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人教版高中数学必修1
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4.2-充要条件
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2004010302RB1010402ZD（A）
学习目标
结合具体实例，理解充要条件的意义
1
1
会判断某些问题成立的充要条件
2
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
可以发现:
命题（1）（4）与它们的逆命题都是真命题，
命题（2）是真命题，但它的逆命题都是假命题，
命题（3）是假命题，但它的逆命题都是真命题.
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（4）若A∪B是空集，则A与B是空集.
（3）若一元二次方程
有两个不相等的实数根，则
；
“若q，则p”
命题为真，逆命题也为真
命题为真，逆命题为假
命题为假，逆命题为真
命题为真，逆命题也为真
导入
就记作
此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件
我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件
概括地说，如果
，那么，p与q互为充要条件
1．充要条件
如果“若p，则q”与它的逆命题“若q，则p”均是真命题，
即既有
，又有
如果
，
，我们说p是q的充分不必要条件
如果
，
，我们说p是q的必要不充分条件
如果
，
，我们说p是q的既不充分又不必要条件
知识梳理
(2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即
，所以p是q的充要条件；
解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形
（也可能是菱形），所以，
，所以p不是q的充要条件；
解：(3)因为
时，
不一定成立(也可能
)，即
，
所以p不是q的充要条件；
(4)因为“若p，则q”与
“若q，则p”均为真命题,即
，所以p是q的充要条件.
例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：
，q：
；
（4）p：
是一元二次方程
的一个根，
q：
；
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
探究：通过上面的学习，你能给出
“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
①若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；
以上每一条都给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件.
⑤若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.
④若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
③若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
②若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
例4:已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
分析：设p：d＝r，
q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性
（
）
和
必要性（
）即可．
（2）必要性（
）：若直线l与⊙O相切，不妨设切点P，则OP⊥l．因此，d＝OP＝r．
由
(1)(2)可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
O
P
解：（1）充分性(
)：如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．在Ｒｔ△OPQ中，OQ＞OP＝r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．
Q
练习1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
（2）p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
（3）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．
解：（1）由等腰三角形的定义可知，
，所以p是q的充要条件；
（3）若A={1,2,3},B={4,5,6},则A∩B为空集，但A与B都不为空集，
，所以p不是q的充要条件.
所以p是q的充要条件；
如图，若∠1=∠2，则∠AOB=∠BOC,且在⊙O中，OA=OB=OC,则△AOB与△BOC全等，则AB=BC，
巩固练习
（2）由圆的性质可知
，
（2）必要性（
）：过D作DE∥AC，交BC的延长线于E
∵AD∥BE，DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形.∴DE=AC.
∵AC=BD，∴BD=DE.∴∠1=∠E.
又∵AC∥DE，∴∠2=∠E.∴∠1=∠2.
在△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SAS).∴∠ABC=∠DCB.
∴梯形ABCD为等腰梯形.
练习2:证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD．
B
C
D
A
分析：设p：梯形ABCD为等腰梯形，
q：AC＝BD．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（
）和必要性（
）即可．
证明：（1）充分性（
）：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=DC，∠ABC=∠DCB.在△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC=BD.
综上，
，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD.
巩固练习
E
B
C
D
A
1
2
课堂小结
证明一个问题的充要条件需要从充分性和必要性两个方面来证明，最后总结
2
,我们就说p是q的充要条件
1
1
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一1.4.2充要条件
1.“”是“”的( )
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
2．“两直线平行”是“内错角相等”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.对于两个命题
p：两个三角形相似，q：两个三角形全等。那么p是q的( )
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
4.设命题甲为0A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
5.已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是( )
A．a>b－1
B．a>b＋1
C．|a|>|b|
D．2a>2b
6.设命题甲为：，命题乙为：x=2，那么甲是乙的( )
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分又不必要条件
7．设命题甲为：，命题乙为：x≠2，那么甲是乙的( )
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分又不必要条件
8．对于实数，条件p：，条件q：x=2，y=1，则条件p是条件q的( )
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
9．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（
）．
A．a＜1
B．a＞1
C．a＜－1
D．a＞-1
10.已知不等式m－1A.
B.
C.
D.
答案解析
1.B
解析：“”“”,但是“”“”，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．C
解析：由“两直线平行”“内错角相等”，所以，“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件.
故选：C.
3.B
解析：两个三角形相似
两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
4.A
解析：解x－2<3得x<5，∵0故选：A.
5.A
解析：由a>b?a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b，∴a>b－1是a>b成立的必要而不充分条件；由a>b＋1?a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件；a>b是2a>2b成立的充分必要条件．
故选：A.
6.B
解析：甲命题乙命题，乙命题甲命题
∴甲是乙的必要不充分条件．
故选：B.
7.A
解析：甲命题乙命题，乙命题甲命题
∴甲是乙的充分不必要条件．
故选：A.
8.B
解析：pq，qp
∴p是q的必要不充分条件．
故选：B.
9.A
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但q
p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
故选：A.
10.D
解析：m－1m－1所以?－≤m≤，所以m∈.
故选：D.
