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人教版数学九年级上《实际问题与一元二次方程（第二课时）》教学设计
课题
实际问题与一元二次方程（第二课时）
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
能力目标
能够对增长率问题进行数学建模，建立一元二次方程并求解
知识目标
掌握增长率问题的解题步骤
重点
对增长率问题进行数学建模，建立一元二次方程并求解
难点
对增长率问题进行数学建模，建立一元二次方程并求解
学法
自主思考、协作讨论
教法
启发法、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习引入传播问题的解题步骤是:明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数：第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）一、情境导入思考：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？二、探究新知探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术
的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
复习传播过程的一元二次方程利用以往所学知识，列方程，计算结果
温习知识，为本节课教学提供知识基础结合实际问题，激发兴趣，为本节课教学做好铺垫
讲授新课
思考：1.怎样理解下降额和下降率的关系？区别：下降率是比例用百分数表示，下降额是定量的数字。联系：下降率是依据下降额计算出来的。3.
对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根.解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．依题意，得
5000（1-x）=3000
解得：（不合题意，舍去）4.同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。解：设乙种药品成本的平均下降率为y．则，6000（1-y）=3600整理，得：（1-y）=0.6解得：y≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大.5.
思考：经过计算，你能得出什么结论？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．归纳：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增
长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．三、重难点精讲例题：某公司2017年的各项经营中，一月
份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，请你求这个增长率.解：设这个增
长率为x.根据题意，得整理方程，得
解这个方程得
x=-3.5（舍去），x=0.5.答：这个增长率为50%.注意：增长率不可为负，但可以超过1.归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．变化率问题：若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2）四、学以致用菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成
该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.
2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；（1）解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得，解得
x=20%，x=1.8
（舍去）答：平均每次下调的百分率为20%;（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
结合开平方法，学生独立探索，发现规律结合上述例题，对规律进行总结结合基础知识，完成练习
采用探究的方法，在开平方法的基础上，让学生将方程与方程之间建立联系总结规律，突出重点结合练习，巩固基础
课堂练习
1.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程_______答案：2.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程___________答案：3.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元，假设该公司在1-6月份每个月生产成本的下降率都相同，请你预测4月份该公司的生产成本.解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：
解得：（不合题意，舍去）.361×（1-5%）=342.95（万元）.答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元4.一种药品在进价上加价100%作为原价，后经两次降价后利润率为28%，求平均每次的降价率？解：设平均每次的降价率为x，药品进价为a元，则：解得：（不符合题意，舍去）.答：平均每次的降价20%
运用讲练结合法，通过检测题及时巩固一元二次方程的解计算。
回归课本，重视基础，突出重、难点。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？解决变化率问题的步骤:若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
通过总结学习收获，对于巩固知识很有帮助。
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（共
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2020
数学人教版
九年级上
实际问题与一元二次方程
（第二课时）
复习引入
传播问题的解题步骤是:
明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数：
第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）
导入新课
一、情境导入
思考：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
探究新知
第一次
第二次
第三次
80×10%
80（1+10%）×10%
80
80+80×10%=
80
（1+10%）
80
（1+10%）+80（1+10%）×10%=
80
（1+10%）2
分析：
新课讲解
二、探究新知
探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术
的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
新课讲解
思考：1.怎样理解下降额和下降率的关系？
区别：下降率是比例用百分数表示，下降额是定量的数字。
联系：下降率是依据下降额计算出来的。
2.若设甲种药品平均下降率为x
，则一年后，甲种药品的成本下降了______元，此时成本为__________元；又一年后，甲种药品下降了__________元，此时成本为_________元。
5000x
5000(1-x)
5000(1-x)x
5000(1-x)2
新课讲解
3.
对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根.
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）2元．
依题意，得
5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
新课讲解
4.同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
解：设乙种药品成本的平均下降率为y．
则，6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）
=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大.
新课讲解
5.
思考：经过计算，你能得出什么结论？
经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．
归纳：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增
长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．
新课讲解
三、重难点精讲
例题：某公司2017年的各项经营中，一月
份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，请你求这个增长率.
新课讲解
解：设这个增
长率为x.根据题意，得
200+200(1+x)
+200(1+x)2=950
答：这个增长率为50%.
整理方程，得
4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
注意：增长率不可为负，但可以超过1.
新课讲解
变化率问题：
若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：
a(1±x)n=b（常见n=2）
归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．
新课讲解
四、学以致用
菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成
该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.
2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
（1）解：设平均每次下调的百分率为x，
解得
x1=20%，x2=1.8
（舍去）
答：平均每次下调的百分率为20%;
由题意，得
5(1－x)2=3.2，
新课讲解
新课讲解
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）
新课讲解
总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：
列一元二次方程解应用题的步骤：
审、设、找、列、解、答。
最后要检验根是否符合实际意义。
课堂练习
1.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程_______
答案：
2.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程___________
答案：
课堂练习
3.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元，假设该公司在1-6月份每个月生产成本的下降率都相同，请你预测4月份该公司的生产成本.
解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：
解得：
（不合题意，舍去）.
361×（1-5%）=342.95（万元）.
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元
课堂练习
4.一种药品在进价上加价100%作为原价，后经两次降价后利润率为28%，求平均每次的降价率？
解：设平均每次的降价率为x，药品进价为a元，则：
解得：
（不符合题意，舍去）.
答：平均每次的降价20%
课堂小结
解决变化率问题的步骤:
若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：
a(1±x)n=b
今天我们学习了哪些知识？
课堂作业
完成第22页6、7题
谢谢观看
