人教版 数学 八年级上册15.3分式方程教案
文档属性
| 名称 | 人教版 数学 八年级上册15.3分式方程教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 201.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-20 10:53:53 | ||
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文档简介
分式方程
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
分式方程的概念以及解法；
分式方程产生增根的原因；
分式方程的应用题。
重点难点：
重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．
难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．
学习策略：
经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。
二、学习与应用
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
(
知识回顾
——
复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
)
（一）什么叫方程？什么叫方程的解？
答：含有
的
叫做方程．
使方程两边相等的
的值，叫做方程的解．
（二）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）同一个
，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是：
（其中M是不等于0的整式）．
（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或
（除数不能为0），所得的结果仍是等式。
（四）解下列方程：（1）9－3x＝5x＋5；
（2）
(
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者
其它补充填在右栏。
)
要点一：分式方程的定义
里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：
（1）分式方程的三个重要特征：①是
；②含有
；③分母里含有
。
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有
（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是
，不含有未知数的方程是
方程，如：关于的方程和都是
方程，而关于的方程和都是
方程。
要点二：分式方程的解法
（一）解分式方程的其本思想
把分式方程化为
方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
（二）解分式方程的一般方法和步骤
（1）
，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
（2）解这个
方程。
（3）
：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的
。
注：分式方程必须
；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的
为零。
（三）增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着
不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围
了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
要点三：分式方程的应用
分式方程的应用主要就是
，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。
一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤：
（1）
题意；
（2）设
；
（3）根据题意找
关系，列出分式方程；
（4）解分式方程，并验根；
（5）检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．
要点四：常见的实际问题中等量关系
（一）工程问题
（1）工作量＝
×工作时间，，；
（2）完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
（二）营销问题
（1）商品利润＝商品
一商品
；
（2）；
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量；
（4）商品的销售利润＝（销售价一成本价）×
．
（三）行程问题
（1）路程＝
×时间，，；
（2）在航行问题中，其中数量关系是：
顺水速度＝
＋水流速度，逆水速度＝静水速度－
；
（3）航空问题类似于航行问题．
(
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：分式方程的定义
例1．下列各式中，是分式方程的是（
）
A．
B．
C．
D.
思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A．因为方程里没有
，所以
分式方程；B．虽然有分母，但是分母里没有
，所以
分式方程；C．没有
，所以不是
，它只是一个
；D．具备分式方程的三个特征，是
。
答案：
总结升华：
举一反三：
【变式】方程中，x为未知量，a，b为已知数，且，则这个方程（
）
A．分式方程
B．一元一次方程
C．二元一次方程
D．三元一次方程
答案：
类型二：分式方程解的概念
例2．请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解
是x＝0这样的分式方程可以是
.
思路点拨：分式方程是
中含有
的
，能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的
.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】在
中，哪个是分式方程的解，为什么？
解析：
类型三：分式方程的解法
例3．解方程
思路点拨：在解分式方程的时候，要把分式方程变为
方程。原方程的两边都要乘
，方程等号右边的常数-2也必须乘
。在找最简公分母的时候有时需要先把分式方程变形。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】解方程：（1）＝，
（2）＋＝2.
解析：
类型四：增根的应用
例4．当m为何值时，方程会产生增根（
）
A．2 B．－1 C．3 D．－3
思路点拨：分式方程，去分母得
，将增根
代入，得m＝
。所以，当
时，原分式方程会产生增根。
答案：
总结升华：
举一反三：
【变式】.若方程＝无解，则m＝ 。
解：
类型五：分式方程的应用
（一）营销类应用性问题
例5．某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合
后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？
思路点拨：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．
解析：
总结升华：
举一反三：
☆【变式】A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？
答案：
（二）工程类应用性问题
☆☆例6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成
，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？
答案：
☆【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？
答案：
（三）行程中的应用性问题
例7．甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是：路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．
解析：
总结升华：
举一反三：
☆【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
答案：
【变式2】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．
答案：
【变式3】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度．
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
(
总结规律和方法
——
强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
)
（一）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为
，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．
（二）列方程（组）解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．
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一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
分式方程的概念以及解法；
分式方程产生增根的原因；
分式方程的应用题。
重点难点：
重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．
难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．
学习策略：
经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。
二、学习与应用
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
(
知识回顾
——
复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
)
（一）什么叫方程？什么叫方程的解？
答：含有
的
叫做方程．
使方程两边相等的
的值，叫做方程的解．
（二）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）同一个
，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是：
（其中M是不等于0的整式）．
（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或
（除数不能为0），所得的结果仍是等式。
（四）解下列方程：（1）9－3x＝5x＋5；
（2）
(
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者
其它补充填在右栏。
)
要点一：分式方程的定义
里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：
（1）分式方程的三个重要特征：①是
；②含有
；③分母里含有
。
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有
（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是
，不含有未知数的方程是
方程，如：关于的方程和都是
方程，而关于的方程和都是
方程。
要点二：分式方程的解法
（一）解分式方程的其本思想
把分式方程化为
方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
（二）解分式方程的一般方法和步骤
（1）
，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
（2）解这个
方程。
（3）
：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的
。
注：分式方程必须
；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的
为零。
（三）增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着
不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围
了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
要点三：分式方程的应用
分式方程的应用主要就是
，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。
一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤：
（1）
题意；
（2）设
；
（3）根据题意找
关系，列出分式方程；
（4）解分式方程，并验根；
（5）检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．
要点四：常见的实际问题中等量关系
（一）工程问题
（1）工作量＝
×工作时间，，；
（2）完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
（二）营销问题
（1）商品利润＝商品
一商品
；
（2）；
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量；
（4）商品的销售利润＝（销售价一成本价）×
．
（三）行程问题
（1）路程＝
×时间，，；
（2）在航行问题中，其中数量关系是：
顺水速度＝
＋水流速度，逆水速度＝静水速度－
；
（3）航空问题类似于航行问题．
(
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：分式方程的定义
例1．下列各式中，是分式方程的是（
）
A．
B．
C．
D.
思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A．因为方程里没有
，所以
分式方程；B．虽然有分母，但是分母里没有
，所以
分式方程；C．没有
，所以不是
，它只是一个
；D．具备分式方程的三个特征，是
。
答案：
总结升华：
举一反三：
【变式】方程中，x为未知量，a，b为已知数，且，则这个方程（
）
A．分式方程
B．一元一次方程
C．二元一次方程
D．三元一次方程
答案：
类型二：分式方程解的概念
例2．请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解
是x＝0这样的分式方程可以是
.
思路点拨：分式方程是
中含有
的
，能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的
.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】在
中，哪个是分式方程的解，为什么？
解析：
类型三：分式方程的解法
例3．解方程
思路点拨：在解分式方程的时候，要把分式方程变为
方程。原方程的两边都要乘
，方程等号右边的常数-2也必须乘
。在找最简公分母的时候有时需要先把分式方程变形。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】解方程：（1）＝，
（2）＋＝2.
解析：
类型四：增根的应用
例4．当m为何值时，方程会产生增根（
）
A．2 B．－1 C．3 D．－3
思路点拨：分式方程，去分母得
，将增根
代入，得m＝
。所以，当
时，原分式方程会产生增根。
答案：
总结升华：
举一反三：
【变式】.若方程＝无解，则m＝ 。
解：
类型五：分式方程的应用
（一）营销类应用性问题
例5．某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合
后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？
思路点拨：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．
解析：
总结升华：
举一反三：
☆【变式】A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？
答案：
（二）工程类应用性问题
☆☆例6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成
，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？
答案：
☆【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？
答案：
（三）行程中的应用性问题
例7．甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是：路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．
解析：
总结升华：
举一反三：
☆【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
答案：
【变式2】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．
答案：
【变式3】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度．
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
(
总结规律和方法
——
强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
)
（一）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为
，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．
（二）列方程（组）解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．
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