11.2 与三角形有关的角(简答题专练)

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名称 11.2 与三角形有关的角(简答题专练)
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科目 数学
更新时间 2020-08-20 22:49:35

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第11章三角形11.2与三角形有关的角(简答题专练)
1.将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起,友情提示:,,.
(1)①若,则的度数为__________;
②若,则的度数为__________.
(2)由(1)猜想与的数量关系,并说明理由;
(3)当且点在直线的上方时,当这两块角尺有一组边互相平行时,请直接写出角度所有可能的值.
2.(1)如图,△ABC,
∠ABC、∠ACB
的三等分线交于点
E、D,
若∠1=130°,∠2=110°,求∠A
的度数.
(2)如图,△ABC,∠ABC
的三等分线分别与∠ACB
的平分线交于点
D,E
若∠1=110°,∠2=130°,求∠A
的度数.
3.已知直线,的顶点与分别在直线与上,,设,.
(1)如图①,当点落在的上方时,与相交于点,求证:;
(2)如图②.当点落在直线的下方时,与交于点,请判断与的数量关系,并说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(3,0),线段AB平移后对应的线段为CD,点C在x轴的负半轴上,B、C两点之间的距离为8.
(1)求点D的坐标;
(2)如图(1),求△ACD的面积;
(3)如图(2),∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M,探求∠AMC的度数并证明你的结论.
5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,将△ABD沿AD折叠得到△AED,点E落在CD上,∠B=50°,∠C=30°.
(1)填空:∠BAD=
度;
(2)求∠CAE的度数.
6.在△ABC中,如图∠BAC=90°,BD平分∠ABC,点E在BC上,DE∥AB,点F在BC上,连结AF,∠C=36°.
(1)求∠BDE的度数;
(2)若∠BAF∶∠CAF=2∶3,求证:AF⊥BC.
7.将三角形纸片()沿折叠.
(1)当点落在四边形内部时,如图(1),的度数之间有怎样的等量关系?请你把它找出来,并证明你的结论;
(2)当点落在四边形外部时,如图(2),则的度数之间又有怎样的等量关系?
8.如图,已知AB∥CD,分别探究下面三个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,请从你所得三个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.
结论:(1)______(2)______(3)______
选择结论______,
说明理由______.
9.如图,在一张三角形纸片ABC中,AB=10cm,BC=7cm,AC=6cm,沿过点B的直线折叠这个三角形,使顶点C落在边AB上的点E处,折痕为BD.
(1)求△AED的周长.
(2)说明BD垂直平分EC.
10.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F,∠1=∠2.
(1)试说明DG∥BC的理由;
(2)如果∠B=34°,且∠ACD=47°,求∠3的度数.
11.如图,直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACB交AB于E,EF⊥AB交CB于F.(1)求证:CD∥EF;(2)若∠FEC=25°,求∠A的度数.
12.(1)如图1,AB∥CD,点E是在AB、CD之间,且在BD的左侧平面区域内一点,连结BE、DE.求证:∠E=∠ABE+∠CDE.
(2)如图2,在(1)的条件下,作出∠EBD和∠EDB的平分线,两线交于点F,猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系,并证明你的猜想.
(3)如图3,在(1)的条件下,作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线,两线交于点G,猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系,并证明你的猜想.
13.在△ABC中,已知∠A-∠B=30°,∠C=4∠B,求∠A,∠B,∠C的度数,并判断这个三角形的形状.
14.已知△ABC中,∠A=2∠B,∠C=∠B+20°求△ABC的各内角度数.
15.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题:
(1)已知,如图1,△ABC中,P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,求证:∠P=∠A+90°.
(2)如图2,若P点是∠ABC和∠ACB外角的角平分线的交点,∠A=80°,那么∠P=____°;
(3)如图3,△ABC中,若P点是∠ABC外角和∠ACB外角的角平分线的交点,∠A=,那么∠P=________(请用含的代数式表示)
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精品试卷·第
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第11章三角形11.2与三角形有关的角(简答题专练)
1.将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起,友情提示:,,.
(1)①若,则的度数为__________;
②若,则的度数为__________.
(2)由(1)猜想与的数量关系,并说明理由;
(3)当且点在直线的上方时,当这两块角尺有一组边互相平行时,请直接写出角度所有可能的值.
【答案】(1)①答案为:;②答案为:;(2);(3)、.
【解析】(1)①根据∠DCE和∠ACD的度数,求得∠ACE的度数,再根据∠BCE求得∠ACB的度数;②根据∠BCE和∠ACB的度数,求得∠ACE的度数,再根据∠ACD求得∠DCE的度数;
(2)根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°,进行计算即可得出结论;
(3)分2种情况进行讨论:当CB∥AD时,当EB∥AC时,分别求得∠ACE角度即可.
【详解】
解:(1)①∵∠DCE=50°,∠ACD=90°
∴∠ACE=40°
∵∠BCE=90°
∴∠ACB=90°+40°=130°
故答案为130;
②∵∠ACB=120°,∠ECB=90°
∴∠ACE=120°-90°=30°
∴∠DCE=90°-∠ACE=90°-30°=60°
故答案为60°;
(2)猜想:
理由如下:

即;
(3)、,
理由:当CB∥AD时,∠ACE=30°;
当EB∥AC时,∠ACE=45°.
【点睛】本题考查了平行线的性质,以及直角三角形的性质,解题时注意分类讨论思想的运用,分类时不能重复,也不能遗漏.
2.(1)如图,△ABC,
∠ABC、∠ACB
的三等分线交于点
E、D,
若∠1=130°,∠2=110°,求∠A
的度数.
(2)如图,△ABC,∠ABC
的三等分线分别与∠ACB
的平分线交于点
D,E
若∠1=110°,∠2=130°,求∠A
的度数.
【答案】(1)∠A=60°,(2)∠A=60°
【解析】(1)由三角形内角和及三等角平分线的定义可得到方程组,则可求得∠ABC+∠ACB,再利用三角形内角和可求得∠A.
(2)由三角形外角可得∠DBC=20°由三等角平分线的定义可得∠ABC=60°,三角形内角和可得∠ECB=30°,角平分线的定义可得∠ACB=60°,由三角形内角和可得∠A=60°.
【详解】
解:(1)
∵∠ABC、∠ACB
的三等分线交于点
E、D
,
∠ABC=3x,∠ACB=3y
①+②得:240°+3x+3y=360°
即3x+3y=120°
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-120°=60°
(2)∵∠ABC
的三等分线分别与∠ACB
的平分线交于点
D,E
【点睛】掌握三角形内角和和外角和以及角的三等分线及角平分线是解题的关键.
3.已知直线,的顶点与分别在直线与上,,设,.
(1)如图①,当点落在的上方时,与相交于点,求证:;
(2)如图②.当点落在直线的下方时,与交于点,请判断与的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1)由三角形的外角性质得出,由平行线的性质得出,得出,即可得出结论;
(2)由三角形的外角性质得出,由平行线的性质得出,得出,即可得出结论.
【详解】
(1)证明:是的一个外角,






(2),理由如下:
是的一个外角,






【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质;熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键.
4.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(3,0),线段AB平移后对应的线段为CD,点C在x轴的负半轴上,B、C两点之间的距离为8.
(1)求点D的坐标;
(2)如图(1),求△ACD的面积;
(3)如图(2),∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M,探求∠AMC的度数并证明你的结论.
【答案】(1)D(﹣2,﹣4);(2)16;(3)∠M=45°,理由见解析
【解析】(1)根据平移规律可得点D的坐标;
(2)利用面积差可得结论;
(3)先根据直角三角形的两锐角互余得:∠OAB+∠ABO=90°,由角平分线定义得:∠MCB+∠OAM=
(∠DCB+∠OAB)=45°,最后根据三角形的内角和可得结论.
【详解】
解:(1)∵
B(3,0),

OB=3,

BC=8,

OC=5,

C(﹣5,0),

AB∥CD,AB=CD,

D(﹣2,﹣4);
(2)如图(1),连接OD,
∴S△ACD=S△ACO+S△DCO﹣S△AOD=﹣=16;
(3)∠M=45°,理由是:
如图(2),连接AC,
∵AB∥CD,
∴∠DCB=∠ABO,
∵∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠OAB+∠DCB=90°,
∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M,
∴∠MCB=,∠OAM=,
∴∠MCB+∠OAM==45°,
△ACO中,∠AOC=∠ACO+∠OAC=90°,
△ACM中,∠M+∠ACM+∠CAM=180°,
∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM=180°,
∴∠M=180°﹣90°﹣45°=45°.
【点睛】本题是三角形的综合题,考查了平移的性质,三角形的面积,角平分线的性质,三角形的内角和定理,添加恰当的辅助线是本题的关键.
5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,将△ABD沿AD折叠得到△AED,点E落在CD上,∠B=50°,∠C=30°.
(1)填空:∠BAD=
度;
(2)求∠CAE的度数.
【答案】(1)40;(2)20°
【解析】(1)直接根据三角形内角和定理求出∠BAD的度数;
(2)先根据图形折叠的性质求出∠AED的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论.
【详解】
(1)∵AD是BC边上的高,∠B=50°,
∴∠BAD=180°-90°-50°=40°.
故答案为40;
(2)∵△AED是由△ABD折叠得到,
∴∠AED=∠B=50°,
∵∠AED是△ACE的外角,
∴∠AED=∠CAE+∠C,
∴∠CAE=∠AED-∠C=50°-30°=20°.
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键.
6.在△ABC中,如图∠BAC=90°,BD平分∠ABC,点E在BC上,DE∥AB,点F在BC上,连结AF,∠C=36°.
(1)求∠BDE的度数;
(2)若∠BAF∶∠CAF=2∶3,求证:AF⊥BC.
【答案】(1)27°;(2)见解析.
【解析】(1)由∠BAC=90°和∠C=36°,可求得∠ABC,由BD平分∠ABC得∠ABD=∠ABC,
再由DE∥AB,根据两直线平行,内错角相等可得∠BDE=∠ABD,问题得解;
(2)由∠BAF∶∠CAF=2∶3,可计算出∠CAF的度数,验证它与∠C的和等于90°即可.
【详解】
(1)解:∵∠BAC=90°,∠C=36°,
∴∠ABC=54°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ABC=27°,
∵DE∥AB,
∴∠BDE=∠ABD=27°;
(2)证明:∵∠BAF∶∠CAF=2∶3,
∴∠CAF=∠BAC=×90°=54°,
∵∠C=36°,
∴∠CAF+∠C=54°+36°=90°,
即∠AFC=90°,
∴AF⊥BC.
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的性质、平行线的性质和两线垂直的判定,考查的知识点虽多,但难度不大,属于基础题型.
7.将三角形纸片()沿折叠.
(1)当点落在四边形内部时,如图(1),的度数之间有怎样的等量关系?请你把它找出来,并证明你的结论;
(2)当点落在四边形外部时,如图(2),则的度数之间又有怎样的等量关系?
【答案】(1);(2).
【解析】对于(1),由对折的性质可知∠DEA′=∠AED,∠EDA′=∠ADE,再根据平角定义可得∠AED=
,∠ADE=
,然后利用三角形的内角和得到等式
=180°,化简即可求解;对于(2),仿照问题(1)的解答方法,即可解答.
【详解】
(1)2∠A=∠1+∠2.
理由:如图(1),由折叠可得,∠DEA′=∠AED,∠EDA′=∠ADE,
∵∠DEA′+∠AED+∠1=180°,
∴∠1=180°-(∠DEA′+∠AED)=180°-2∠AED,
∴∠AED=.
同理:∠ADE=.
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,
∴=180°,
∴2∠A=∠1+∠2.
(2)2∠A=∠1-∠2.
理由:如图(2),由(1)有:∠AED=,∠EDA′=∠ADE.
∵∠EDA+∠EDB=180°,∠EDB=∠A′DE-∠2,
∴∠ADE=.
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°,
∴=180°,
∴2∠A=∠1-∠2.
【点睛】此题考查折叠的性质,三角形内角和定理,明确图形中各角之间的关系是解题的关键.
8.如图,已知AB∥CD,分别探究下面三个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,请从你所得三个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.
结论:(1)______(2)______(3)______
选择结论______,
说明理由______.
【答案】详见解析.
【解析】(1)过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD,再根据两直线平行同旁内角互补即可解答;
(2)过点P作PF∥AB,则AB∥CD∥l,再根据两直线内错角相等即可解答;
(3)根据AB∥CD,可得出∠PEB=∠PCD,再根据三角形外角的性质进行解答;
选择①中任意一个进行证明即可.
【详解】
(1)过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD,
∴∠1+∠PAB=180°,
∠2+∠PCD=180°,
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°.
故填:∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;
(2)过点P作直线PF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥PF∥CD,
∴∠PAB=∠1,∠PCD=∠2,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD.
故填:∠APC=∠PAB+∠PCD;
(3)∵AB∥CD,
∴∠1=∠C,
∵∠1=∠PAB+∠APC,
∴∠PCD=∠APC+∠PAB.
故填:∠PCD=∠APC+∠PAB.
选择(1).证明同上.
【点睛】本题考查平行线的性质,解题的关键是掌握平行线的性质,知道等量代换.
9.如图,在一张三角形纸片ABC中,AB=10cm,BC=7cm,AC=6cm,沿过点B的直线折叠这个三角形,使顶点C落在边AB上的点E处,折痕为BD.
(1)求△AED的周长.
(2)说明BD垂直平分EC.
【答案】(1)△AED的周长=9cm;(2)见解析.
【解析】(1)依据翻折的性质可知DC=DE,BC=BE=7cm,然后可求得AD+DE以及AE的长,故此可求得△AED的周长;
(2)由DC=DE,BC=BE可知点D和点B在EC的垂直平分线上,根据两点确定一条直线可知BD垂直平分EC.
【详解】
解:(1)∵由翻折的性质可知DC=DE,BE=BC=7cm.
∴AD+DE=AD+DC=AC=6cm,AE=AB-BE=10-7=3cm.
∴△AED的周长=6+3=9cm.
(2)如图:
∵DC=DE,BC=BE,
∴点D和点B均在EC的垂直平分线上.
∴BD垂直平分EC.
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的判定,掌握翻折的性质是解题的关键.
10.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F,∠1=∠2.
(1)试说明DG∥BC的理由;
(2)如果∠B=34°,且∠ACD=47°,求∠3的度数.
【答案】(1)DG∥BC,详见解析;(2)∠3
=103°.
【解析】(1)先根据垂直定义得出∠CDF=∠EFB=90°,根据平行线判定可得出CD∥EF,故可得出∠2=∠BCD,推出∠1=∠BCD,根据平行线的判定即可得出结论;
(2)先根据CD⊥AB得出∠BDC=90°,由直角三角形的性质得出∠BCD的度数,故可得出∠ACB的度数,再根据平行线的性质即可得出结论.
【详解】
解:(1)DG∥BC.
理由是:∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴∠CDF=∠EFB=90°,
∴CD∥EF.
∴∠2=∠BCD,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BCD,
∴DG∥BC;
(2)∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°.
∵∠B=34°,
∴∠BCD=90°-34°=56°.
∵∠ACD=47°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=47°+56°=103°.
∵由(1)知DG∥BC,
∴∠3=∠ACB=103°.
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质,熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键.
11.如图,直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACB交AB于E,EF⊥AB交CB于F.(1)求证:CD∥EF;(2)若∠FEC=25°,求∠A的度数.
【答案】(1)详见解析;
(2)详见解析;
【解析】(1)根据垂直于同一条直线的两直线平行证明;
(2)根据平行线的性质求得∠DCE度数,再根据直角三角形的性质和角平分线的定义求出∠ACE,进一步求出∠ACD,再利用直角三角形两个锐角互余即可求出∠A.
【详解】
(1)证明:
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF;
(2)解:
∵CD∥EF,
∠FEC=25°
∴∠FEC=∠DCE=25°
∵∠ACB=90°,CE平分∠ACB,
∴∠ACE=45°,
∴∠ACD
=45°-25°=20°,
∵CD⊥AB,
∴∠A=90°-∠ACD
=70°,
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、直角三角形的性质,掌握两直线平行、内错角相等、直角三角形的两锐角互余是解题的关键.
12.(1)如图1,AB∥CD,点E是在AB、CD之间,且在BD的左侧平面区域内一点,连结BE、DE.求证:∠E=∠ABE+∠CDE.
(2)如图2,在(1)的条件下,作出∠EBD和∠EDB的平分线,两线交于点F,猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系,并证明你的猜想.
(3)如图3,在(1)的条件下,作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线,两线交于点G,猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系,并证明你的猜想.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2∠G=∠ABE+∠CDE
【解析】(1)利用平行线的性质即可得出结论;
(2)先判断出∠EBD+∠EDB=180°-(∠ABE+∠CDE),进而得出∠DBF+∠BDF=90°-
(∠ABE+∠CDE),最后用三角形的内角和即可得出结论;
(3)先由(1)知,∠BED=∠ABE+∠CDE,再利用角平分线的意义和三角形外角的性质即可得出结论.
【详解】
(1)如图,
过点E作EH∥AB,
∴∠BEH=∠ABE,
∵EH∥AB,CD∥AB,
∴EH∥CD,
∴∠DEH=∠CDE,
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE;
(2)2∠F-(∠ABE+∠CDE)=180°,
理由:由(1)知,∠BED=∠ABE+∠CDE,
∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°,
∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-(∠ABE+∠CDE),
∵BF,DF分别是∠DBE,∠BDE的平分线,
∴∠EBD=2∠DBF,∠EDB=2∠BDF,
∴2∠DBF+2∠BDF=180°-(∠ABE+∠CDE),
∴∠DBF+∠BDF=90°-(∠ABE+∠CDE),
在△BDF中,∠F=180°-(∠DBF+∠BDF)=180°-[90°-(∠ABE+∠CDE)]=90°+(∠ABE+∠CDE),
即:2∠F-(∠ABE+∠CDE)=180°;
(3)2∠G=∠ABE+∠CDE,理由:如图3,
由(1)知,∠BED=∠ABE+∠CDE,
∵BG是∠EBD的平分线,
∴∠DBE=2∠DBG,
∵DG是∠EDP的平分线,
∴∠EDP=2∠GDP,
∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2(∠GDP-∠DBG),
∴∠GDP-∠DBG=∠BED=(∠ABE+∠CDE)
∴∠G=∠GDP-∠DBG=(∠ABE+∠CDE),
∴2∠G=∠ABE+∠CDE.
【点睛】此题主要考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,三角形的外角的性质,判断出∠BED=∠EDP-∠DBE是解本题的关键.
13.在△ABC中,已知∠A-∠B=30°,∠C=4∠B,求∠A,∠B,∠C的度数,并判断这个三角形的形状.
【答案】这个三角形是钝角三角形.
【解析】首先根据三角形内角和定理和已知条件得到相等关系式6∠B+30°=180°,进而求得∠B的值;接下来根据条件即可求得∠A、∠C的度数,
从而得到三角形的类型.
【详解】
解:因为∠A-∠B=30°,所以∠A=∠B+30°.又因为∠C=4∠B,
且∠A+∠B+∠C=180°,即6∠B+30°=180°,所以∠B=25°,
则∠A=55°,∠C=100°,所以这个三角形是钝角三角形.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类,
得到等量关系是关键.
14.已知△ABC中,∠A=2∠B,∠C=∠B+20°求△ABC的各内角度数.
【答案】∠A=80°;∠B=40°;∠C=60°.
【解析】先设∠B=x,
再用x表示出∠A与∠C,
根据三角形内角和定理求出各角的度数即可得出正确的答案.
【详解】
解:
在ΔABC中,
∠A=2∠B,∠C=∠B+20°,
设∠B
=
x,
则∠A=2
x,
∠C=
x+20,
∠A+∠B+∠C=180,得x+(x+20)+2x=180,
解得x=40
∠A=80,
∠B=40,
∠C=60.
故答案为:
∠A=80
,
∠B=40,
∠C=60
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理,
熟知三角形的内角和是180度是解答此题的关键.
15.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题:
(1)已知,如图1,△ABC中,P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,求证:∠P=∠A+90°.
(2)如图2,若P点是∠ABC和∠ACB外角的角平分线的交点,∠A=80°,那么∠P=____°;
(3)如图3,△ABC中,若P点是∠ABC外角和∠ACB外角的角平分线的交点,∠A=,那么∠P=________(请用含的代数式表示)
【答案】(1)见解析(2)40°(3)90°-
【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角等于不相邻的两个内角之和,推理出两角的关系.
【详解】
(1)证明:由三角形内角和定理得,

∵点P是和的角平分线的交点


又∵



(2)由三角形的外角性质得
∵点P是和外角的角平分线的交点



∵是的外角



(3)由三角形内角和定理得
∵点是外角和外角的角平分线的交点

∴=





【点睛】本题是一道探究问题,考查的知识点是三角形的外角的性质以及角平分线的定义.认真阅读材料中提供的方法,是解决此类问题的关键.
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精品试卷·第
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