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第21章一元二次方程21.1一元二次方程（选择题专练）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c=0
B．x2-x（x+7）=0
C．2x2-y-1=0
D．x2-2x-3=0
【答案】D
【解析】
根据一元二次方程的定义即可得出答案.
【详解】
A：当a=0时，方程不是一元二次方程，故选项A错误；
B：x2-x（x+7）=7x，故方程不是一元二次方程，故选项B错误；
C：含有两个未知数，故不是一元二次方程，故选项C错误；
D：满足一元二次方程的定义，故选项D正确；
故答案选择D.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次项为2.
2．一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（??
）
A．该方程有两个不相等的实数根?????????
B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程有实数根????????????????
D．该方程没有实数根
【答案】C
【解析】
根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(k-4)≥0,由此即可得出该方程有实数根,此题得解.
【详解】
解:在方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）中,
A=k-42(k-2)=k-8k+16=(k-4)≥0，
.该方程有实数根.
所以C选项是正确的.
【点睛】本题主要考查一元二次方程由根的判别式判别根的情况.
3．下列方程中，关于
x
的一元二次方程有（
）
①x2=0；②ax2+bx+c=0；③
x2﹣3=
x；④（x+1）2=x2﹣9；
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
【答案】B
【解析】
根据一元二次方程的定义进行判断即可.
【详解】
解：①
x2=0；③
x2﹣3=
x符合一元二次方程的定义;
②
ax2+bx+c=0中当a=0时,不是一元二次方程;
④（x+1）2=x2﹣9展开后为x2+2x+1=
x2-9即2x+1=-9是一元一次方程.
共2个一元二次方程,故选B.
【点睛】根据一元二次方程的定义,一元二次方程有三个特点:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的最高次数是2;
(3)是整式方程.
要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程一元二次方程.
4．一元二次方程x（x-2）=0的解是（
）
A．x1=1，x2=2
B．x=0
C．x=2
D．x1=0，x2=2
【答案】D
【解析】
利用因式分解的方法求一元二次方程的解,先用因式分解将方程变为一元一次方程,
在进行求解;因为任何数与0相乘都得0,所以两式相乘等于0,
可得x=0或x-2=0,
然后再解这两个方程即可得到一元二次方程的解.
【详解】
解:x(x-2)=0,
..x=0或x-2=0,
原方程的解为:
x1=0，x2=2.
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,
需结合因式分解的方法进行求解.
5．方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
）
A．1、2、-3
B．1、2、-6
C．1、-2、6
D．1、2、6
【答案】C
【解析】
首先将方程化为一般形式:
,然后根据此一般形式,即可求得答案.
【详解】
解:方程化成一般形式是,
二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为6.
所以C选项是正确的.
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式.注意一元二次方程的一般形式是:ax+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
6．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【答案】A
【解析】
先把x=1代入方程x2+ax-2b=0得a-2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a-4b的值即可．
【详解】
将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）＝﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
7．关于x的方程(m+1)x2﹣(m﹣1)x+1＝0是一元二次方程，那么m是( )
A．m≠1
B．m≠﹣1
C．m≠1且m≠﹣1
D．m≠0
【答案】B
【解析】
只含有一个未知数,且未知数最高指数是2次的整式方程是一元二次方程,注意二次项系数不能为0,利用一元二次方程的定义即可求解.
【详解】
因为关于x的方程(m+1)x2﹣(m﹣1)x+1＝0是一元二次方程,
所以m+1≠1,
所以m≠﹣1,
故选B.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
8．已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解为0，则m的值为（
）
A．2
B．-2
C．±2
D．0
【答案】B
【解析】
根据题意可将x=0代入方程可得:,解得:,又因为,所以,所以,故选B.
9．若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）
A．x2﹣7x+12=0
B．x2+7x+12=0
C．x2﹣9x+20=0
D．x2+9x+20=0
【答案】C
【解析】
将已知数据从小到大顺序排列:2,3,4,4,5,5,5;根据众数和中位数的定义求出众数和中位数,再根据根与系数的关系造出方程即可.
【详解】
解:将已知数据从小到大顺序排列,得:2,3,4,4,5,5,5;
共7个数据,处于中间的数据是第4个数据4,出现最多的数据是5,
因此,这组数据的中位数是4,众数是5,
以4,5为根的一元二次方程是x2-9x+20=0,
所以C选项是正确的.
【点睛】本题主要考查了众数,中位数的概念,根与系数的关系,掌握众数和中位数的求法是解题的关键.
10．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（?
）
A．y2+5y－6=0???????????B．y2+5y＋6=0?????????????C．y2－5y＋6=0???????????D．y2－5y－6=0
【答案】B
【解析】
先设α、β是方程x2＋2x－3＝0的两个根,根据根与系数的关系可求α+β、αβ,再根据根与系数的关系易求与的值,进而可求二次项系数为1的方程.
【详解】
解:设α、β是方程x2＋2x－3＝0的两个根,那么
α+β=-2,
αβ=-3,
=-2-3=-5,
=-2x(-3)=6,
若a=1,则b=5,c=6,
所求方程是y2+5y+6=0.
所以B选项是正确的.
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
11．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5、6、﹣8
B．5，﹣6，﹣8
C．5，﹣6，8
D．6，5，﹣8
【答案】C
【解析】
根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.
【详解】
5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．如果（m﹣1）x2+3x﹣2=0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0
B．m≠1
C．m=0
D．m=1
【答案】B
【解析】
根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,且未知数的最高指数是2的整式方程,一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
由一元二次方程的定义,可得:m-1≠0,∴m≠1,故选B．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义．
13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A．
B．
C．且
D．且
【答案】C
【解析】
根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2-4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】
解：∵kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=1-4k＞0，且k≠0，
解得，k＜且k≠0；
故答案是：k＜且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．
14．若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
【详解】
解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，
∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m）（a-n）＜0是解本题的关键．
15．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程的解的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
由于x≥[x]，所以可把方程x2-2[x]-3=0写成2[x]=x2-3，可得不等式2x≥x2-3，求得x的取值范围．再将x的取值范围分为5类求解即可进行选择．
【详解】
解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3．
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1
则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x=；
（5）x=3显然是原方程的解．
综合以上，所以原方程的解为-1，，3．
故选：C．
【点睛】本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{x}．
解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值．注意分情况进行讨论．
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第21章一元二次方程21.1一元二次方程（选择题专练）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c=0
B．x2-x（x+7）=0
C．2x2-y-1=0
D．x2-2x-3=0
2．一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（?
?
）
A．该方程有两个不相等的实数根??????????
B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程有实数根?????????????????
D．该方程没有实数根
3．下列方程中，关于
x
的一元二次方程有（
）
①x2=0；②ax2+bx+c=0；③
x2﹣3=
x；④（x+1）2=x2﹣9；
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
4．一元二次方程x（x-2）=0的解是（
）
A．x1=1，x2=2
B．x=0
C．x=2
D．x1=0，x2=2
5．方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
）
A．1、2、-3
B．1、2、-6
C．1、-2、6
D．1、2、6
6．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
7．关于x的方程(m+1)x2﹣(m﹣1)x+1＝0是一元二次方程，那么m是( )
A．m≠1
B．m≠﹣1
C．m≠1且m≠﹣1
D．m≠0
8．已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解为0，则m的值为（
）
A．2
B．-2
C．±2
D．0
9．若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）
A．x2﹣7x+12=0
B．x2+7x+12=0
C．x2﹣9x+20=0
D．x2+9x+20=0
10．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（?
）
A．y2+5y－6=0??????????
B．y2+5y＋6=0?????????????
C．y2－5y＋6=0???????????D．y2－5y－6=0
11．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5、6、﹣8
B．5，﹣6，﹣8
C．5，﹣6，8
D．6，5，﹣8
12．如果（m﹣1）x2+3x﹣2=0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0
B．m≠1
C．m=0
D．m=1
13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A．
B．
C．且
D．且
14．若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
15．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程的解的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
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