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第11章三角形11.1与三角形有关的线段（简答题专练）
1．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为21厘米和12厘米两部分，求△ABC各边的长．
2．已知
a
、b
、c
分别表示ABC
的三条边长，且ABC
的周长为
48
.
（1）若c
是三边中最长的边，则c
的最小值是
；
（2）若c
3a
，求证：
6
a
8
；
（3）若
a
-
c
10
，求c
的取值范围；
（4）若
a
、b
均为整数，c=16，则这样的三角形共有
个.
3．一个三角形的三边长分别是xcm、（x+2）cm、（x+5）cm．它的周长不超过37cm．求x的取值范围．
4．如图，已知，按要求作图．
（1）过点作的垂线段；
（2）过作、的垂线分别交于点、；
（3），，，，求点到线段的距离．
5．已知a、b、c为三角形的三边，．
（1）化简；
（2）计算．
6．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
7．如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm.
（1）求△ABD与△BEC的面积；
（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？
8．已知三角形三边长为a、b、c，且=
10，求b的值
9．在△ABC中，AB﹦9，BC﹦2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长为多少？
10．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．
(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2)三个内角的度数之比为1:2:3.
11．如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4=24°，根据图形填空：
(1)是∠2的3倍的角是_________________(用字母表示)
(2)是∠AOD的的角有_________个；
(3)射线OC是哪个角的3等分线?又是哪个角的4等分线?
12．如图①，∠AOB=∠COD=90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；
（2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数；
（3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．
13．如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:
(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.
(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?
(3)以AB为边的三角形有哪些?
(4)以F为顶点的三角形有哪些?
14．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？
15．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．
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第11章三角形11.1与三角形有关的线段（简答题专练）
1．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为21厘米和12厘米两部分，求△ABC各边的长．
【答案】△ABC各边的长为14cm、14cm、5cm．
【解析】根据题意，画出示意图，利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系即可求解三角形三边的长，注意不符合题意的要舍去.
【详解】
如图，
设AB＝AC＝cm，BC＝cm
∵BD是中线
∴AD＝CD＝cm
若AB+AD＝21
cm，BC+CD＝12
cm
即
解得：，
此时，AB＝AC＝14
cm，BC＝5
cm
若AB+AD＝12
cm，BC+CD＝21
cm
即
解得：，
∵此时AB＝AC＝8
cm，BC＝17
cm，AB+AC＜BC
∴，不合题意，舍去
综上所述，△ABC各边的长为14cm、14cm、5cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解决等腰三角形的相关问题时，由于等腰三角形的特殊性，一般情况下是需要对其进行分类讨论，才能得解，因此熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键.
2．已知
a
、b
、c
分别表示ABC
的三条边长，且ABC
的周长为
48
.
（1）若c
是三边中最长的边，则c
的最小值是
；
（2）若c
3a
，求证：
6
a
8
；
（3）若
a
c
10
，求c
的取值范围；
（4）若
a
、b
均为整数，c=16，则这样的三角形共有
个.
【答案】（1）16；（2）见解析（3）7
c
14
；（4）8
【解析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；
（2）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；
（3）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；
（4）依次数出可能的三角形的三边，即可判断.
【详解】
（1）当ABC为等边三角形时，c取最小值为48÷3=16；
（2）∵c
3a，a+b+c=48,
∴b=48-4a,
∵c+a＞b，c-a＜b
即a+3a＞48-4a，3a-a＜48-4a,
解得6
a
8
；
（3）∵a
c
10，a+b+c=48,
∴a=c+10，b=38-2c,
∵a+c＞b，a-c＜b
即c+10+c＞38-2c，c+10-c＜38-2c,
解得7
c
14
；
（4）根据c=16,a+b+c=48,故所以的情况如下：16,16,16；15,16,17；14,16,18；13,16,19；
12,16,20；11,16,21；10,16,22；9,16,23；故为8个.
【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．一个三角形的三边长分别是xcm、（x+2）cm、（x+5）cm．它的周长不超过37cm．求x的取值范围．
【答案】3＜x≤10．
【解析】根据三角形的三边关系以及周长不超过37cm列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】
解：∵一个三角形的三边长分别是xcm，（x+2）cm，（x+5）cm，它的周长不超过37cm，
∴，
解得：3＜x≤10．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和不等式组的应用，解题的关键是正确列出不等式组.
4．如图，已知，按要求作图．
（1）过点作的垂线段；
（2）过作、的垂线分别交于点、；
（3），，，，求点到线段的距离．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点到线段的距离为．
【解析】（1）、（2）根据几何语言作图；
（3）利用三角形面积公式得到，然后把，，代入计算可求出．
【详解】
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，、为所作；
（3），
，
即点到线段的距离为．
【点睛】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键.
5．已知a、b、c为三角形的三边，．
（1）化简；
（2）计算．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据三角形的三边关系即可得到a+b＞c，a+c＞b，根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，从而化简．
（2）将P值代入进行计算即可.
【详解】
解：（1）由三角形三边关系知，，
故，，，
，
（2）
．
【点睛】此题考查三角形三边关系，绝对值，整式的加减，绝对值，解题关键在于灵活运用各计算法则.
6．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【解析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；
（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.
【详解】
解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB?AC＝BC?AD，
∴AD＝（cm），
即AD的长为cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.
7．如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm.
（1）求△ABD与△BEC的面积；
（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？
【答案】（1）10，10；（2）相等，理由，见解析
【解析】（1）要计算△ABE与△BCE的面积，可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=BD·h，S△ACD=CD·h；再根据中点的定义得BD=CD，然后利用等量代换即可得到S△ABD=S△ACD，同理S△ABE=S△BCE，再结合△ABC的面积即可解决；
（2）结合上面的推理可得S△ABE=S△ABD，再根据图形可知S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，
【详解】
（1）可设点A到边BC的高为h，
则S△ABD=BD·h，S△ACD=CD·h，
∵点D是BC边的中点，
∴BD=CD.
∴S△ABD=S△ACD，
同理S△ABE=S△BCE，
∴S△ABD=S△BCE=S△ABC=×20=10（cm2）.
（2）△AOE与△BOD的面积相等，理由如下.
根据（1）可得：S△ABE=S△ABD，
∵S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴S△AOE=S△BOD.
【点睛】此题考查中点的定义和三角形面积的计算方法，掌握定义及公式是解题的关键；
8．已知三角形三边长为a、b、c，且=
10，求b的值
【答案】b=5
【解析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a?b＜c，再去绝对值即可.
【详解】
解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b＞c，a?b＜c，
∴，
∴b=5.
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
9．在△ABC中，AB﹦9，BC﹦2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长为多少？
【答案】20
【解析】根据三角形三边关系,找到AC的取值范围,由AC为奇数求出AC长度,即可求出三角形周长.
【详解】
解：∵AB﹣BC＜AC＜AB﹢BC，（三角形三边关系）
∴9﹣2＜AC＜9﹢2，即7＜AC＜11
又A
C为奇数，
∴A
C﹦9
∴△ABC的周长﹦9+9+2﹦20
【点睛】本题考查了三角形的三边关系,三角形的周长,属于简单题,熟悉三边关系是解题关键.
10．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．
(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2)三个内角的度数之比为1:2:3.
【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．
【解析】根据角的分类对三角形进行分类即可.
【详解】
(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，
∴满足条件的三角形是锐角三角形．
(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，
∴满足条件的三角形是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类问题．
11．如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4=24°，根据图形填空：
(1)是∠2的3倍的角是_________________(用字母表示)
(2)是∠AOD的的角有_________个；
(3)射线OC是哪个角的3等分线?又是哪个角的4等分线?
【答案】(1)∠A0E
、∠BOC
；(2)
4个；(3)OC是∠AOE的3等分线，是∠AOB的4等分线.
【解析】（1）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出是∠2的3倍的角可以解题；
（2）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出图中哪些角是∠AOD的,
（3）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出射线OC是哪个角的三等分线、四等分线.
【详解】
解：（1）
同理：
（2）4个；
（3）∵∠1=∠2=∠3，
∴OC是∠AOE的三等分线．
同理：OC是∠AOB的四等分线.
【点睛】本题考查了角的度数的计算，考查了角平分线和三等分线的定义，本题中不要漏解是解题的关键．
12．如图①，∠AOB=∠COD=90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；
（2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数；
（3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．
【答案】（1）∠MON=90°；（2）∠MON=90°；（3）∠MON=90°.
【解析】(1)由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：
（2）同理由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：
（3）由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠AOC=∠BOD=90°+α，∠MOC=∠BON=45°+α可得∠MON的度数：
【详解】
解：
（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，
∴∠AOC=∠BOD=90°﹣20°=70°．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠BON=35°，
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=35°+20°+35°=90°；
（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，
∴∠AOC=∠BOD=90°﹣α．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠BON=45°﹣α，
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=45°﹣α+α+45°﹣=90°；
（3）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，
∴∠AOC=∠BOD=90°+α．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠BON=45°+α，
∴∠MON=∠MOC﹣∠COB+∠BON=45°+α﹣α+45°+=90°．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质及角度间的计算.
13．如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:
(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.
(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?
(3)以AB为边的三角形有哪些?
(4)以F为顶点的三角形有哪些?
【答案】答案见解析
【解析】试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可．
试题解析：
（1）8个：△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，△AEF，△ACD，△BCE；
（2）三个顶点：B，D，F；三条边：BD，BF，DF；
（3）△ABC，△ABF，△ABD，△ABE；
（4）△ABF，△BDF，△AEF．
【点睛】此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．
14．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？
【答案】三角形的稳定性
【解析】试题分析：用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．
15．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．
【答案】小明的做法正确，理由见解析.
【解析】试题分析：根据三角形的稳定性可得出答案．
小明的做法正确，
理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．
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