边上的
互相重合（简称“
”）．
（二）这两个性质证明如下：
在△ABC中，AB=AC，如图所示．
作底边BC的高AD，则有
∴
Rt△ABD≌
．
∴
∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．
于是性质1、性质2均得证．
（三）说明：
（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：
；
②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角
的又一个重要依据．
（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵
AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴
；或∵
AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴
．
②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的
，通常情况只有
条对称轴．
知识点三：等腰三角形的判定定理
（一）定理内容及证明
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也
（简称“
”），如图所示．
证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则
所以△ABD≌△ACD（AAS）．
所以，AB=AC．
（二）注意：
（1）本定理的符号表示为：在△ABC中，
．
（2）本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．
另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．
知识点四：等边三角形
（一）等边三角形定义：三边都
的三角形叫等边三角形，如图所示．
（二）注意：
（1）由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括
三角形．
（2）等边三角形具有
三角形的一切性质．
知识点五：等边三角形的性质
（一）等边三角形的性质：等边三角形三个内角都
，并且每一个内角都等于
．
（二）理由如下：如上图所示，由AB=AC可得
，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=
．则有∠A=∠B=∠C=
．
注意：这条性质只有等边三角形具有．
知识点六：等边三角形的判定
（一）等边三角形的判定：
（1）三个角都
的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的
三角形是等边三角形．
（二）证明如下：
（1）如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，
；
由∠A=∠C得，
．所以AB=AC=BC．于是判定（1）成立．
（2）如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=
=
，于是∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形；
若∠B=60°，则∠B=
=
，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形．所以判定（2）成立．
知识点七：直角三角形性质定理
（一）定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是
，那么它所对的直角边等于
的一半．
（二）证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至使，则有AC垂直平分，故．又可得∠B=60°．于是△是
，故，所以．即定理成立．
(
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
．若有其它补充可填在右栏空白处．
)
类型一：探究型题目
例1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形．（在等腰三角形的两个底角处标明度数）
思路点拨：在三角形中，“等边对
”“等角对
”．本题应从角度入手进行考虑．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．
请你先阅读下面的证明过程．
证明：在△AEB和△AEC中，
所以△ABE≌△AEC（第一步），
所以AB=AC，∠1=∠2（第二步），
所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）．
上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程．
答案：
【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．
（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
答案：
类型二：与度数有关的计算
例2．在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数．
思路点拨：解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+
，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=
，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数．
答案：
【变式2】△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数．
答案：
类型三：等腰三角形中的分类讨论
例3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论
（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长．
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长．
思路点拨：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“
”，哪条边是“
”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行
讨论．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
☆【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论
等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数．
答案：
☆【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论
等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数．
答案：
☆【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数．
答案：
☆【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论
等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长．
答案：
类型四：证明题
例4．已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E．求证：BD+EC=DE．
思路点拨：
因为DE=DF+
，即结论为BD+EC=
，分别证明BD=
，CE=
即可，于是运用“在同一三角形中，
”易证结论成立．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
☆【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．
求证：（1）∠AOB=120°；
（2）CM=CN；
（3）MN∥AB．
答案：
☆【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）．
求证：（1）AB=2BC；
（2）CE=AE=EB．
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
(
总结规律和方法
——
强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧．
)
（一）等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论．
（二）常用的辅助线有：（1）作顶角的
、底边上的
、
．（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线
，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题．
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