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第21章一元二次方程21.1一元二次方程（中考真题专练）
一、单选题
1．（2016·福建龙岩·中考真题）下列命题是假命题的是（
）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（
）
A．0
B．1
C．?3
D．?1
3．（2017·浙江温州·中考真题）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．（2017·新疆中考真题）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（
）
A．﹣3
B．﹣2
C．3
D．6
5．（2016·山东日照·中考真题）下列命题：①若a＜1，则（a﹣1）；②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是3；④如果方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a＜1．其中正确的命题个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．（2014·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）．
A．k＞
B．k≥
C．k＞且k≠1
D．k≥且k≠1
二、填空题
7．（2020·山东威海·中考真题）一元二次方程的解为__________．
8．（2019·四川资阳·中考真题）a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
9．（2016·河南中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围__________________.
（2013·湖南湘潭·中考真题）如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为
．
11．（2013·四川眉山·中考真题）（2013年四川眉山3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=
．
12．（2005·江苏南京·中考真题）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1：
．
三、解答题
13．（2017·浙江台州·中考真题）（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．
（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程
（a≠0，≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？
14．（2016·湖南岳阳·中考真题）已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).
15．（2013·黑龙江黑河·中考真题）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以
A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2013·山东菏泽·中考真题）已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
17．（2012·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中a是方程x2－x=6的根．
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第21章一元二次方程21.1一元二次方程（中考真题专练）
一、单选题
1．（2016·福建龙岩·中考真题）下列命题是假命题的是（
）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【答案】A
【解析】
试题分析：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误；
B、两直线平行，同位角相等，故B正确；
C、对顶角相等，故C正确；
D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；
故选A．
【考点】命题与定理
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（
）
A．0
B．1
C．?3
D．?1
【答案】B
【解析】
【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【详解】
解：根据题意得，
解得；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3．（2017·浙江温州·中考真题）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】
试题解析：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
【考点】一元二次方程的解．
4．（2017·新疆中考真题）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（
）
A．﹣3
B．﹣2
C．3
D．6
【答案】A
【解析】试题解析：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选A．
【考点】根与系数的关系．
5．（2016·山东日照·中考真题）下列命题：①若a＜1，则（a﹣1）；②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是3；④如果方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a＜1．其中正确的命题个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【解析】
试题分析：①∵a＜1，1﹣a＞0，∴（a﹣1），正确；②平行四边形既是中心对称图形但不是轴对称图形，错误；③的算术平方根是，错误；④∵方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1且a≠0，错误．故选A．
【考点】命题与定理．
6．（2014·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）．
A．k＞
B．k≥
C．k＞且k≠1
D．k≥且k≠1
【答案】C
【解析】试题分析：因为关于x的一元二次方程（k－1）x2＋2x－2＝0有实数根，
所以，所以k≥，又因为k－1≠0，所以k≠1，所以k的取值范围是k≥且k≠1，故选：D．
【考点】根的判别式．
二、填空题
7．（2020·山东威海·中考真题）一元二次方程的解为__________．
【答案】x=或x=2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
8．（2019·四川资阳·中考真题）a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
【答案】8
【解析】
【分析】直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
9．（2016·河南中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围__________________.
【答案】k＞.
【解析】
试题分析：已知一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可得△=9+4k＞0，解得k＞.
【考点】根的判别式.
（2013·湖南湘潭·中考真题）如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为
．
【答案】2．
【解析】
根据＞1选择左边的函数关系式进行计算即可得解：
∵x=＞1，∴．
11．（2013·四川眉山·中考真题）（2013年四川眉山3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=
．
【答案】9。
【解析】∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3。
∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
12．（2005·江苏南京·中考真题）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1：
．
【答案】如x2=0,
x2-x=0
【解析】
【分析】【详解】
只要符合题中条件即可．
三、解答题
13．（2017·浙江台州·中考真题）（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．
（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程
（a≠0，≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；（4），=．
【解析】
试题分析：（1）根据“第四步”的操作方法作出点D即可；
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，根据△AOC∽△CDB，可得，进而得出，即，据此可得m是方程的实数根；
（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；
（4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得，进而得到，再根据，可得，最后比较系数可得m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系．
试题解析：（1）如图所示，点D即为所求；
（2）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴，∴，∴m（5﹣m）=2，∴，∴m是方程的实数根；
（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；
（4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得，上式可化为，又∵，即，∴比较系数可得，=．
【考点】三角形综合题；一元二次方程的解；相似三角形的判定与性质；阅读型；操作型；压轴题．
14．（2016·湖南岳阳·中考真题）已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).
【答案】（1）证明见解析；（2）5.
【解析】
试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=-1，
∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5，
把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；
把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
【考点】1.根的判别式；2.一元二次方程的解．
15．（2013·黑龙江黑河·中考真题）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以
A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）解得（x﹣）（x﹣1）=0，
解得x1=，x2=1。
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=。∴A（1，0），B（0，）。∴AB=2。
又∵AB：AC=1：2，∴AC=4。∴C（﹣3，0）。；
（2）由题意得：CM=t，CB=2．
①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t＜）；
②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣（t＞）。
（3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1，）。
【解析】
试题分析：（1）通过解一元二次方程，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据勾股定理可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标。
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式。
（3）分AB是边和对角线两种情况讨论可求Q点的坐标：
16．（2013·山东菏泽·中考真题）已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
【答案】4
【解析】
解：∵m是方程的根，
∴，即。
∴。
根据方程的解得出，变形后代入求出即可。
17．（2012·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中a是方程x2－x=6的根．
【答案】，
【解析】
解：原式=．
∵a是方程x2－x=6的根，∴a2－a=6．
∴原式=．
先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可（本题整体代入）．
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