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第11章三角形11.1与三角形有关的线段（中考真题专练）
一、单选题
1．（2020·江苏宿迁·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】
根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】
∵在△ABC中，AB=1，BC=，
∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
2．（2020·江苏徐州·中考真题）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
根据三角形的三边关系判断即可.
【详解】
6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,
故选C.
【点睛】本题考查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系.
3．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（
）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
【答案】B
【解析】
判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】
解：由题意可知，
A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
4．（2020·湖北襄阳·中考真题）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【详解】
解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
5．（2020·浙江绍兴·中考真题）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
【详解】
①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B.
【点睛】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.
6．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16
B．24
C．16或24
D．48
【答案】B
【解析】
解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
二、填空题
7．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
【答案】
【解析】
取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】
解：取的中点，的中点，连接，，，，
将平移5个单位长度得到△，
，，
点、分别是、的中点，
，
，
即，
的最小值等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
8．（2020·青海中考真题）已知a，b，c为的三边长．b，c满足，且a为方程的解，则的形状为________三角形．
【答案】等腰三角形
【解析】
根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果．
【详解】
∵，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵a是方程的解且a，b，c为的三边长，
∴,
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键．
9．（2020·甘肃天水·中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【答案】13
【解析】
先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
【详解】
解：∵x2-8x+12=0，
∴，
∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6=13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
10．（2020·北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】=
【解析】
在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
【详解】
解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，
由网格图可得个平方单位，
，
故有=．
故答案为：“＝”
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
11．（2018·黑龙江绥化·中考真题）三角形三边长分别为3，，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．
【详解】
三角形的三边长分别为3，，4，
，
即，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
12．（2014·江苏宿迁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AB的长是
．
【答案】.
【解析】
试题分析：如答图，过D点作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC与BC相交于点D，∠ACB=90°，∴DE=CD.
∵BD=4，CD=2，∴BC=6.
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，DE=2，BD=4，∴∠B=30°.
∴在Rt△ABC中，.
【考点】1角平分线的性质；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.勾股定理．
三、解答题
13．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点在格点上．
【答案】见解析
【解析】
【详解】
14．（2019·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图①所示，即为所求；
（2）如图②所示，即为所求；
（3）如图③所示，四边形即为所求；
【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.
15．（2017·浙江嘉兴·中考真题）如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）70°．
【解析】
试题分析：（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
试题解析：（1）如图1，
⊙O即为所求．
（2）如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
【考点】1.作图—复杂作图；2.三角形的内切圆与内心．
16．（2015·贵州六盘水·中考真题）如图，已知，l1∥l2
，
C1在l1上，并且C1A⊥l2
，A为垂足，C2，
C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，
△ABC2的面积为S2，
△ABC3的面积为S3，
小颖认为S1=S2=S3，
请帮小颖说明理由．
【答案】S1=S2=S3
【解析】
试题分析：根据两平行线间的距离相等和同底等高的两个三角形的面积相等即可解答．
试题解析：解：∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．
即S1=S2=S3．
【考点】平行线之间的距离；三角形的面积．
17．（2013·贵州贵阳·中考真题）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为
三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为
三角形．
（2）猜想，当a2+b2
c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2
c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
【答案】解：（1）锐角；钝角．
（2）＞；＜．
（3）①当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②当c=2时，这个三角形是直角三角形；
③当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．．
【解析】
试题分析：（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可：
∵两直角边分别为6、8时，斜边=10，
∴当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形．
（2）根据（1）中的计算作出判断即可；
当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．
∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20．
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，
∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，
∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，
∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
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第11章三角形11.1与三角形有关的线段（中考真题专练）
一、单选题
1．（2020·江苏宿迁·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
2．（2020·江苏徐州·中考真题）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（
）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
4．（2020·湖北襄阳·中考真题）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江绍兴·中考真题）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16
B．24
C．16或24
D．48
二、填空题
7．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
8．（2020·青海中考真题）已知a，b，c为的三边长．b，c满足，且a为方程的解，则的形状为________三角形．
9．（2020·甘肃天水·中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
10．（2020·北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）
11．（2018·黑龙江绥化·中考真题）三角形三边长分别为3，，则a的取值范围是______．
12．（2014·江苏宿迁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AB的长是
．
三、解答题
13．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点在格点上．
14．（2019·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．
15．（2017·浙江嘉兴·中考真题）如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
16．（2015·贵州六盘水·中考真题）如图，已知，l1∥l2
，
C1在l1上，并且C1A⊥l2
，A为垂足，C2，
C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，
△ABC2的面积为S2，
△ABC3的面积为S3，
小颖认为S1=S2=S3，
请帮小颖说明理由．
17．（2013·贵州贵阳·中考真题）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为
三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为
三角形．
（2）猜想，当a2+b2
c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2
c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
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