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人教版高中数学必修1
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4.1-充分条件与必要条件
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2004010302RB1010401ZD（A）
学习目标
结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义。
1
1
会判断某些问题成立的充分条件、必要条件。
2
在初中我们已经对命题有了初步的认识：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的命题是真命题，判断为假的命题为假命题。
许多命题可以写成“若p,则q”“如果p,那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。
下面我们将进一步考察“若p,则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的常用逻辑用语。
导入
导入
可以发现，
在命题（1）（4）中，
由条件p通过推理可以得出结论q，所有它们是真命题.
在命题（2）（3）中，
由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题.
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形
是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.
（3）若
，则
；
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，
哪些是真命题？哪些是假命题？
知识梳理
1．充分条件与必要条件
一般地，“若p,则q”为真命题，是指由通过p推理可以得出q，
这时，我们就说，由p可以推出q
记作p
q
并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果“若p,则q”为假命题，那么由条件p不能得出结论q.
记作p
q，此时，p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形
是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.
（3）若
，则
；
在上述命题（1）（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
而命题（2）（3）中，由条件p不能得出结论q，所以p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？
哪些是假命题？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（6）若x,y为无理数，则xy为无理数.
（4）若
，则
；
（5）若a=b，则ac=bc；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（2）这是一条相似三角形的判定定理，p
q，
所以p是q的充分条件；
（1）这是平行四边形的判定定理，p
q
，
所以p是q的充分条件；
（3）这是一条菱形的性质定理，p
q
，
所以p是q的充分条件；
（5）由等式的性质知，p
q
，所以p是q的充分条件；
（4）由
，但-1≠1，p
q，所以p不是q的充分条件；
（6）
是无理数，但
x
=2为有理数，p
q，
所以p不是q的充分条件.
例1:下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的
充分条件？
解：
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.
这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？
在上述命题（1）中，这是一条平行四边形的判定定理。而平行四边形的判定定理还有：
以上每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条
件，很多时候，对给定结论q,使得q成立的条件p是不唯一的。
③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；
②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
思考：在例1的命题（1）中
（2）这是相似三角形的一条性质定理，p
q，
所以q是p的必要条件；
（3）如图可知命题为假，p
q，所以q不是p的必要条件；
（4）显然，p
q，所以q是p的必要条件；
（5）由（-1）x0=1x0，但-1≠1，p
q，所以q不是p的必要条件；
（6）1x
=
是无理数，但1,
不全是无理数，p
q，
所以q不是p的必要条件.
（1）这是平行四边形的性质定理，p
q，所以q是p的必要条件；
解：
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（6）若xy为无理数，则x,y为无理数.
（4）若
，则
；
（5）若ac=bc，则a=b；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；
例2:下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中
q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”.
这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗？
在上述命题（1）中，这是一条平行四边形的性质定理。而平行四边形的性质还有：
以上每一条性质都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，
③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分；
②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
很多时候，对给定条件p,由p可以推出的结论q是不唯一的.
思考：在例2的命题（1）中
（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这
两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周
长比的平方.
解：（1）这是垂直平分线的性质定理，p
q，所以p是q的充分条件；
（3）相似三角形的周长比=相似比，
面积比=相似比的平方，p
q，
所以p是q的充分条件.
巩固练习
（2）如图，三角形ABO和三角形ACO满足条件，
但两个三角形不满足全等，p
q，
所以p不是q的充分条件；
+
B
C
O
A
练习1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中
p是q的充分条件？
（1）若平面内直线l与⊙O有且仅有一个交点，
则l为⊙O的一条切线；
（2）
是无理数，但
不是无理数,p
q，
所以q不是p的必要条件.
（2）若
是无理数，则
也是无理数
练习2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中
q是p的必要条件？
（1）由直线与圆的位置关系判定可知，p
q，
所以q是p的必要条件；
解：
课堂小结
很多时候，对给定结论q,使得q成立的条件p是不唯一的；同样，对给定条件p,由p可以推出的结论q也是不唯一的.
2
p
q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
1
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一1.4.1充分条件与必要条件
1.以下句子是命题的是( )
A．
今天星期几？
B．
昨天是阴天。
C．
明天下雨吗？
D．
这个花园真美丽！
2．以下句子是真命题的是(
)
A．若四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形
B．若x,y为无理数，则xy为无理数
C．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直
D．若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是矩形
3.指出下列各题中，哪个p是q的充分条件（
）
A.
p：x<2，
q：x<1；
B.p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；
C.p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
D.p：a4.指出下列各题中，哪个q是p的必要条件（
）
A.
p：x<1，
q：x<2；
B.
p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；
C.
p：，q：x＝1；
D.
p：a5.下列选项中，哪个是“1A．
1B．
2C．
0D．
06.下列选项中，哪个是“1A．1B．2C．2D．17.从集合与集合之间的关系上看：
若A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，下列韦恩图中，哪个是p是q的充分条件（
）
B.
C.
D.
8.从集合与集合之间的关系上看：
若A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，下列韦恩图中，哪个是p是q的必要条件（
）
A.
B.
C.
D.
9.下列选项中，哪个是“8-x<5”的必要条件( )
A．x>2
B．x>5
C．0D．410.下列选项中，“x-3>4”的充分条件是“x>b”,则b的取值范围是( )
A．b<7．
B.b≤7
C．b>7
D．b≥7
答案解析
1.B
解析：我们一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.
故选：B.
C
解析：“若四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形”假命题，也可能是菱形；
“若x,y为无理数，则xy为无理数”假命题，×=2,2是有理数；
“若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是矩形”假命题，也可能是平行四边形
故选：C.
3.C
解析：p?q，则p是q的充分条件
A中x＝1.5<2但x>1，故pq，
B中对角线互相平分的四边形不一定是矩形，故pq，
C中当x＝1或x＝2时，必有x－1＝，故p?q，
D中当aq.
故选：C.
4.A
解析：p?q，则q是p的必要条件
A中x<1一定有x<2；，故p?q，q是p的必要条件
B中对角线互相平分的四边形不一定是矩形，故pq，q不是p的必要条件
C中时，x＝1或者x＝0，故pq，q不是p的必要条件
D中当aq，q不是p的必要条件
故选：A.
5.B
解析：p?q，则p是q的充分条件
若“2故选：B.
6.D
解析：p?q，则q是p的必要条件
若“1故选：D.
7.D
[解析]：p?q，则p是q的充分条件
可知A是B的子集
.
故选：D.
8.B
解析：q?p，则p是q的必要条件
可知B是A的子集
故选：B.
9.A
解析：p?q，则q是p的必要条件,8-x<5即-x<-3，得x>3
若“x>3”一定满足“x>2”即“x>3”?“x>2”.
故选：A.
10.D
解析：p?q，则p是q的充分条件,
x-3>4即x>7，
若“x>b”是“x>7”的充分条件，即“x>b”?“x>7”，得b≥7.
故选：D.
Α
Α
