中小学教育资源及组卷应用平台
第11章三角形11.2与三角形有关的角（中考真题专练）
一、单选题
1．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（
）
A．100°
B．110°
C．125°
D．135°
2．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（
）
A．120°
B．100°
C．150°
D．160°
3．（2019·河北中考真题）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．◎代表
B．@代表同位角
C．▲代表
D．※代表
4．（2019·浙江中考真题）在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（
）
A．必有一个角等于
B．必有一个角等于
C．必有一个角等于
D．必有一个角等于
5．（2019·台湾中考真题）如图，△ABC中，AC=BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（??
）
A．
B．
C．
D．
6．（2018·山东聊城·中考真题）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2019·江西中考真题）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．
8．（2016·河北中考真题）如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°.…若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为______.
9．（2013·上海中考真题）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．
10．（2013·四川达州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．
11．（2005·浙江台州·中考真题）如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55°，则∠BDF=_______°．
12．（2020·湖北黄冈·中考真题）已知：如图，，则_____________度．
三、解答题
13．（2019·甘肃武威·中考真题）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：．
问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：．
14．（2019·江苏苏州·中考真题）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
(1)求证：；
(2)若，，求的度数.
15．（2018·重庆中考真题）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
16．（2018·湖北宜昌·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（2017·重庆中考真题）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第11章三角形11.2与三角形有关的角（中考真题专练）
一、单选题
1．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（
）
A．100°
B．110°
C．125°
D．135°
【答案】B
【解析】
先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
，
是的角平分线
则在中，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练运用各定理与性质是解题关键．
2．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（
）
A．120°
B．100°
C．150°
D．160°
【答案】C
【解析】
延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F
=30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．
3．（2019·河北中考真题）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．◎代表
B．@代表同位角
C．▲代表
D．※代表
【答案】C
【解析】
根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．
【详解】
延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．
故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．
4．（2019·浙江中考真题）在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（
）
A．必有一个角等于
B．必有一个角等于
C．必有一个角等于
D．必有一个角等于
【答案】D
【解析】
先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.
【详解】
设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：
①
②
③
综上所述，必有一个角等于90°
故选D.
【点睛】本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.
5．（2019·台湾中考真题）如图，△ABC中，AC=BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（??
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
首先我们要清楚，长边对大角，即越长的边所对的角越大，等边对等角，即相等的边对应的角相等.选项中判断∠1与∠2的关系和∠A＋∠2，∠A＋∠1与180°的关系，都可以可以通过三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和等量代换去判断.
【详解】
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可知：
∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC
而∠ACB与∠ABC所对的边是AB和AC，AB
＞AC
所以∠ACB＞∠ABC
所以∠1＞∠2，故排除选项A，B
又∠A＋∠2=∠A+∠A+∠ABC，∠A＋∠1=∠A+∠A+∠ACB，∠ACB
+∠A+∠ABC=180°
因为∠A与∠ACB所对的边是BC和AB，BC＜AB
∠A与∠ABC所对的边是BC和AC，BC=AC
所以∠A＜∠ACB，∠A=∠ABC
所以∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB
+∠A+∠ABC，∠A+∠A+∠ACB=∠ACB
+∠A+∠ABC
即∠A＋∠2＜180°，∠A＋∠1=180°
故选项C正确，D选项排除.
故答案为C
【点睛】本题解题关键，务必清楚长边对大角，即越长的边所对的角越大，等边对等角，即相等的边对应的角相等.还有三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
6．（2018·山东聊城·中考真题）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【详解】
分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
详解:
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
二、填空题
7．（2019·江西中考真题）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．
【答案】20
【解析】
根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【详解】
解：，将沿着翻折得到，
，，
，
故答案为20
【点睛】此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答．
8．（2016·河北中考真题）如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°.…若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为______.
【答案】6
【解析】
∵A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，
∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，
∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°.
如图，当MN⊥OA时，光线沿原路返回，
∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，
∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－14°，
∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝69°，
∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－2×14°，
由以上规律可知∠A＝90°－n·14°.
当n＝6时，∠A取得最小值，最小度数为6°.
故答案为6.
9．（2013·上海中考真题）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．
【答案】300
【解析】
试题分析：根据定义，α=1000，β=500，则根据三角形内角和等于1800，可得另一角为300，因此，这个“特征三角形”的最小内角的度数为300．
10．（2013·四川达州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．
【答案】
【解析】
试题分析：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
又∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=度．
同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，∴∠A2=度．
……
∴∠A2013=度．
11．（2005·浙江台州·中考真题）如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55°，则∠BDF=_______°．
【答案】70
【解析】
由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出∠ADE=∠FDE=55°，则∠BDF即可求．
【详解】
解：∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线．
∴DE∥BC
∴∠ADE=∠B=55°
∴∠EDF=∠ADE=55°
∴∠BDF=180-55-55=70°．
故答案为：70．
12．（2020·湖北黄冈·中考真题）已知：如图，，则_____________度．
【答案】30
【解析】
本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．
【详解】
令BC与EF相交于G点，如下图所示：
∵，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
【点睛】
本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等．
三、解答题
13．（2019·甘肃武威·中考真题）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：．
问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：．
【答案】见解析；
【解析】
延长至，使，连接，则，得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，证出，得出，三点共线，由证明得出，得出，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，即可得出结论．
【详解】
解：延长至，使，连接，如图所示：
则，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是正方形的外角的平分线上一点，
∴，
∴，
∴，三点共线，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．
14．（2019·江苏苏州·中考真题）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
(1)求证：；
(2)若，，求的度数.
【答案】(1)证明见解析；(2)78°.
【解析】
（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC
【详解】
(1)
(2)
【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键
15．（2018·重庆中考真题）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【答案】20°
【解析】
依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．
【详解】
∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
16．（2018·湖北宜昌·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】(1)
65°；(2)
25°．
【解析】
【详解】
分析：（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
详解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
点睛：本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
（2017·重庆中考真题）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
【答案】50°．
【解析】
试题分析：由平行线的性质求出∠ABD=108°，由三角形的外角性质得出∠ABD=∠ACD+∠BDC，即可求出∠BDC的度数．
试题解析：∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
【考点】平行线的性质．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
