人教版（五四制）九上 28.1. 二次函数y=ax2的图象和性质 第二课时 课件 （共19张ppt）

28.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
（1）二次函数的定义：一般地，形如
（a≠0）的函数叫做x的二次函数.
（2）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与性质：
（3）研究函数时，了解函数性质的主要工具是：函数的图象．
（4）画函数图象的主要步骤：①列表;②描点;③连线.
知识回顾
活动1
探究一：画出二次函数 的图象
合作探究
1.实践操作：用描点法画 的图象
解：（1）列表：
列表时应注意什么问题？
①数据的代表性（正、负、0都要包含）;
②数据的简单性（尽量选择整数和较小的数据）;
③数据的多样性（至少选择5个数据进行描点）.
...
-3
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...
...
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活动1
探究一：画出二次函数 的图象
（2）描点：
在平面直角坐标系中描点时应以哪些数值作为点的坐标？
一组x和y的对应值就是一个点的横、纵坐标.
合作探究
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x
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y
o
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y=x2
（3）连线：
连线时应注意什么？
用光滑曲线顺次连接各点，得到函数 的图象.
活动1
探究一：画出二次函数 的图象
合作探究
2、观察探究：观察 的图象，它有什么特点?
（1）你能描述图象的形状吗?
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x
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y
o
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y=x2
y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
（3）图象有最低点吗？如果有,坐标是什么?
（4）当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化？当x>0呢？
（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
在对称轴的左侧时,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧时, y随着x的增大而增大.
活动1
探究一：画出二次函数 的图象
合作探究
二次函数 的图象特点：
(1)图象是一条抛物线，开口向上；
(2)原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；
(3)图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，y随x的增大而增大.
活动1
探究二：二次函数 的图象及性质
自主探究
1.画出函数 , 的图象：
（1）列表：
x
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0
1
2
...
...
...
...
...
2
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2
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活动1
探究二：二次函数 的图象及性质
自主探究
（2）在平面直角坐标系中描点：
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数 ， 的图象.
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x
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y
o
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活动1
探究二：二次函数 的图象及性质
自主探究
相同点：图象都是抛物线, 都开口向上, 顶点都是原点而且是抛物线的最低点, 对称轴是y轴, 当x=0时, y的最小值是0；在对称轴左侧,y随x的增大而减小, 在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
不同点：a.（a＞0）越大，抛物线的开口越小．
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x
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y
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2.思考归纳. 函数 ， 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？
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x
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y
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活动2
探究二：二次函数 的图象及性质
类比探究
1.画出函数 ， ， 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
相同点：图象都是抛物线, 都开口向下, 顶点是原点而且是抛物线的最高点, 对称轴是y轴, 当x=0时, y的最大值是0；在对称轴左侧, y随x的增大而增大, 在对称轴右侧, y随x的增大而减小.
不同点：|a|越大, 抛物线的开口越小．
活动2
探究二：二次函数 的图象及性质
类比探究
思考：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？
开口大小：
由a的大小（绝对值）决定——|a|越大，抛物线的开口越小.
开口方向：
由a的正负决定——正，开口向上；负，开口向下.
活动2
探究二：二次函数 的图象及性质
类比探究
2.归纳慨括：二次函数y=ax2的性质是什么？
图像
开口
对称性
顶点
增减性
最值
开口向上
开口向下
│a│越大，开口越小
关于y轴对称（或直线x=0）对称
顶点坐标是原点
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
当x=0时，函数y有最大值，为0
当x=0时，函数y有最小值，为0
活动3
探究二：二次函数 的图象及性质
性质应用
1.抛物线 开口向______，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴 侧，y随着x的增大而增大，在对称轴 侧，y随着x的增大而减小；当x= 时，函数y的值最小，最小值是 ；抛物线 在x轴的 方（除顶点外）.
2.抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随着x的增大而 ；当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ；当x 0时，y<0.
活动4
探究二：二次函数 的图象及性质
对比探究
猜想： 与 的图象有什么关系？
与 图象关于x轴对称.
对比： 观察抛物线 与 ，思考它们有什么关系？
活动1
探究三：拓展应用
二次函数 解析式的确定
例1.已知抛物线 经过点A（-3，-18）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）判断点B（-2，-6）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-10的点的坐标.
解:（1）把（-3，-18）代入y=ax2,-18=a·(-3)2,解出a=-2.
所求抛物线解析式为y= -2x2.
（2）因为 ，所以点B（-2, -6）不在此抛物线上.
（3）由-10=-2x2,得x2=5,∴ .
所以纵坐标为-10的点有两个，它们分别是
探究三：拓展应用
【思路点拨】
由于 中只有一个待定系数a,所以只需一个条件(图象上一个点的坐标或一对对应值)，利用待定系数法就可以确定其解析式.
判定一个点是否在抛物线上，只需把这个点的坐标代入抛物线解析式看左右两边是否相等就可判定.
探究三：拓展应用
练习.一个抛物线形涵洞如图所示，在平面直角坐标系中，当水位在EF位置时，水面宽度为12m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　　）
A. B. C. D.
【思路点拨】用待定系数法设函数解析式，再根据题意找到点E、F的坐标代入即可.
C
课堂小结
（1）二次函数的图象是一条抛物线.
（2）二次函数y=ax2性质:
①开口方向
②对称轴
③顶点坐标
④增减性
⑤最值
（3）抛物线的形状和开口大小及方向都由a决定，|a|越大开口越小，反之开口越大.
课后作业
教材15页---3、4