人教版数学 八年级上册15.2分式的运算教案

分式的运算
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
理解通分的意义，理解最简公分母的意义；
理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算；
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．
重点难点：
重点：灵活运用分式的加减乘除及乘方的法则进行运算
难点：熟练地进行分式的混合运算。
学习策略：
分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后往往可视为整式的运算.分式的加减乘除的与运算法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，通过转化和类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化。重点处理分式中有别于已学过的有关内容，注意规范书写。
二、学习与应用
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
(
知识回顾
---
复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
)
（一）；
；
（二），
；
（三），
；
（四），
（五）
（1）am×an=
（m、n都是正整数）；
（2）
（m、n都是正整数）；
（3）(ab)n
=
(m,
n都是正整数)；
（4）
(，均为正整数，且)；
（5）
(
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者
其它补充填在右栏。
)
知识点一：分式的乘法法则
与分数的乘法法则类似，我们得到分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的
，分母的积作为积的
．
符号表示：
．
要点诠释：
（1）分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先
，看能否
，然后再相乘。
（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的
相乘作为积的分子，分母不变，当然能约分的要约分。
知识点二：分式的除法法则
与分数的除法法则类似，我们得到分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母
位置后，与被除式相乘．
符号表示：
．
要点诠释：
（1）当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：把除式中的分子与分母
位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
（2）当分子与分母都是多项式时：运算步骤是：
①把各个分式的分子与分母
；
②把除式的分子与分母
位置后，与被除式相乘；
③约分，得到计算结果.
知识点三：分式的乘方
几个
分式的积的运算叫做分式的乘方。法则：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别
。
符号表示：（为正整数）。
要点诠释：
（1）分式的乘方，必须把分式加上
。
（2）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算
，再算
、除，有多项式时应先分解因式，再约分。
知识点四：分式的加减法则
同分母分式相加减，分母不变，把
相加减；异分母分式相加减，先
，变为同分母的分式，再加减．
符号表示：
，．
要点诠释：
（1）同分母分式相加减时应注意：
①当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。
②分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑
后与分母约分，将结果化为最简分式或整式。
（2）异分母分式相加减时应注意：
①把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；
②通分的根据是
，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分子、分母同时乘的整式是
除以分母所得的商。
知识点五：整数指数幂运算性质
（1）aman=
（m，n是整数)；
（2）(am)n=
（m，n是整数）；
（3）(ab)n=
（n是整数）；
（4）am÷an=
（a≠0，m，n是整数，）；
（5）（）n=
（n是整数）；
（6）=
（a≠0，n是正整数）；
特别地，当a≠0时，a0=
．
知识点六：分式的混合运算
分式的混合运算顺序和实数的运算顺序相同，先算
，再算
，最后算
，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
(
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：分式的乘除运算
例1．计算：
（1）；
（2）．
思路点拨：应用乘除法的法则进行运算．如果有乘方运算，先进行
运算，然后将除法变为
；分子、分母能因式分解的先因式分解；能够约分的要进行约分，注意符号的变化．
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】计算：
（1）；（2）．
答案：
【变式2】计算：
答案：
【变式3】计算并说出每一步的算理。
思路点拨：分式乘除法的混合运算先统一成为
运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
解析：
类型二：分式的加减运算
例2．计算：
（1）；（2）；（3）
思路点拨:
（1）应用加减法的法则进行运算．异分母分式做加减运算前先通分，通分前如果分母可以因式分解要先进行因式分解．
（2）第一小题分母
，根据法则直接计算；第二小题的最简公分母为
；第三小题的后两项－a－2＝－．
解析：
总结升华：
例3.
计算：。
思路点拨：将各式的分子、分母
，约分后再计算。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】计算:
答案：
【变式2】计算:
答案：
类型三：比较复杂的分式加减法
例4.
计算：。
思路点拨:
当分式中的因式互为相反数时，可先换元，再通分，可化繁为简。
解析：设，则，则：
原式
例5．计算
思路点拨:
应用加减法的法则进行运算，计算时一定要仔细认真，尽量避免跳步．
解析：
总结升华：
举一反三：
☆☆【变式1】计算
答案：
☆☆【变式2】计算
答案：
类型四：对称分式或接近对称分式的加减运算
☆例6．计算
思路点拨：应用加减法的法则进行运算，观察每一个分式的特点以及整个分式的特点，寻找最简单的解题途径．
解析：
总结升华：
举一反三：
☆【变式】计算:
答案：
类型五：分式的拆分
例7.
设n为自然数，计算：。
思路点拨：本题可巧用分式减法的逆运算，将分式进行拆项、合并。
解析：
总结升华：
例8．计算：++
+
思路点拨：应用加减法的法则进行运算，有些分式可以拆分，如=达到简化运算的目的．
解析：
总结升华：
举一反三：
☆【变式1】计算：--+
答案：
☆【变式2】计算：++
答案：
类型六：分式的混合运算
例9．计算：（1）；（2）；
思路点拨：（1）式中有乘方、除法运算，应先算
，再算
；（2）式中有分式的加法、除法运算，应先算
，后算
解：
总结升华：
举一反三：
【变式】计算：
答案：
类型七：化简求值题
例10．先化简，再求值：．其中x＝2
思路点拨：分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先
，再
，最后
，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些．
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】计算：，并求时原式的值。
答案：
【变式2】按下列程序计算：
（1）填表．
输入n
3
…
输出答案
1
1
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简．
答案：
类型八：比较复杂的化简求值题
例11．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦）代入下式求值：
思路点拨：
这里的a不能取
，否则分母的值为
，原式就没有意义了．可选择不等于
的任意实数，只要求出
的值均可．
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】先化简，再求值：，其中a满足．
答案：
【变式2】小玲遇到一道题：“先化简，再求的值，其中．”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的．请你解释这是怎么回事．
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
(
总结规律和方法
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强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
)
（一）明确运算顺序是正确进行分式恒等变形的前提．如果在运算过程中能灵活运用“结合律”、“分配律”以及去（添）括号法则等手段往往能够使问题变得简单．
（二）根据所给条件化简分式是分式运算的深化和延续.其方法经常是根据等式性质对所给条件实行变化，转化成所需要的形式，根据整式和分式运算法则对式子实行恒等变形，并在变形过程中把条件代入进去，以达到化简或求值的目的．
（三）因式分解是整式也是分式恒等变形中非常重要、经常要用到的数学方法.在今后的学习中也要用到因式分解，所以必须引起重视．