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人教版数学九年级上《21.3实际问题与一元二次方程（第一课时）》
教学设计
课题
实际问题与一元二次方程（第一课时）
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
能力目标
能够对实际问题进行数学模型建立
知识目标
掌握传染病的一元二次模型
重点
对实际问题进行一元二次方程的建模
难点
对实际问题进行一元二次方程的建模
学法
自主思考、协作讨论
教法
启发法、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1.
一元二次方程的解法有哪些？2.列方程解题的一般步骤？a.配方法
b.公式法
c.因式分解法
d.直接开平方法2.
a.审
b.设
c.找
d.列
e.解
f.验
g.答如何运用一元二次方程解决实际问题？探究新知启发思考：你知道传染病的传播速度是多快吗？探究1
:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流
感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
复习一元二次方程的解法利用以往所学知识，列方程，计算结果
复习以往知识，为本节课教学提供知识基础结合实际问题，激发兴趣，为本节课教学做好铺垫
讲授新课
探究1
:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流
感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考：1.本题中有哪些数量关系？1人传染最后121人患了流感2.
如何理解“两轮传染”？1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源；这些传染源再经一轮传染导致更多人患病。3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？4.根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意：于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．5.为什么要舍去一解？
传播人数不可能负值，-12不合题意，故舍去。6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？三轮传染后的总人数：（1+x）+x（1+x）+x·x（1+x）121+121×10=1331（人）答：三轮传染后，有1331人患流感.注意:1.此类问题是传播问题.
2.计算结果要符合问题的实际意义.三、重难点精讲例题：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100
台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4
轮感染后，被感染的电脑会不会超过
7000
台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染
x
台电脑，则
1＋x＋x(1＋x)＝100即(1＋x)＝100.解得
x＝9，x＝－11(舍去)
．∴
x＝9.4
轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000答：每轮感染中平均每一台电脑会感染
9
台电脑，4
轮感染后，被感染的电脑会超过7000台．归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．传播问题：第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一
轮传播后的量×（1+传播速度
）=传播前的量×
（1+传播速度）四、学以致用1.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？解：设每天平均一个人传染了x人则
1+x+x(1+x)=9即
（1+x）=9解得
x
=-4
(舍去），
x=2.如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？9(1+x)=
9(1+2)
=2187，(1+x)=
(1+2)=2187这个地区一共将会有2187人患甲型流感.2.在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么谁能计算出老师所教的班级共有多少名学生呢？解：设李老师所教班共有x名学生，依题意有即（x-40）（x+39）=0，
解得：x=40或x=-39（舍去）．故老师所教的班共有40名学生．总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析，找出已知量和未知量，找出数量关系；（2）设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；（3）根据数量关系，列方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；（4）选择合适的方法解方程；
（5）检验。因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的
根后，一定要进行检验
．五、拓展提升一个容器盛满纯酒20升，第一次倒出纯酒精若干升后，加水注满，第二次倒出相同数量的酒精，这时容器内的纯酒精只是原来的，问第一次倒出纯酒精多少升？解：设第一次倒出酒精升，根据题意得：
整理得：
解得：
答：第一次倒出酒精10升.
结合一元二次方程求解方法，学生独立探索，发现规律结合上述例题，对规律进行总结结合基础知识，完成练习
采用探究的方法，在开平方法的基础上，让学生将方程与实际问题建立联系总结规律，突出重点结合练习，巩固基础
课堂练习
1.用一条7米长的铝材（厚度忽略不计）制成一个面积为3平方米的矩形窗框，设窗框一边长为x米，下列方程正确的是________答案：2.m,n是方程的两个变数根，则
的值是___答案：3.如果，求代数式
的值解：4.小明想用一块面积为400cm的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360cm的长方形纸片。使它的长宽之比为4：3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想。他能裁得出来吗？（通过计算说明）解：设长方形纸片的长为4xcm，则宽为3xcm，依题意得
所以长方形纸片的长为cm正方形纸片的面积为400cm，边长为所以长方形纸片的长大于正方形纸片的边长故不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片5.在国庆阅兵仪式上，三军女兵方队共378人，其中领队3人，方队中每排的人数比排数多10人，请你计算一下，三军女兵方队共有多少排？每排多少人？解：设三军女兵方队共x排，则每排（x+10）人，依题意得：3+x（x+10）=378解得：（不合题意，应舍去）所以x+10=25答：三军女兵方队共15排，每排共25人.
运用讲练结合法，通过检测题及时巩固实际问题的一元二次方程解法。
回归课本，重视基础，突出重、难点。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数：第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
通过总结学习收获，对于巩固知识很有帮助。
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2020
数学人教版
九年级上
实际问题与一元二次方程
（第一课时）
复习引入
a.配方法
b.公式法
c.因式分解法
d.直接开平方法
2.
a.审
b.设
c.找
d.列
e.解
f.验
g.答
如何运用一元二次
方程解决实际问题？
1.一元二次方程的解法有哪些？
2.列方程解题的
一般步骤？
探究新知
启发思考：你知道传染病的传播速度是多快吗？
探究1
:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流
感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
新课讲解
思考：1.本题中有哪些数量关系？
探究1
:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流
感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
1人传染最后121人患了流感
2.
如何理解“两轮传染”？
1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源；这些传染源再经一轮传染导致更多人患病。
新课讲解
3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了_____人；第一轮传染后，共有______人患了流感；
在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每一个人又传染了_____人，第二轮传染后，共有________人患流感.
x
1+x
1+x
x
x(1+x)
新课讲解
4.根据等量关系列方程并求解
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意：
解方程得
x1=10，
x2=-12(不合题意舍去)
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121
新课讲解
5.为什么要舍去一解？
传播人数不可能负值，-12不合题意，故舍去。
6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
121+121×10=1331（人）
答：三轮传染后，有1331人患流感.
三轮传染后的总人数：（1+x）+x（1+x）+x·x（1+x）
注意:1.此类问题是传播问题.
2.计算结果要符合问题的实际意义.
新课讲解
三、重难点精讲
例题：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电
脑被感染，经过两轮感染后就会有100
台电脑被感
染．请你用学过的知识分析，
每轮感染中平均一台电脑会感染
几台电脑？若病毒得不到有效控
制，4
轮感染后，被感染的电脑
会不会超过
7000
台？
新课讲解
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染
x
台电脑，则
1＋x＋x(1＋x)＝100
4
轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000
即(1＋x)2＝100.
解得
x1＝9，x2＝－11(舍去)
．
∴
x＝9.
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染
9
台电脑，4
轮感染后，被感染的电脑会超过7000台．
新课讲解
传播问题：
第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一
轮传播后的量×（1+传播速度
）
=传播前的量×
（1+传播速度）2
归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．
新课讲解
四、学以致用
1.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？
新课讲解
解：设每天平均一个人传染了x人
即
（1+x）=9
解得
x
1=-4
(舍去），
x2=2.
答：每天平均一个人传染了2人。
则
1+x+x(1+x)=9
新课讲解
如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
9(1+x)
=
9(1+2)
=2187，
(1+x)
=
(1+2)
=2187
这个地区一共将会有2187人患甲型流感.
2.在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么谁能计算出老师所教的班级共有多少名学生呢？
解：设李老师所教班共有x名学生，依题意有
即（x-40）（x+39）=0，
解得：x=40或x=-39（舍去）．
故老师所教的班共有40名学生．
新课讲解
总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析，找出已知量和未知量，找出数量关系；
（2）设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；
（3）根据数量关系，列方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；
（4）选择合适的方法解方程；
（5）检验。因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的
根后，一定要进行检验
．
新课讲解
新课讲解
五、拓展提升
一个容器盛满纯酒20升，第一次倒出纯酒精若干升后，加水注满，第二次倒出相同数量的酒精，这时容器内的纯酒精只是原来的，问第一次倒出纯酒精多少升？
新课讲解
解：设第一次倒出酒精升，根据题意得：
整理得：
解得：
答：第一次倒出酒精10升.
课堂练习
1.用一条7米长的铝材（厚度忽略不计）制成一个面积为3平方米的矩形窗框，设窗框一边长为x米，下列方程正确的是________
答案：
2.m,n是方程
的两个变数根，则
的值是___
答案：
课堂练习
3.如果
，求代数式
的值
解：
课堂练习
4.小明想用一块面积为400cm
的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360cm
的长方形纸片。使它的长宽之比为4：
3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想。他能裁得出来吗？（通过计算说明）
课堂练习
解：设长方形纸片的长为4xcm，则宽为3xcm，依题意得
所以长方形纸片的长为
cm
正方形纸片的面积为400cm
，边长为
所以长方形纸片的长大于正方形纸片的边长
故不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片
课堂练习
5.在国庆阅兵仪式上，三军女兵方队共378人，其中领队3人，方队中每排的人数比排数多10人，请你计算一下，三军女兵方队共有多少排？每排多少人？
解：设三军女兵方队共x排，则每排（x+10）人，依题意得：
3+x（x+10）=378
解得：
（不合题意，应舍去）
所以x+10=25
答：三军女兵方队共15排，每排共25人.
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
传播问题的解题步骤是:
明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数：
第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）
课堂作业
完成第21页2、3题
谢谢观看
