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第21章一元二次方程21.1一元二次方程（简答题专练）
1．先化简，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．
【答案】.
【解析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式除法运算，把a代入方程后得到a2﹣3a的值，然后代入化简后的结果进行计算即可.
【详解】
原式=
=
=
=（a2-3a），
∵a是方程x2﹣3x+1=0的根，
∴a2﹣3a+1=0，
∴a2﹣3a=﹣1，
∴原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，熟练掌握分式混合运算的运算法则、运用整体代入思想是解题的关键.
2．若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．
【答案】2020．
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程求得m（m+1）=1；然后将所求的代数式转化为含有m（m+1）的代数式，并代入求值即可．
【详解】
解：根据题意，得
∴，或m（m+1）=1，
∴m3+2m2+2019．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．关于x的方程x2－4x＋2m+2＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】m=1，
【解析】
直接利用根的判别式得出m的取值范围，再由m为正整数进而求出m的值，然后再将m代入方程中解方程得出答案．
【详解】
解：∵关于x的方程x2－4x＋2m+2＝0有实数根
∴
解得
又为正整数
∴
将代回方程中，得到x2－4x＋4＝0
即
求得方程的实数根为：.
故答案为：，方程的实数根为：
【点睛】此题主要考查了根的判别式，当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；时方程无实数根.
4．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式，
解：∵，∴可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）
解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
问题：（1）一元二次不等式的解集为______．
（2）求分式不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
（1）仿照例题进行解答即可；
（2）先利用分式的基本性质将分式转换成整式，然后仿照例题解答即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴可化为，
根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得
①或②
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或；
（2）∵
∴（5x+1）（2x-3）＜0
根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，可得：
①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，发现无解，
故（5x+1）（2x-3）＜0的解集为，
即分式不等式的解集．
【点睛】本题考查了解一元二次不等式和解分式不等式，根据例题总结解答方法和掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
5．x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
【答案】x＝0或x＝4
【解析】
根据题意列出方程，利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：由题意知x2+1＝4x+1，
整理，得：x2﹣4x＝0，
∵x(x﹣4)＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x＝0或x＝4．
答：当x＝0或x＝4时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论实数
m
取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于
9，求m的值．
【答案】（1）详见解析；（2）m
的值为
1
或﹣5．
【解析】
（1）先由方程根的判别式得出m代数式，根据其式子特征，变形从而得证；
（2）根据题意得到x=±3是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．
【详解】
（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数
m
取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于
9，
∴x＝±3，
当
x＝3
时，m＝1；当
x＝﹣3时，
m＝﹣5．
综上所述，m
的值为
1
或﹣5．
【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．
7．已知关于的方程，其中是方程的一个根.
（1）求的值及方程的另一个根；
（2）若△的三条边长都是此方程的根，求△的周长.
【答案】（1）a=2，另一根是1；（2）3或7或9
【解析】
（1）把x＝3代入方程求出a的值，再把a的值代入方程，求出方程的另一个根；
（2）根据三角形的三边关系，确定三角形的三边长度，求出三角形的周长．
【详解】
解：（1）把x＝3代入方程得9（a?1）?4×3?1＋2a＝0，
解得a＝2，
∴原方程为x2?4x＋3＝0，
（x?1）（x?3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3，
故它的另一个根是1；
（2）由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3，
那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，∵1＋1＝2＜3，
∴三角形的边长只能为3，3，1，
那么三角形的周长是7；
由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程求出a的值，再把a值代入方程，求出方程的另一个根，根据方程的根，确定三角形三边的值，然后求出三角形的周长．
8．关于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】
【解析】
要使关于x的方程是一元二次方程，则项的指数且系数，即可确定m的值，
【详解】
解：关于的方程是一元二次方程，
依题意有，
∴
∴当时方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
9．已知关于的方程的一个根是.求的值和方程的另一个根.
【答案】，另一根
【解析】
将x=2
代入原方程求出p
的值，将p代入原方程可得出关于x
的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵x=2是方程的一个根，
∴p2-2p-3=0
解得：；
（2）把代入得，
x2-6x+8=0,
解得，x1=2,x2=4,
∴另一根.
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．
10．已知：有代数式①；②；③；④．若从中随机抽取两个，用“=”连接．
(1)写出能得到的一元二次方程；
(2)从(1)中得到的一元二次方程中挑选一个进行解方程．
【答案】(1)①；②；③；
(2)①；②；③
【解析】
(1)
根据一元二次方程的定义，把所有情况列举出来判断即可得到答案；
(2)从中选取一个直接解方程即可得到答案.
【详解】
解：(1)
抽取到①②组合为：=，故不是一元二次方程；
抽取到①③组合为：=，故不是一元二次方程；
抽取到①④组合为：=，故不是一元二次方程；
抽取到②③组合为：=，即：，故是一元二次方程；
抽取到②④=，即，故是一元二次方程；
抽取到③④组合为：=，即，故是一元二次方程；
(2)选取一元二次方程②③组合：=进行求解，
=
解：化简得：
十字相乘法分解因式为：，
解得：；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念以及求解，掌握只有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的多项式是一元二次方程是解题的关键.
11．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．
【答案】（1）；（2），
【解析】
（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可.
【详解】
解：化简，得
．
方程是关于的一元二次方程，得
，解得，
当时，方程是关于的一元二次方程；
由一次项系数为零，得．
则原方程是，即．
因式分解得，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
12．选用合适的方法解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【解析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）移项，利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）
，即，
∴，
∴，
（2）
，
，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
13．（发现）在解一元二次方程的时候，发现有一类形如x2+（m+n）x+mn＝0的方程，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它转化成x2+（m+n）x+mn＝（m+x）（m+n）＝0
（探索）解方程：x2+5x+6＝0：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3），原方程可转化为（x+2）（x+3）＝0，即x+2＝0或x+3＝0，进而可求解．
（归纳）若x2+px+q＝（x+m）（x+n），则p＝
q＝
；
（应用）
（1）运用上述方法解方程x2+6x+8＝0；
（2）结合上述材料，并根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，求出一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解．
【答案】归纳：m+n，m；应用（1）：x1＝﹣2，x2＝4；（2）x＞3或x﹣1
【解析】
归纳：根据题意给出的方法即可求出答案．
应用：（1）根据题意给出的方法即可求出答案；
（2）根据题意给出的方法即可求出答案；
【详解】
解：归纳：故答案为：m+n，m；
应用：（1）x2+6x+8＝0，
∴（x+2）（x+4）＝0
∴x+2＝0，x+4＝0
∴x1＝﹣2，x2＝4；
（2）∵x2﹣2x﹣3＞0
∴（x﹣3）（x+1）＞0
∴或
解得：x＞3或x﹣1
【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次不等式的解及题目所给信息的总结归纳能力
14．阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1．
【答案】34
【解析】
根据一元二次方程的解的定义可得关于x1与x2的等式，然后代入所求式子降次化简后可得关于x1+x2的式子，由阅读材料可得x1+x2的值，再整体代入计算即可．
【详解】
解：∵方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根为x1，x2，
∴2x12﹣5x1﹣3＝0，2x22﹣5x2﹣3＝0，即2x12＝5x1+3，2x22＝5x2+3，
∴原式＝5x1+3+2（5x2+3）+5x1＝10（x1+x2）+9，
∵x1+x2＝，∴原式＝10×+9＝34．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和整体的数学思想，读懂题意、灵活应用一元二次方程的解的定义是解答的关键．
15．如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数：
(2)设．
①请用含的代数式表示与的长；
②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
【答案】（1）；（2）①，；②是，理由见解析
【解析】
（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵，
，
又，
是等边三角形．
．
（2）①∵
又，
．
②∵
∴线段的长是方程的一个根．
若与的长同时是方程的根，则，
即，
，
，
∴当时，与的长同时是方程的根．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
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第21章一元二次方程21.1一元二次方程（简答题专练）
1．先化简，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．
2．若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．
3．关于x的方程x2－4x＋2m+2＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
4．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式，
解：∵，∴可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）
解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
问题：（1）一元二次不等式的解集为______．
（2）求分式不等式的解集．
5．x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
6．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论实数
m
取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于
9，求m的值．
7．已知关于的方程，其中是方程的一个根.
（1）求的值及方程的另一个根；
（2）若△的三条边长都是此方程的根，求△的周长.
8．关于的方程是一元二次方程，求的值．
9．已知关于的方程的一个根是.求的值和方程的另一个根.
10．已知：有代数式①；②；③；④．若从中随机抽取两个，用“=”连接．
(1)写出能得到的一元二次方程；
(2)从(1)中得到的一元二次方程中挑选一个进行解方程．
11．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．
12．选用合适的方法解方程：
（1）
（2）
13．（发现）在解一元二次方程的时候，发现有一类形如x2+（m+n）x+mn＝0的方程，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它转化成x2+（m+n）x+mn＝（m+x）（m+n）＝0
（探索）解方程：x2+5x+6＝0：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3），原方程可转化为（x+2）（x+3）＝0，即x+2＝0或x+3＝0，进而可求解．
（归纳）若x2+px+q＝（x+m）（x+n），则p＝
q＝
；
（应用）
（1）运用上述方法解方程x2+6x+8＝0；
（2）结合上述材料，并根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，求出一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解．
14．阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1．
15．如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数：
(2)设．
①请用含的代数式表示与的长；
②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
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