人教版（五四制） 八上 20.4 最短路径问题（2）课件（共17张ppt）

第二十章 轴对称
20.4 最短路径问题（2）
一、温故互查
1.已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小。
l
有理数：整数和分数统称为有理数
2.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
一、温故互查
3.如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长
线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么
位置时，AP+PQ+QB的长最短？

一、温故互查
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
思考：
你能把这个问题转化
为数学问题吗？
二、情境导入
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？
a
b
B
A
M
N
由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
三、设问导读
三、设问导读
l
A
B
C
a
B
A
b
M
N
四、通过类比，动手操作，自主探究
1.比较两个图的区别在哪里？
2.你认为找最短路径的难点在哪里？
3. 动手折纸，仔细观察，构思如何解决问题？
4.小组成员交流
分析：
l
A
B
C
a
B
A
b
M
N
A'
如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
B
A
a
b
M
N
A'
解：
五、归纳小结
抽象为数学问题
用旧知解决新知
联想旧知
解决实
际问题
l
A
B
C
转化
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题——两点之间，线段最短。从而作出最短路径的选择。
如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，
我们要建的桥都是与河岸垂直的．我们如何
找到这个最短的距离呢？
五、新知应用
方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移
两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的．
为了使路径最短，只要A2B最短．连接A2B，交河流2河岸
于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此
处造桥PQ．所得路径AQPMNB最短．
方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一
个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽
到B1，连接A1B1，与两条河分别相交于N、P，在N、P两
处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短
六、巩固训练
如果A、B两地之间有两条平行的河，
我们要建的桥都是与河岸垂直的．我们如何找到这个最短的距离呢？
六、巩固训练
? ?方法1：如图10，先将点A沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ．所得路径AQPMNB最短．
下节课我们继续学习！再见