人教版数学 八年级上册14.1整式的乘法教案

整式的乘法
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
掌握单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，并能运用它们进行运算。
重点难点：
重点：整式乘法性质的准确掌握和熟练运用。
难点：字母的广泛含义的理解。
学习策略：
结合具体实例，再类比有理数的乘方的意义，归纳出幂的乘法、乘方与积的乘方法则，再通过练习，加深理解与运用。
二、学习与应用
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
(
知识回顾
——
复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
)
（一）乘方的意义：
求几个
的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做
，在an中，a叫做
，n叫做
。
（二）an表示的意义是
个
的
。
（三）计算：（1）
102×103=
（2）12×=
1
15
(
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者
其它补充填在右栏。
)
知识点一：同底数幂的乘法
法则：同底数幂相乘，
。
公式：
请你注意：
（1）公式推导：对于任意底数a与任意正整数m、n，则有：
am·an＝
（幂的意义）
　　　＝
（乘法结合律）
　　　＝
（幂的定义）
∴
（2）说明：
①三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一
，即am·an·ap=
（m、n、p都是正整数）。
②逆用公式：把一个幂分解成两个或多个
的积，其中它们的底数与原来的底数
，它们的
等于原来的幂的指数。即
（m、n都是正整数）。
③在运用公式进行计算时，一定要弄清楚底数是什么，指数是什么，是不是同底数幂，如：计算－a3·(－a)2，其中－a3的底数为
，表示a3的
；(－a)2的底数为
，表示
。
知识点二：幂的乘方
法则：幂的乘方，
。
公式：
（m、n都是正整数）。
请你注意：
（1）公式推导：对于任意底数a与任意正整数m、n，有
（am）n＝
（乘方的意义）
＝
（同底数幂的乘法法则）
＝
（乘法定义）
∴
（2）说明：
①幂的乘方运算就是幂的
运算（底数不变），而同底数幂的乘法就是
运算（底数不变），注意区分两种运算，不要混淆。
②逆用公式：
知识点三：积的乘方
法则：积的乘方，等于
。
公式：
（m,
n都是正整数）
请你注意：
（1）公式推导：对于任意底数a，b与任意正整数，有
（ab）n＝
（乘方的意义）
＝
（乘法交换律，结合律）
＝
（乘方的意义）
∴
（2）说明：
①三个或三个以上的积的
也使用上面的法则，用公式表示为（abc……）n＝
，另外底数可以是
、
；
②逆用公式：
③在积的乘方运算中很容易将底数中某一项或几项不乘方而出现错误，所以在进行积的乘方运算时应先确定
，然后将这几项全都
，再将结果
。
知识点串联
（1）掌握好以上三个知识点的关键是熟练法则的推导过程，透彻理解法则的实质，在练习中多体会和总结。它们是
的基础。
（2）在进行幂的有关运算时，应先确定该运算是何种运算，再运用该运算的法则进行计算。如计算（a2）3，应先确定该运算是
，再根据
，底数不变，指数相乘得（a2）3＝
＝
。
知识点四：单项式乘以单项式
法则：单项式与单项式相乘，
。
请你注意：
（1）先把各因数的系数组成一组，它们的积就是
的系数，把这些系数相乘时按照
的乘法法则进行；
（2）相同字母相乘时按照
进行；
（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在
里，特别注意不能漏掉这部分因式；
（4）单项式与单项式相乘的运算顺序一般为：
；
（5）三个或三个以上的单项式同样适用于以上规则；
（6）单项式与单项式的乘积仍为
。
知识点五：单项式乘以多项式
法则：单项式与多项式相乘，就是
。
公式：
（m，a，b，c均为单项式）。
请你注意：
（1）单项式乘以多项式，其积仍是
，项数与原多项式项数（不含同类项）
。
（2）单项式与多项式相乘就是利用乘法
转化为
。
（3）法则中的每一项都是指含有它前面的
的项，在计算时要先确定积中每一项的符号；
（4）在几个单项式乘以多项多的混合运算中，完成乘法运算后要注意
。
知识点六：多项式乘以多项式
法则：多项式乘以多项式，
。
公式：
（a，b，m，n,均为单项式）
请你注意：
（1）公式推导：
方法一：用不同的方法表示下面图形的面积：
方法①：
方法②：
∴
方法二：在计算（a＋b）（m＋n）时，如果把（m＋n）看成一个整体，再运用
的法则进行计算如下：
＝
（乘法分配律）
＝
（单项式乘以多项式）
（2）说明：
①多项式乘多项式就是先转化为
，再转化为
。
②多项式中的每一项都包括它前面的
，在计算时，应选确定积的符号。
③两个多项式相乘，应注意做到不重不漏，所以相乘时要按一定的顺序进行，通常是选择一个多项式的
乘遍另一个多项式的
。
④多项式乘多项式结果仍为
，在未合并同类项之前，积的项数就为两个多项式的项数
。
⑤最后的结果中不能含有
。
⑥要在多项式乘多项式法则的基础上灵活运用公式（x+a）（x+b）=
进行简化计算。在利用此公式时，不仅注意这个公式的成立条件，还要记住这个公式的模式。
(
经典例题-
—
自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：同底数幂的乘法运算
例1．指出下列运算过程中的错误，并改正。
（1）x5＋x5＝x5＋5＝x10
（2）x5·x5＝2x5
（3）a·a3·a5＝a0＋3＋5＝a8
（4）－a2·
(－a)4·
(－a)3＝(－a)2＋4＋3＝(－a)9＝－a9
思路点拨：
1、（1）、（2）题必须弄清楚乘法和加法的区别，即幂的乘法只要
，
就可以用法则计算，而幂的加法，则要
时才能进行
的运算。
2、要善于把底数互为
的幂的乘法转化为
的乘法，
如（4）中，三个因式
的底数分别为
，其中
和
互为相反数，必须把它们转化为
相同的幂，转化的方法是：根据乘方的意义，相反数的偶次幂
：奇次幂互为
，所以(－a)
4
＝
，
(－a)3
=
解析：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式1】计算：（1）（-）（-）2（-）3
（2）
-a4·（-a）3·
（-a）5
解析：
【变式2】已知xm＝3，xn＝4，求①xm＋n的值；②x2m＋n的值；③x2m＋3n的值
答案：
【变式3】，求的值？
答案：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型二：幂的乘方与积的乘方运算
例2．指出下列运算过程中的错误，并改正。
（1）（x4）2＋（x5）3＝x6＋x8＝x14
（2）（a2）3＋a3·a3＝a6＋a6
（3）（－ab2）2＝－a2b4
（4）（－3a2b）3＝－3a6b3
思路点拨：幂的乘方法则：
；积的乘方法则：
解析：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式1】计算：（1）（a2m）n
（2）（am+n）m
（3）（-x2yz3）3
（4）-（ab）8
答案：
【变式2】计算：
答案：
【变式3】已知2x＝3，求24x的值
答案：
【变式4】已知4x＝3，求26x的值
答案：
【变式5】已知8x＝3，求26x的值
答案：
【变式6】已知2x＝5，2y＝3，求22x＋3y的值
答案：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
☆【变式7】比较3500、4400、5300的大小
答案：
类型三：单项式的乘法
例3．计算：（1）
（-3a2b）（-a2c2）·4c3
（2）
-3（a-b）2[2（a-b）3][（a-b）]
思路点拨：（1）不要将b的这个因式丢掉。（2）分析：将
看作底数，仍用
乘法法则来做。
解析：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式1】计算（-3×106）·（-2×104）·（-5×105）
答案：
【变式2】计算（1）（32）10+（92）5
（2）[(23)6]3+[(83)2]3
答案：
【变式3】计算（1）2ab（5ab2＋3a2b）　　（2）
解析：
类型四：多项式的乘法
例4．计算：（1）（1－x）（0.6－x）
（2）2x（x2－xy－y2）－3xy（4x－2y）+2y（7x2－4xy+y2）
（3）（3x4－3x2+1）（x4
+x2－2）
（4）（3x+1）（x+1）－（2x－1）（x－1）－3x（x－2）－2x（－3x）
解析：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式1】已知（x－k）（2x＋3）中不含一次项，求k的值。
思路点拨：此题根据多项式乘以多项式法则，将两个多项式相乘，再合并同类项，并求出某项的
，因不含该项，所以得出该项的系数为
，从而解出k值
答案：
【变式2】已知（x－k）（2x＋3）中不含常数项，求k的值。
答案：
【变式3】若kx·（x－2）－2（x－2）（x＋2）中不含二次项，求k的值。
答案：
类型五：综合应用
☆例5．已知，求的值。
思路点拨：先将等式左边按照
法则进行运算，结果应是
，再与右边的
进行比较，就可导出关于m，n的式子。
解：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
☆例6．已知，，，，求的值。
思路点拨：按照我们所学的知识，都不能求出来，但是我们认真观察已知式等号左边
，而右边相乘能表示
，这样就能导出的关系了。
解：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
☆☆例7．试确定是几位正整数。
思路点拨：这道题正常方法运算量较大，很难算，还容易出差错，所以我们必须设法将其变形。由2×5=10。可将本题转化成
的形式即可确定位数。
解：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
☆☆例8．设，求的值。
思路点拨：显然，要求
的值，设法将其化成含有
的形式。
解：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
(
总结规律和方法
——
强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
)
（一）在学习本节内容时，应适当复习
等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
（二）幂的
个运算性质是学习整式乘法的前提条件，单项式乘法是幂的运算性质的一个直接应用，单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法是在单项式乘法的基础上，利用分配律的更复杂的运算。
（三）在单项式的乘法法则中：
（1）系数相乘，是
的乘法运算；相同字母相乘，是
乘法运算；
（2）单项式与单项式相乘的结果是
，一般确定结果的系数，往往先确定绝对值，再确定符号。
（四）在单项式与多项式相乘时：
（1）单项式乘以多项式的依据是
分配律。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个
，其项数和因式中多项式的项数相同，计算时要注意各项的符号。
（五）多项式与多项式相乘，可以化为
。