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人教版数学九年级上《一元二次方程的根与系数的关系》
教学设计
课题
一元二次方程的根与系数的关系
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
能力目标
能够运用根与系数的关系，计算一元二次方程参数范围
知识目标
明白一元二次方程根与系数关系的公式
重点
运用根与系数关系进行代数运算
难点
运用根与系数的关系进行参数范围计算
学法
自主思考、协作讨论、类比学习法
教法
启发法、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、复习引入1.
一元二次方程的求根公式是什么？2.计算方程的根方程根与系数有什么关系？二、探究新知1.填表、观察、猜想启发：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系.
复习一元二次方程求根公式完成填空，发现根与系数的关系
复习以往知识，为本节课教学提供知识基础采用探究的方法，在发现中习得规律
讲授新课
问题：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。（1）两根之和等于方程一次项系数的相反数；两根之积等于常数项。跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：2.启发：如果方程二次项系数不为1呢？表2:填表、观察、猜想问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）的两根用式子表示你发现的规律。（1）两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。我们用求根公式来证明一下结论（2）。根据求根公式可知：由此可得：跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：解：解：方程是3.总结归纳：一元二次方程的根与系数的关系：注：能用根与系数的关系的前提条件为：1.一元二次方程为一般形式：三、典例精讲1.不解方程，求下列方程两个根的和与积：分析：任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的
相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
解：方程化为解：方程化为解：方程化为总结：在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用时，
注意“－
”不要漏写。归纳：用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值：四、学以致用1.一元二次方程的两根为，则解：2.已知关于x的方程（1）当m_____时，此方程的两根互为相反数。（2）当m_____时，此方程的两根互为倒数。分析：a=1，b=-（m+1），c=2m-13.已知是关于x的方程
的两个正实数根，且满足，求实数k的值解：因为关于x的方程的两个正实数根，所以
，解得：k的取值范围为k>5方程可化为（x-5）（x-k+5）=0，解得x=5或x=k-5.①时，代入得，2×5+k-5=7，则k=2；②时，代入得，2k-10+5=7，则k=6，由于k>5，所以k=6
结合开平方法，学生独立探索，发现规律结合基础知识，完成练习，可讨论
采用探究的方法，使得学生能够主动归纳出根与系数的关系总结规律，突出重点理论联系实际，采用师徒教学法，帮助学生掌握根与系数的关系
课堂练习
1.关于x的方程（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（
）A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根答案：C2.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程
的两个根，则k的值为（
）A.3
B.4
C.3或4
D.7答案：C3.关于x的方程的两实数根，且，则m=______．答案：04.设a，β是方程的两个实数根，求
和的值解：由韦达定理，得故答案为
5.关于x的一元二次方程
有两个实数根，若方程的两个实数根都是正整数，求整数m的值.解：因为此方程的两个实数根都是正整数，由解得m<-1或m>1所以m=2或m=3.
运用讲练结合法，通过检测题及时巩固一元二次方程的根与系数的关系。
回归课本，重视基础，突出重、难点。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系是:
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
通过总结学习收获，对于巩固知识很有帮助。
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精品试卷·第
2
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（共
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2020
数学人教版
九年级上
一元二次方程的根与系数的关系
复习引入
一、复习引入
1.
一元二次方程的求根公式是什么？
?
2.计算方程
的根
方程根与系数
有什么关系？
探究新知
1.填表、观察、猜想
启发：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系.
方程
X1，X2
X1+X2
X1X2
X2-7x+12=0
3,4
x2+5x+4=0
-1,-4
x2-6x+8=0
2,4
7
-5
6
12
4
8
新课讲解
问题：
（1）用语言叙述你发现的规律；
（2）x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
（1）两根之和等于方程一次项系数的相反数；两根之积等于常数项。
（2）x1+x2=-p，
x1x2=q
新课讲解
跟踪练习：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
x2-6x-15=0
解:x1+x2=-(-6)=6,
x1x2=-15
新课讲解
表2:填表、观察、猜想
2.启发：如果方程二次项系数不为1呢？
方程
X1，X2
X1+X2
X1X2
2x2-3x-2=0
3x2-4x+1=0
5x2+6x+1=0
?
?
?
-1
?
?
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律：
（1）用语言叙述你发现的规律；
新课讲解
（2）ax2+bx+c=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
（1）两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。
?
新课讲解
我们用求根公式来证明一下结论（2）。
根据求根公式可知：
?
由此可得：
?
?
?
?
?
新课讲解
跟踪练习：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1)3x2+7x-9=0
?
新课讲解
解:方程化为4x2-5x+1=0
(2)5x-1=4x2
?
新课讲解
3.总结归纳：
一元二次方程的根与系数的关系：
?
注：能用根与系数的关系的前提条件为：
1.一元二次方程为一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）
2.b2=4ac≥0
三、·典例精讲
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
x2-3x=15；
3x2+2=1-4x；
5x2-1=4x2+x；
分析：任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的
相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
新课讲解
新课讲解
x2-3x=15
解：方程化为
x2-3x-15=0
∴x1+x2=3，
x1x2=-15
3x2+2=1-4x
解：方程化为
3x2+4x+1
5x2-1=4x2+x
解：方程化为
x2-x-1=0
?
∴x1+x2
=1，
x1x2
=-1
新课讲解
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用x1+x2=－
时，
注意“－
”不要漏写。
总结：
新课讲解
归纳：
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值：
?
?
?
?
新课讲解
四、学以致用
1.一元二次方程
的两根为
，则
解：
新课讲解
2.已知关于x的方程x2-（m+1）x+2m-1=0。
（1）当m_____时，此方程的两根互为相反数。
（2）当m_____时，此方程的两根互为倒数。
-1
1
分析：a=1，b=-（m+1），c=2m-1
?
（1）
x1+x2=
m+1=0，m=-1
（2）
x1x2=2m-1=1，m=1
新课讲解
3.已知
是关于x的方程
的两个正实数根，且满足
，求实数k的值
解：因为关于x的方程
的两个正实数根，
所以
，解得：k的取值范围为k>5
方程
可化为（x-5）（x-k+5）=0，解得x=5或x=k-5.
①
时，代入
得，2×5+k-5=7，则k=2；②
时，代入
得，2k-10+5=7，则k=6.
由于k>5，所以k=6
课堂练习
1.关于x的方程
（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（
）
A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
答案：C
2.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程
的两个根，则k的值为（
）
A.3
B.4
C.3或4
D.7
答案：C
课堂练习
3.关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．
答案：0
课堂练习
4.设a，β是方程
的两个实数根，求
和
的值
解：由韦达定理，得
故答案为
课堂练习
5.关于x的一元二次方程
有两个实数根，若方程的两个实数根都是正整数，求整数m的值.
解：
因为此方程的两个实数根都是正整数，由
解得m<-1或m>1
所以m=2或m=3.
课堂小结
一元二次方程ax
+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系是:
课堂作业
完成第17页7题
谢谢观看
