人教版 初中数学 八年级上册第15章分式单元复习与巩固教案

分式单元复习与巩固
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．
类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．
结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．
结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
重点难点：
重点：分式的基本性质；分式的四则运算；分式方程的解法．
难点：分式的四则混合运算；根据实际问题列出分式方程．
学习策略：
经历分式方程概念、分式方程的解法过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会本章中蕴含的主要数学思想——转化思想和类比思想．
二、学习与应用
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
(
知识
网络
)
(
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。
)
知识点一：分式的有关概念及性质
（一）分式的定义：设A、B表示两个
．如果B中含有
，
式子就叫做分式．注意分母B的值不能为
，否则分式没有意义。
注：判断一个代数式是否是分式，主要看分式的
是否含有未知数。另外不能把原式
（如约分等）后再进行判断，而只能根据它的本来面目进行判
断。例如：对于来说，，我们不能因为是
，就判断也是整式，事实上是
。
（二）最简分式：分子与分母没有
的分式叫做最简分式。
注：如果分子分母有公因式，要进行
化简。
（三）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于
的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：
（M为不等于零的整式）。
知识点二：分式的运算
（一）基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
；
（二）零指数
。
（三）负整数指数
（四）约分
把一个分式的分子和分母的
约去，这种变形称为分式的约分．
注：
（1）约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，同时把分子分母中系数的
约去；
（2）约分的依据是
；
（3）若分式的分子、分母中有多项式，则要先
，再约分．
（4）当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：（其中n为自然数）。
（5）分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。
（五）通分
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
注：
（1）通分的关键是确定
，最简公分母应为各分母系数的
与所有相同因式的最高次幂的积；
（2）不要把通分与去分母混淆，通分的依据是
，去分母的依据
．
（六）分式的加减法法则
（1）同分母的分式相加减，
不变，把分子相
；
（2）异分母的分式相加减，先_
，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．
（七）分式的乘除法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式
．
注：
（1）在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，此时乘法运算可以直接运用法则计算；
（2）分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否
，然后再乘；
（3）分式的除法可以统一成分式的乘法；
（4）分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。
（八）分式的混合运算顺序
先算
，再算
，最后算加减，有括号先算括号里面的．
注：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。
知识点三：分式方程
（一）分式方程的概念
分母中含有未知数的
叫做分式方程．
（二）分式方程的解法
解分式方程的关键是
,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为
方程．
注：解分式方程必须
，
时把整式方程的根代入
，使最简公分母不等于
的根是原方程的根，使最简公分母等于
的根是原方程的增根。
（三）分式方程的增根问题
（1）增根的产生：分式方程本身隐含着
不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围
了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为
，那么就会出现不适合原方程的根——增根；
（2）验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．
知识点四：分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
(
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：分式的定义及其基本性质
例1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
思路点拨：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于
。即若是一个分式，则有意义
。当x＝0时，x2＝0，所以选项
不是；
当x＝
时，2x＋1＝0，所以选项
不是；因为x2≥0，所以x2＋1＞0，即不论x为何实数，都有x2＋1≠0，所以选项
是；当x＝
时，｜x｜－1＝0，所以选项
不是。
答案：
总结升华：
。
例2．若分式的值等于零，则x＝
；
分析：根据分式的值为零的条件，即：如果是一个分式，且＝0可以得到
.
解析：
总结升华：
。
例3
．求分式的最简公分母。
思路点拨：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数
；对于三个分式的分母中的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂
，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂
，再取字母z﹒所以三个分式的公分母为
。
指出：12x3y4z
，24x6y6z，48x5y9z，……都是上述三个分式的公分母，其中
是这些公分母中最简单的一个，称为最简公分母。
解析：
总结升华：
。
举一反三：
【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（　　）
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．±1
（2）当x
时，分式没有意义．
答案：
【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：
类型二：分式的运算技巧
（一）通分约分
例4．化简分式:
思路点拨：本题若通过常规方法：各分式分别通分计算非常复杂；根据分式特征，可通过
化简分式后再计算，这是分式计算常用的技巧．我们在通分之前，先要观察分式的特征，多项式能先因式分解的要因式分解，能先
化简的尽量先约分以达到简便计算的目的．
解析：
总结升华：
。
举一反三：
【变式1】顺次相加法
计算：
答案：
【变式2】整体通分法
计算：
答案：
（二）裂项或拆项或分组运算
例5．巧用裂项法
计算：
思路点拨：本题出现了
个分式相加，无法直接通分；而本题分式的特征比
较特殊，事实上分式，凡是符合上述特征的分式都可适用
此法，裂项后便可以相互抵消，起到简便运算的功效．
解析：
总结升华：
。
举一反三：
☆【变式1】分组通分法
计算：
答案：
注：当出现三个以上异分母分式相加减时，可考虑
通分法，分组的原则是使分组后各组运算的结果出现分子是
、
或
关系，这样才能使运算简便．
【变式2】分子降次法
计算：
答案：
注：本题如果先通分，运算量非常大，考虑到分子分母是齐次多项式，把分子
化简后，分式就相当简单，起到简便运算的效果．
类型三：条件分式求值的常用技巧
例6．参数法
已知，求的值．
思路点拨：当已知条件为形如的连比等式，所要求值的分式是一个含有
而又不易化简的分式时，通常设
，将其变形为
,然后再代入分式求值．
解析：
总结升华：
。
举一反三：
☆【变式1】整体代入法
已知，求的值。
答案：
【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．
已知：，求的值．
答案：
☆☆【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．
已知：，求的值．
答案：
类型四：解分式方程的方法
解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．
（一）与异分母相关的分式方程
例7．解方程=
思路分析：等号两边只有一个分式时，使用
的方法。
解析：
总结升华：
。
举一反三：
【变式】解方程：=－3
答案：
【变式2】解关于x的方程+=+（a≠b）
答案：
（二）与同分母相关的分式方程
例8．解方程=2+
思路点拨：如果有同分母分式，先进行
的加减法。
解析：
总结升华：
。
举一反三：
【变式1】解方程－=8
答案：
【变式2】解方程+=1
答案：
类型五：分式（方程）的应用
☆例9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖。甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？
思路分析：平均价格是
。由于两次买糖
的价格不一样，可设两次的价格分别为x、y（单位：元/斤），只要列出代数式表示甲、乙两人买糖的平均价格，用作差的方法即可。
解析：
总结升华：
。
举一反三：
【变式1】甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？
答案：
☆☆【变式2】A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度．
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
(
总结规律和方法
——
强化所学
)
（一）分式的概念需注意的问题
（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有_______的作用；
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．
（二）约分需明确的问题
（1）对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的_______，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．
（三）确定最简公分母的方法
（1）最简公分母的系数，取各分母系数的____________________；
（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的_______________________.
（四）列分式方程解应用题的基本步骤
（1）审——仔细审题，找出等量关系；
（2）设——合理设未知数；
（3）列——根据等量关系列出方程；
（4）解——解出方程；
（5）验——检验增根；
（6）答——答题。